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四川省成都七中实验学校2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


成都七中实验学校高 2015-2016 学年上期半期考试 高一年级 数学试题 命题人:刘家云 审题人:周俊龙 满分:150 分 时间:120 分钟

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分。) 1、设集合 A ? { 2,3,5,8 }, B ? { 3,5,7,9 } ,则集合 A ? B ? ( A、 { 2,3,5,7,8 } B、 { 3,5 } C、 { 5 } ) C、7 D、8 ) )

D、 { 2,8,7,9 }

2、集合 ?1,2,3?的真子集的个数为( A、5 B、6

3、若集合 A ? {?1,1} , B ? {x | m x ? 1},且 B ? A ,则 m 的值为( A、 1 B、 ?1 C、 1 或 ?1 ) B、
3

D、1 或 ?1 或 0

4、下列各组中的两个函数是同一函数的为( A、 y ? x 与y ? 1 C、
0

y ? x与y ? x 2

y ? x与y ? x

3

x2 D、 y ? x 与y ? x
)

5、函数 f ? x ? 的定义域是 ?0,3? ,则 f ? 2 x ? 1? 的定义域是(

?1 ? A、 ? , 2 ? ?2 ?

B、 ?0,3?

C、 ??1,5?

?1 ? D、 ? , 2 ? ?2 ?


(0, +?) 6、下列函数中,在 R 上是偶函数,且在 上为单调递增函数的是(
A、 y ? x
3

B、 y ? 2

x

C、 y ? ? x ? 1
2

D、

y?

1 x2


7、已知 A ? ?m ? 1 ? m ? 0? , B ? m mx 2 ? 2mx ? 1 ? 0对任意实数x恒成立 则有( A、 A ? B B、 B ? A C、 A ? B D、 A ? B ? ?

?

?

8、已知 y ? f ? x ? 是 R 上的偶函数,且在 ?0, ??? 上为减函数,若 f ? a ? ? f ? ?2? , 则实数 a 的取值范围是( A、 a ? ?2 B、 a ? 2 ) C、 a ? ?2或a ? 2 D、 ?2 ? a ? 2

9、已知函数 f ( x) ? g ( x ? 1) ? 2 为定义在 R 上的奇函数,则 g (0) ? g (1) ? g (2) ? (
x



A、1

B、

5 2

C、

7 2

D、3

10、 函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ? A、 ?5 B、 ?

1 , 若 f ?1? ? ?5 , 则f? ? f ? 5? ? ?? ( f ? x?
D、 5

)

1 5

C、

1 5

x ? ?a 11 、 已 知 函 数 满 足 f ? x ? ? ? ? ?? a ? 3? x ? 4a

? x ? 0? ? x ? 0?


对 于 任 意 x1 ? x 2 都 有

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 成立,则 a 的取值范围是 ( x1 ? x 2
A、 ? 0 , ? 4

? ?

1 ? ?

B、 ? 0 , 1?

C、 ?

?1 ? , 1? ? 4 ?

D、 ? 0 , 3

?

12、集合 I ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A、 B 为集合 I 的两个非空子集,若集合 A 中元素的最大值小 于 集合 B 中元素的最小值,则满足条件的 A、 B 的不同情形有( A、 46 B、 47 C、 48 )种。 D、 49

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分。 )

1 2 ? 8 ? ? 13、 (?3) ? (? ) ? ? ? 2 ? 27 ?

?

1 3

? ____

? x 2 ? 4 x ? 2, x ? 0 14、设函数 f(x)= ? ,则 f (?1) ? f (1) ? _________ x?0 ? x ? 5,
x 15、已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? x ? m ,

则 f (?2) ? ______

16、若存在 x ? ? ?2, ?1? ,使得不等式 m ? m 4 ? 2 ? 1 ? 0 成立,则实数 m ? ____
2 x x

?

?

三、解答题:(共 6 小题,共 70 分。 ) 17、 (10 分)若集合 A ? x | x 2 ? x ? 6 ? 0 , B ? x | x 2 ? x ? a ? 0 ,且 A ? B ? B , 求实数 a 的取值集合。

?

?

?

?

18、 (10 分) 设 f ? x ? ?

4x , 4x ? 2

(1)若 0 ? a ? 1 ,求 f (a) ? f (1 ? a) 的值; (2)求 f (

1 2 3 2012 2013 2014 )? f( )? f( ) ? ?? f ( )? f( )? f( ) 的值。 2015 2015 2015 2015 2015 2015

19、 (12 分)已知函数 f ? x ? 是二次函数,且满足 f ? 0 ? ? 1, f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 2 x ? 5 ; 函数 g ? x ? ? a (1)求 f ? x ? 的解析式; (2)若 g ? 2 ? ? 9 ,且 g ? ? f ? x ?? ? ? k 对 x ???1,1? 恒成立,求实数 k 的取值范围。
x

? a ? 0且a ? 1? 。

20、 (12 分)某村电费收取有以下两种方案供农户选择: 方案一:每户每月收管理费 2 元,月用电不超过 30 度时,每度 0.5 元,超过 30 度时,

超过部分按每度 0.6 元收取。 方案二:不收管理费,每度 0.58 元。 (1)求方案一收费 L( x) 元与用电量 x (度)间的函数关系; (2)老王家九月份按方案一交费 35 元,问老王家该月用电多少度? (3)老王家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?

21 、 ( 13 分 ) 设 a 为 实 数 , 函 数 f

? x? ?

2 x ? x? a ? 1? x? ? R。

( 1) 若 函 数 f ? x? 是 偶 函 数 , 求 实 数 a 的 值 ; ( 2) 若 a ? 2 , 求 函 数 f ? x? 的 最 小 值 ; ( 3 ) 对 于 函 数 y ? m? x ? , 在 定 义 域 内 给 定 区 间 ? a, b? , 如 果 存 在 x0 ? a ? x0 ? b? , 满 足 m ? x0 ? ?

m(b) ? m(a ) , 则 称 函 数 m ? x ? 是 区 间 ? a, b? 上 的 “ 平 均 值 函 数 ” , x0 是 b?a

它 的 一 个“ 均 值 点 ”。如 函 数 y ? x2 是 ??1,1? 上 的 平 均 值 函 数 , 0 就 是 它 的 均 值 点 。 现 有 函 数 g ? x? ? ? x ? mx? 1 是 区 间 ??1, 1 ?上的平均值函数,求实数 m的取值范围。
2

22、 (13 分)定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足对任意 x, y ? R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f (y) . 且 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , f (?1) ? ?2 (1)求证: f (x) 为奇函数;

(2) 试问 f ( x) 在 x ? [?4, 4] 上是否有最值?若有,求出最值;若无,说明理由; (3)若 f (k ? 3x ) ? f (3x ? 9x ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围。

成都七中实验学校高 2015-2016 学年上期半期考试 高一年级 数学试题 命题人:刘家云 审题人:周俊龙 满分:150 分 时间:120 分钟

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分。) 1、1. 设集合 A ? { 2,3,5,8 }, B ? { 3,5,7,9 } ,则集合 A ? B ? ( B )

A 、 { 2,3,5,7,8 }

B 、 { 3,5 }

C 、 { 5}

D 、 { 2,8,7,9 }

2、集合 ?1,2,3?的真子集的个数为( C ) A、5 B、6 C、7 D、8

3、若集合 A ? {?1,1} , B ? {x | m x ? 1},且 B ? A ,则 m 的值为( D ) A、 1 B、 ?1 C、 1 或 ?1 D、 1 或 ?1 或 0

4、下列各组中的两个函数是同一函数的为( C ) A、 y ? x 与y ? 1
3 3 C、 y ? x与y ? x
0

B、

y ? x与y ? x 2
x2 x

D、 y ? x 与y ?

5、函数 f ? x ? 的定义域是 ?0,3? ,则 f ? 2 x ? 1? 的定义域是( A )

?1 ? A、 ? , 2 ? ?2 ?

B、 ?0,3?

C、 ??1,5?

?1 ? D、 ? , 2 ? ?2 ?

(0, +?) 6、下列函数中,在 R 上是偶函数,且在 上为单调递增函数的是( B )
A、 y ? x3 B、 y ? 2
x

C、 y ? ? x 2 ? 1

D、

y?

1 x2

7、已知 A ? ?m ? 1 ? m ? 0? , B ? m mx 2 ? 2mx ? 1 ? 0对任意实数x恒成立 则有( A ) A、 A ? B B、 B ? A C、 A ? B D、 A ? B ? ?

?

?

8、已知 y ? f ? x ? 是 R 上的偶函数,且在 ?0, ??? 上为减函数,若 f ? a ? ? f ? ?2? , 则实数 a 的取值范围是( D ) A、 a ? ?2 B、 a ? 2 C、 a ? ?2或a ? 2 D、 ?2 ? a ? 2

9、已知函数 f ( x) ? g ( x ? 1) ? 2 为定义在 R 上的奇函数,则 g (0) ? g (1) ? g (2) ? ( C )
x

A、1

B、

5 2

C、

7 2

D、3

10 、函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ? ( B ) A、 ?5 B、 ?

1 ,若 f ?1? ? ?5 ,则 f ? ? f ? 5? ? ?? f ? x?

1 5

C、

1 5

D、 5

x ? ?a 11 、 已 知 函 数 满 足 f ? x ? ? ? ? ?? a ? 3? x ? 4a

? x ? 0? ? x ? 0?

对 于 任 意 x1 ? x 2 都 有

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 成立,则 a 的取值范围是 ( A ) x1 ? x 2
A、 ? 0 , ? 4

? ?

1 ? ?

B、 ? 0 , 1?

C、 ?

?1 ? , 1? ? 4 ?

D、 ? 0 , 3

?

12、集合 I ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A、 B 为集合 I 的两个非空子集,若集合 A 中元素的最大值小 于 集合 B 中元素的最小值,则满足条件的 A、 B 的不同情形有( A、 46 B、 47 C、 48 D、 49 D )种。

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分。 )

1 2 ? 8 ? ? 13、 (?3) ? (? ) ? ? ? 2 ? 27 ?

?

1 3

? ____ 0

? x 2 ? 4 x ? 2, x ? 0 14、设函数 f(x)= ? ,则 f (?1) ? f (1) ? _________ 3 x?0 ? x ? 5,
x 15、已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? x ? m ,

则 f (?2) ? ______ ?5
2 x x 16、 若存在 x ? ? ?2, ?1? , 使得不等式 m ? m 4 ? 2 ? 1 ? 0 成立, 则实数 m ? ____ ? ?4,5?

?

?

三、解答题:(共 6 小题,共 70 分。 ) 17、 (10 分)若集合 A ? x | x ? x ? 6 ? 0 , B ? x | x ? x ? a ? 0 ,且 A ? B ? B ,
2 2

?

?

?

?

求实数 a 的取值集合。

解: A ? ?x | ( x ? 3)(x ? 2) ? 0? ? ?2,?3?

????1 分 ?????2 分 ???? 3 分

? A? B ? B

?B ? A

? B ? ?, ?2?, ?? 3?, ?2,?3?
(1)当 B ? ? 时, ? ? 1 ? 4a ? 0 (2)当 B ? ?2? 当时, ?

?a ?

1 4

?????5 分

?2 ? 2 ? ?1 无解 ? 2? 2 ? a
无解

????6 分

(3) B ? ??3? 时 ?

? ?? ?3? ? ? ?3? ? ?1 ? ? ? ?3 ? ? ? ? 3 ? ? a

????7 分

(4) 当 B ? ?2,?3?时, ?

?2 ? (?3) ? ?1 ? 2 ? (?3) ? a
1 ? 或a ? ?6? 4 ?

? a ? ?6

????9 分

综上, a 的取值集合为 ?a | a ?

? ?

????10 分

4x 18、 (10 分) 设 f ? x ? ? x , 4 ?2
(1)若 0 ? a ? 1 ,求 f (a) ? f (1 ? a) 的值; (2)求 f (

1 2 3 2012 2013 2014 )? f( )? f( ) ? ?? f ( )? f( )? f( ) 的值。 2015 2015 2015 2015 2015 2015 4 a 1? a a a 4 4 4 ? 1?a 解: (1) f (a) ? f (1 ? a) ? a ? a ? 4 4 ?2 4 ?2 4 ?2 4 ?2 4a

?
(2)根据(1)的结论

4a 4 4a 2 4a ? 2 ? ? ? ? ?1 4a ? 2 4 ? 2 ? 4a 4a ? 2 2 ? 4a 4a ? 2

f(

1 2 3 2012 2013 2014 )? f ( )? f ( ) ?? ? f ( )? f ( )? f ( ) 2015 2015 2015 2015 2015 2015 1 2014 2 2013 1007 1008 ?[ f ( )? f ( )] ? [ f ( )? f ( ) ??? [ f ( )? f ( )] 2015 2015 2015 2015 2015 2015

? 1007 ?1 ? 1007
19、 (12 分)已知函数 f ? x ? 是二次函数,且满足 f ? 0 ? ? 1, f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 2 x ? 5 ; 函数 g ? x ? ? a
x

? a ? 0且a ? 1? 。

(1)求 f ? x ? 的解析式; (2)若 g ? 2 ? ? 9 ,且 g ? ? f ? x ?? ? ? k 对 x ???1,1? 恒成立,求实数 k 的取值范围。 解: (1) f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 1 (2)

1 9

20、 (12 分)某村电费收取有以下两种方案供农户选择: 方案一:每户每月收管理费 2 元,月用电不超过 30 度时,每度 0.5 元,超过 30 度时, 超过部分按每度 0.6 元收取。 方案二:不收管理费,每度 0.58 元。 (1)求方案一收费 L( x) 元与用电量 x (度)间的函数关系; (2)老王家九月份按方案一交费 35 元,问老王家该月用电多少度? (3)老王家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?

? 2 ? 0.5x 解: (1)当 0 ? x ? 30 时, L( x)
当 x ? 30 时, L( x) ? 2 ? 30? 0.5 ? ( x ? 30) ? 0.6 ? 0.6 x ? 1

?2 ? 0.5x,0 ? x ? 30 ? L( x) ? ? ? 0.6 x ? 1, x ? 30

(注: x 也可不取 0)

????4 分

? 2 ? 0.5x ? 35 得 x ? 66 ,舍去。 (2)当 0 ? x ? 30 时,由 L( x)
当 x ? 30 时,由 L( x) ? 0.6 x ? 1 ? 35 得 x ? 60

? 老王家该月用电 60 度。
(3)设按第二方案收费为 F ( x) 元,则 F ( x) ? 0.58x 。

????8 分

当 0 ? x ? 30 时,由 L( x) ? F ( x) ,得 2 ? 0.5 x ? 0.58 x ? x ? 25

? 25 ? x ? 30
当 x ? 30 时,由 L( x) ? F ( x) ,得 0.6 x ? 1 ? 0.58 x

? x ? 50

? 30 ? x ? 50
综上,

25 ? x ? 50

故老王家月用电量在 25 度到 50 度范围内(不含 25 度、50 度)时, 选择方案一比方案二更好。 ????12 分 21 、 ( 13 分 ) 设 a 为 实 数 , 函 数 f

? x? ?

2 x ? x? a ? 1? x? ? R。

( 1) 若 函 数 f ? x? 是 偶 函 数 , 求 实 数 a 的 值 ; ( 2) 若 a ? 2 , 求 函 数 f ? x? 的 最 小 值 ; ( 3 ) 对 于 函 数 y ? m? x ? , 在 定 义 域 内 给 定 区 间 ? a, b? , 如 果 存 在 x0 ? a ? x0 ? b? , 满 足 m ? x0 ? ?

m(b) ? m(a ) , 则 称 函 数 m ? x ? 是 区 间 ? a, b? 上 的 “ 平 均 值 函 数 ” , x0 是 b?a

它 的 一 个“ 均 值 点 ”。如 函 数 y ? x2 是 ??1,1? 上 的 平 均 值 函 数 , 0 就 是 它 的 均 值 点 。
2 现 有 函 数 g ? x? ? ? x ? mx? 1 是 区 间 ??1, 1 ?上的平均值函数,求实数 m的取值范围。

解 : ( 1 ) ? f ? x ? 是 偶 函 数 , ? f ? ?x? ? f ? x ? 在 R 上恒成立,
2 即 ? ? x ? ? ? x ? a ? 1 ? x ? x ? a ? 1, 所 以 x ? a ? x ? a 2

得 ax ? 0

?x?R

?a ? 0

2 ? ? x ? x ? 1, x ? 2 2 f x ? x ? x ? 2 ? 1 ? ? ? ( 2) 当 a ? 2 时 , ? 2 ? ? x ? x ? 3, x ? 2

所 以 f ? x ? 在 ? 2, ??? 上 的 最 小 值 为 f ? 2? ? 5 ,

1 11 )= , 2 4 11 11 因为 < 5, 所 以 函 数 f ? x? 的 最 小 值 为 。 4 4

f ? x ? 在 ? ??,2? 上 的 的 最 小 值 为 f (

( 3 ) 因 为 函 数 g ? x? ? ? x ? mx? 1 是 区 间 ??1, 1 ?上的平均值函数,
2

所 以 存 在 x0 ? ? ?1, 1 ? , 使 g ? x0 ? ?

g (1) ? g (?1) 1 ? (?1)



g (1) ? g (?1) ? m , 存 在 x0 ? ? ?1, 1 ? , 使 得 g ? x0 ? ? m 1 ? (?1)
2

1 ?m 即 关 于 x 的 方 程 ? x ? mx ? 在 ? ?1,1? 内有解;
由 ? x ? mx ? 1 ? m
2

得 x ? mx ? m ? 1 ? 0
2

解得 x1 ? 1, x2 ? m ? 1

所以 ?1 ? m ? 1 ? 1

即0 ? m ? 2

故 m 的 取 值 范 围 是 ? 0, 2 ? 22、 (13 分)定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足对任意 x, y ? R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f (y) .

且 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , f (?1) ? ?2 (1)求证: f (x) 为奇函数; (2) 试问 f ( x) 在 x ? [?4, 4] 上是否有最值?若有,求出最值;若无,说明理由; (3)若 f (k ? 3x ) ? f (3x ? 9x ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围。 (1)证明:因为 f ( x ? y) ? f ( x) ? f (y) ( x, y ? R ) 所以 令 x ? y ? 0 ,得 f ? 0? ? f ? 0? ? f ? 0? ,即 f ? 0? ? 0 令 y ? ? x ,得 f ? 0? ? f ? x ? ? f ? ?x ? , 又 f ? 0? ? 0 ,则有 0 ? f ? x ? ? f ? ?x ? ①

f ? ? x ? ? ? f ? x ? 对任意 x ? R 成立,以 f ? x ? 是奇函数.??4 分
(2) )解:设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,从而 f ( x1 ? x2 ) ? 0 , 又 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f [ x1 ? (? x2 )] ? f ( x1 ? x2 ) . ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ∴函数 f ( x) 为 R 上的增函数, ∴当 x ? [?4, 4] 时, f ( x) 必为增函数. 又由 f (?1) ? ?2 ,得 ? f (1) ? ?2 ,∴ f (1) ? 2 ∴当 x ? ?4 时, f ( x) min ? f (?4) ? ? f (4) ? ?4 f (1) ? ?8 ; 当 x ? 4 时, f ( x) max ? f (4) ? 4 f (1) ? 8 . ???? 8 分

(3)解:由(2)知 f ? x ? 在 R 上是增函数,又由(1) f ? x ? 是奇函数。

f ?k? 3x ? ? ? f ? 3x ? 9 x ? 2 ? ? f ? ?3x ? 9 x ? 2 ? ,等价于 k ? 3x ? ?3x ? 9x ? 2 ,
法一:即 3 ? ?1 ? k ? 3 ? 2 ? 0 对任意 x ? R 成立.
2x x x 2 令 t ? 3 ? t ? 0? ,问题等价于 t ? ?1 ? k ? t ? 2 ? 0 对任意 t ? 0 恒成立.

令 g ?t ? ? t 2 ? ?1? k ? t ? 2 ?t ? 0?



1? k ? 0 即k ? ?1 时,g(t)在(0, +?)上递增,f(0)=2>0 ,符合题意; 2



1? k ? 0 即k ? ?1 时,g(t) ? 0 对t>0恒成立 2 ?1 ? k ?0 ? ?? 2 ? ?1 ? k ? 2 2 ? 1 2 ?? ? (1 ? k) ? 4 ? 2 ? 0 ?

综上,当 k ? 2 2 ?1 时, f (k ? 3x ) ? f (3x ? 9 x ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立。??13 分 法二(分离系数)即 k ? 3 ?
x

2 2 ? 1 , 设 u ? 3x ?u ? 0? , h ? u ? ? u ? ? 1 x 3 u

设 u1 , u2 ? ? 0, ??? , 且u1 ? u2

? ? ?2 2? 2 ? ? 2 h ? u1 ? ? h ? u2 ? ? ? u1 ? ? 1? ? ? u2 ? ? 1? ? ? u1 ? u2 ? ? ? ? ? u1 ? ? u2 ? ? ? u1 u2 ?
? ? u1 ? u2 ? ? 2 ? u2 ? u1 ? ? u1 ? u2 ?? u1u2 ? 2 ? ? u1u2 u1u2

当 u1 , u2 ? 0, 2 时, u1u2 ? 2 ? 0 ,易得 h ? u1 ? ? h ?u2 ? ,所以 h ? u ? 在 0, 2 上单减; 当 u1 , u2 ?

?

?

?

?

?

2, ?? 时, u1u2 ? 2 ? 0 ,易得 h ?u1 ? ? h ?u2 ? ,所以 h ? u ? 在 0, 2 上单增;

?

?

?

故 h ? u ? 的最小值为 h 从而

? 2? ? 2

2 ? 1 ,即 3x ?

2 ? 1 的最小值为 2 2 ?1 3x

k ? 2 2 ?1

所以,当 k ? 2 2 ?1 时, f (k ? 3x ) ? f (3x ? 9x ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立。 (法二未证明函数的单调性的扣 2 分)



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