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第二章基本初等函数、导数及其应用第8课时课后达标检测



[基础达标] 一、选择题 bx-ab+1 1 1.已知函数 y= 的图象是由函数 y= 的图象平移得到 x x-a 的,如图所示,则 a,b 的值为( ) A.a=-2,b=-1 B.a=-2,b=1 C.a=2,b=1 D.a=2,b=-1 bx-ab+1 1 解析: 选 D.y= =b+ , 可知该函数的图象的中心为 x-a x-a (a,b),由图象易知其中心为(2,-1),∴a=2,b=-1. sin x 2.(2014· 山东滨州调研)函数 y= (x∈(-π ,0)∪(0,π ))的图象大致是( x

)

sin x 解析:选 A.函数为偶函数,所以图象关于 y 轴对称,排除 B,C,当 x→π时,y→ x =0. 3.(2014· 广东揭阳模拟)设定义在[-1, 7]上的函数 y=f(x)的图象 1 如图所示,则关于函数 y= 的单调区间表述正确的是( ) f(x) A.在[-1,1]上单调递增 B.在(0,1]上单调递减,在[1,3)上单调递增 C.在[5,7]上单调递增 D.在[3,5]上单调递增 1 解析:选 B.由题图可知,f(0)=f(3)=f(6)=0,所以函数 y= 在 x=0,x=3,x=6 f(x) 时无定义,故排除 A、C、D. ?-2x,(-1≤x≤0) 4. (2014· 安徽合肥调研)已知 f(x)=? , 则下列函数的图象错误的是 ? x,(0<x≤1) ( )

解析:选 D.先在坐标平面内画出函数 y=f(x)的图象,再将函数 y=f(x)的图象向右平移 1 个长度单位即可得到 y=f(x-1)的图象,因此 A 正确;作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴的对 称图形,即可得到 y=f(-x)的图象,因此 B 正确;y=f(x)的值域是[0,2],因此 y=|f(x)|的 图象与 y=f(x)的图象重合, C 正确; y=f(|x|)的定义域是[-1, 1], 且是一个偶函数, 当 0≤x≤1 时,y=f(|x|)= x,相应这部分图象不是一条线段,因此选项 D 不正确. -x ? ?2 -1(x≤0), 5. f(x)的定义域为 R, 且 f(x)=? 若方程 f(x)=x+a 有两个不同实根, ?f(x-1)(x>0), ? 则 a 的取值范围为( ) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(0,1) D.(-∞,+∞) -x 解析:选 A.x≤0 时,f(x)=2 -1, 0<x≤1 时, -1<x-1≤0, - - f(x)=f(x-1)=2 (x 1)-1. 故 x>0 时,f(x)是周期函数, 如图所示.

若方程 f(x)=x+a 有两个不同的实数根, 则函数 f(x)的图象与直线 y=x+a 有两个不同交点, 故 a<1,即 a 的取值范围是(-∞,1). 二、填空题 6.如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB,其中点 O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,2), 1 (3,1),则 f( )的值为________. f(3)

1 解析:由图象知 f(3)=1,∴ =1, f(3) 1 ∴f( )=f(1)=2. f(3) 答案:2

7. (2014· 山东日照质检)已知 f(x)=? 是________.

? ?|lg x|,x>0, ? ?2 ,x≤0,
|x|

则函数 y=2f2(x)-3f(x)+1 的零点个数

1 解析:方程 2f2(x)-3f(x)+1=0 的解为 f(x)= 或 1. 2 作出 y=f(x)的图象,由图象知零点的个数为 5.

答案:5 8.(2014· 山东烟台模拟)已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,且 在[-1,3]内,关于 x 的方程 f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则 k 的取值范围是 ________.

解析:由题意作出 f(x)在[-1,3]上的示意图如图,记 y=k(x+1)+1, ∴函数 y=k(x+1)+1 的图象过定点 A(-1,1).记 B(2,0),由图象知,方程有四个根, 0-1 1 即函数 y=f(x)与 y=kx+k+1 的图象有四个交点,故 kAB<k<0,kAB= =- , 3 2-(-1) 1 ∴- <k<0. 3 1 - ,0? 答案:? ? 3 ? 三、解答题 9.已知函数 f(x)=2x,x∈R.当 m 取何值时方程|f(x)-2|=m 有一个解?两个解? 解:

令 F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|,G(x)=m,画出 F(x)的图象如图所示. 由图象看出,当 m=0 或 m≥2 时,函数 F(x)与 G(x)的图象只有一个交点,原方程有一 个解; 当 0<m<2 时,函数 F(x)与 G(x)的图象有两个交点,原方程有两个解. ?3-x2,x∈[-1,2], ? 10.已知函数 f(x)=? ?x-3,x∈(2,5]. ? (1)在如图给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象;

(2)写出 f(x)的单调递增区间.

解:(1)函数 f(x)的图象如图所示:

(2)函数的单调递增区间为[-1,0],[2,5]. [能力提升] 一、选择题 1.(2014· 河北唐山高三月考)为了得到函数 y=log2 x-1的图象,可将函数 y=log2x 的 图象上所有的点( ) 1 A.纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变,再向右平移 1 个单位 2 1 B.横坐标缩短到原来的 ,横坐标不变,再向左平移 1 个单位 2 C.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位 D.纵坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位 1 1 解析:选 A.y=log2 x-1=log2(x-1)2= log2(x-1),由 y=log2x 的图象纵坐标缩短到 2 1 1 1 原来的 ,横坐标不变,可得 y= log2x 的图象,再向右平移 1 个单位,可得 y= log2(x-1) 2 2 2 的图象,也即 y=log2 x-1的图象. 2.函数 f(x)的图象如图所示,若函数 y=2f(x-1)-c 与 x 轴有四个不同交点,则 c 的取 值范围是( )

A.(-1,2.5) B.(-1,5) C.(-2,2.5) D.(-2,5) 解析:选 D.函数 y=2f(x-1)-c 与 x 轴有四个不同交点,即方程 2f(x-1)-c=0 有四个 1 不同的解,即 y=f(x-1),y= c 有四个不同的交点,因为函数 y=f(x-1)与函数 y=f(x)上下 2 1 分布相同,所以可以把问题转化为 c 取何值时,曲线 f(x)与 y= c 有四个不同的交点,结合 2 图形可知 c∈(-2,5). 二、填空题 3.如图,定义在[-1,+∞)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成, 则 f(x)的解析式为________.

解析:当-1≤x≤0 时,设解析式为 y=kx+b, ?-k+b=0, ? ?k=1, ? 则? 得? ∴y=x+1. ?b=1, ?b=1. ? ? 当 x>0 时,设解析式为 y=a(x-2)2-1,

1 ∵图象过点(4,0),∴0=a(4-2)2-1,得 a= , 4 1 ∴y= (x-2)2-1. 4 x+1,-1≤x≤0 ? ? 答案:f(x)=?1 2 ? ?4(x-2) -1,x>0 4.(2013· 高考四川卷)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x,那么, 不等式 f(x+2)<5 的解集是________. 解析:设 x<0,则-x>0. ∵当 x≥0 时,f(x)=x2-4x, ∴f(-x)=(-x)2-4(-x). ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x), ∴f(x)=x2+4x(x<0), ?x2-4x,x≥0, ? ∴f(x)=? 2 ?x +4x,x<0. ? 2 2 ? ?x -4x=5 ? ?x +4x=5, 由 f(x)=5 得? 或? ?x≥0 ?x<0, ? ? ∴x=5 或 x=-5. 观察图象可知由 f(x)<5,得-5<x<5. ∴由 f(x+2)<5,得-5<x+2<5,∴-7<x<3. ∴不等式 f(x+2)<5 的解集是{x|-7<x<3}.

答案:{x|-7<x<3} 三、解答题 1 5.设函数 f(x)=x+ (x∈(-∞,0)∪(0,+∞))的图象为 C1,C1 关于点 A(2,1)的对称 x 的图象为 C2,C2 对应的函数为 g(x). (1)求函数 y=g(x)的解析式,并确定其定义域; (2)若直线 y=b 与 C2 只有一个交点,求 b 的值,并求出交点的坐标. 1 解:(1)设 P(u,v)是 y=x+ 上任意一点, x 1 ∴v=u+ ①.设 P 关于 A(2,1)对称的点为 Q(x,y), u ?u+x=4 ? ?u=4-x, ? ∴? ?? ? ?v+y=2 ? ?v=2-y, 1 代入①得 2-y=4-x+ 4-x 1 ?y=x-2+ , x-4 1 ∴g(x)=x-2+ (x∈(-∞,4)∪(4,+∞)). x-4 ?y=b (2)联立?

?

2 1 ?x -(b+6)x+4b+9=0, y = x - 2 + ? x-4 ?

∴Δ=(b+6)2-4×(4b+9)=b2-4b=0?b=0 或 b=4. ∴当 b=0 时得交点(3,0);当 b=4 时得交点(5,4). 6.(选做题)(1)已知函数 y=f(x)的定义域为 R,且当 x∈R 时,f(m+x)=f(m-x)恒成立, 求证:y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称; (2)若函数 f(x)=log2|ax-1|的图象的对称轴是 x=2,求非零实数 a 的值. 解:(1)证明:设 P(x0,y0)是 y=f(x)图象上任意一点, 则 y0=f(x0). 又 P 点关于 x=m 的对称点为 P′, 则 P′的坐标为(2m-x0,y0). 由已知 f(x+m)=f(m-x),得 f(2m-x0)=f[m+(m-x0)] =f[m-(m-x0)]=f(x0)=y0. 即 P′(2m-x0,y0)在 y=f(x)的图象上. ∴y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称. (2)对定义域内的任意 x,有 f(2-x)=f(2+x)恒成立. ∴|a(2-x)-1|=|a(2+x)-1|恒成立, 即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立. 又∵a≠0, 1 ∴2a-1=0,得 a= . 2



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