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专题05 三角恒等变形和三角函数的性质 -2017年高考数学(理)母题题源系列(北京专版)(原卷版)


【母题原题 1】 【2017 北京,理 12】在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 与角 β 均以 Ox 为始边,它们的 1 , cos(? ? ? ) =___________. 3 π π 【母题原题 2】 【2016 北京,理 7】将函数 y ? sin(2 x ? ) 图象上的点 P( , t ) 向左平移 s(s﹥0)个单 3 4 终边关于 y 轴对称.若 sin ? ? 位长度得到点 P′.若 P′位于函数 [来源:学科网 ZXXK] y ? sin 2 x 的图象上,则 (A) t ? π 1 ,s 的最小值为 6 2 1 π , s 的最小值为 2 3 (B) t ? π 3 , s 的最小值为 6 2 π 3 , s 的最小值为 3 2 (C) t ? (D) t ? x x x 【母题原题 3】 【2015 北京,理 15】已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2 (Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值. 【命题意图】三角函数的图像与性质是三角函数的重要内容,高考中比较重视考查三角函数图像的平 移和伸缩、周期、最值、奇偶性、单调性、对称性及角的取值范围,以及考查三角函数的定义,诱导公 式,以及两角和差公式和二倍角公式的化简,往往注重考查对三角函数“化一”恒等变换.高考中对三角 函数考查时,注重考查方程思想、整体思想、数形结合思想在解题中运 用. 【命题规律】 1.三角函数的图象变换,包含先平移后伸缩,或是先伸缩后平移;2. y ? Asin ??x ? ? ? 的图象与性质,包含图象的求法,以及函数周期性,对称性,单调性,最值的考查,同时还有三角恒等变 换,包含三角函数名称的变换,以及角的变换. [来源:学科网] 【答题模板】以 2015 年高考题为例,解答本类题目,一般考虑如下三步: 第一步: 三角恒等变换,根据二倍角公式降幂,然后再根据辅助角公式进行“化一”的化简得到 ?? 2 ? ; f ? x ? ? sin ? x ? ? ? 4? 2 ? 第二步:求周期 根据 y ? Asin ??x ? ? ? , T ? 第三步:.求最小值 根据的范围,求 x ? 2? ? 4 ? ,求周期; 的范围,再求函数的最小值. 【方法总结】 1.三角函数的图象变换: (1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移 [来源:学科网] 2. 由函数图像求解析式的方法 (1)如果从图像可确定振幅和周期,则可直接确定函数表达式 y=Asin(ω x+φ )中的参数 A 和ω ,再选 取 “第一点”(即图像上升时与 x 轴的交 点)时 ωx+φ=0;“第二点”(即图 像的“峰点”)时 ωx+φ= 点”(即图像下降时与 x 轴的交点)时 ωx+φ= ? ,“第四点”(即图像的“谷点”)时 ωx +φ= +φ=2π。 ( 2)通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数 A,ω ,φ ,依据是五点法。 (3)运用逆向思维的方法,根据图像变换可以确定相关的参数. 3. ①在求解三角函数的基本性质时,首先一般要将三角函数解析式利用和差角公式、降幂公式和辅助角 公式将三角函数解析式化为 A sin ?? x ? ? ? ? b 或 A cos ??x ? ? ? ? b , 然后利用整体法 u ? ? x ? ? 并借助正 弦 函 数 或 余 弦 函 数 进 行 求 解 ; 在 求 函 数 f ? x ?

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