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三角函数经典练习



2.1 三角函数知识梳理
1.任意角的三角函数的定义:设 ? 是任意一个角,P ( x, y ) 是 ? 的终边上

的任意一点(异于原点) ,它与原点的距离是 r ?

x 2 ? y 2 ? 0 ,那么 sin ? ?

y x , cos ? ? r r

, tan ?
<

br />?

y , ? x ? 0? x

三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关。 2. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1,1 ? tan ? ?
2 2 2

(2)商数关系: tan ? ?

sin ? (用于切化弦) cos ?

1 cos 2 ?

※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换 3.诱导公式(把角写成

k? ? ? 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) 2
?sin(? x) ? ? sin x ? Ⅱ) ?cos(? x) ? cos x ?tan(? x) ? ? tan x ?
?sin(? ? x ) ? ? sin x ? Ⅲ) ?cos(? ? x ) ? ? cos x ?t an( ? ? x) ? t an x ?

?sin(2k? ? x) ? sin x ? Ⅰ) ?cos(2k? ? x) ? cos x ?t an(2k? ? x) ? t an x ?
?sin(? ? x ) ? sin x Ⅳ) ? ?cos(? ? x ) ? ? cos x ?t an( ? ? x) ? ? t an x ?
4.三种常用三角函数的主要性质

? ? ? ? sin( ? ? ) ? cos? sin( ? ? ) ? cos? ? ? 2 2 Ⅴ) ? Ⅵ) ? ? ? ?cos(? ? ? ) ? sin ? ?cos(? ? ? ) ? ? sin ? ? ? 2 ? 2 ?

函 定 义 值域

数 域

y=sinx (-∞,+∞) [-1,1] 奇函数 2π
? ?? ? 2k? - , 2k? + ? 增 ? 2 2? ?
? 3? ? ? 2k? + , 2k? + ? 减 ? 2 2 ? ?

y=cosx (-∞,+∞) [-1,1] 偶函数 2π

y=tanx
? ? ? ? x x ? k? ? , x ? R ? 2 ? ?

(-∞,+∞) 奇函数 π

奇偶性 最小正周期

?2k? ?? ,2k? ? 增 ?2k? ,2k? ? ? ? 减
?? ? ? ? k? ,0 ?(k ? Z ) ?2 ?
x ? k? , k ? Z
1







? ?? ? ? k? - , k? + ? 递增 2 2? ?

(k? ,0)(k ? Z )

(

对称性
x?

k? ,0)( k ? Z ) 2

?
2

? k? , (k ? Z )

无对称轴

5、形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数:

1 ―频率(周期的倒数) ; ? x ? ? —相位;? ―初相; T (2)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最值确定;? 由周期确定;? 由图象上
(1)几个物理量:A―振幅; f ? 的特殊点确定, 如 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 , | ? |?

Y 2 3 2? 9 X -2 23题 图

?
2

) 的图象如图所示,则

15 ? f ( x) =_____(答: f ( x) ? 2sin( x ? ) ) ; 2 3

(3)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系:①函数 y ? sin x 的图象纵坐标不变,横坐标向左 ( ? >0)或向右( ? <0)平移 | ? | 个单位得 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;②函数 y ? sin ? x ? ? ? 图象的纵坐标不变,横坐标 变为原来的

1

?

,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;③函数 y ? sin ?? x ? ? ? 图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的 A

倍,得到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象;④函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上( k ? 0 )或向下 (k ? 0) ,得到 y ? Asin ??x ? ? ? ? k 的图象。

例:以 y ? sin x 变换到 y ? 4sin(3x ? ? ) 为例 3
y ? sin x 向左平移

?
3

个单位 (左加右减)

?? ? y ?sin ?x? ? 3? ?

横坐标变为原来的

1 ?? ? 倍(纵坐标不变) y ? sin ? 3x ? ? 3 3? ?

?? 纵坐标变为原来的 4 倍(横坐标不变) y ? 4sin ? ? 3x ? ? 3? ?

1 y ? sin x 横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) y ? sin ?3x ? 3
向左平移

? 个单位 (左加右减) 9

?? ?? ? ? y ? sin 3 ? x ? ? ? sin ? 3x ? ? 9? 3? ? ?

?? 纵坐标变为原来的 4 倍(横坐标不变) y ? 4sin ? ? 3x ? ? 3? ?

注意:在变换中改变的始终是 x。

2

2.2 三角函数练习
一、选择题 1.设 ? 角属于第二象限,且 cos A.第一象限 C.第三象限

?
2

? ? cos

?
2

,则

? 角属于( 2



B.第二象限 D.第四象限

2.给出下列各函数值:① sin(?10000 ) ;② cos(?22000 ) ;

③ tan(?10) ;④

sin

7? cos? 10 .其中符号为负的有( 17? tan 9
C.③ ) D.④



A.①

B.②

3. sin 2 1200 等于( A. ?
3 2

B.

3 2

C. ?

3 2

D.

1 2

4 ,并且 ? 是第二象限的角,那么 5 tan ? 的值等于( ) 4 3 3 4 A. ? B. ? C. D. 4 3 3 4 5.若 ? 是第四象限的角,则 ? ?? 是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 6. sin 2 cos 3 tan 4 的值( ) A.小于 0 B.大于 0 C.等于 0 D.不存在 二、填空题

4.已知 sin ? ?

1.若 cos? ? ?

3 ,且 ? 的终边过点 P( x,2) ,则 ? 是第_____象限角, x =_____。 2

2.设 ? 分别是第二、三、四象限角,则点 P(sin ? , cos? ) 分别在第___、___、___象限. 3.设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm 2 ,则扇形的圆心角的弧度数是 4.与 ? 20020 终边相同的最小正角是_______________。 三、解答题
3



1 1.已知 tan ? , 是关于 x 的方程 x2 ? kx ? k 2 ? 3 ? 0 的两个实根, tan ?

且 3? ? ? ?

7 ? ,求 cos ? ? sin? 的值. 2

2.已知 tan x ? 2 ,求

cos x ? sin x 的值。 cos x ? sin x

3.化简:

sin(5400 ? x) 1 cos(3600 ? x) ? ? sin(? x) tan( 9000 ? x) tan(4500 ? x) tan( 8100 ? x)

4.已知 sin x ? cos x ? m, ( m ? 2 , 且 m ? 1) , 求(1) sin 3 x ? cos3 x ; (2) sin 4 x ? cos4 x 的值。

易错题
1.已知方程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 的两个实数根是 tan ? , tan ? ,且 ? , ? ? ( ?
2

? ?

A.

2? 3

B. ?

2? 3

C.

? 2? 或? 3 3

, ) ,则 ? ? ? 等于( ) 2 2 ? 2? D. - 或 3 3

2.若 sin ? ?

5 10 ,sin ? ? ,且 ? , ? 均为锐角,则 ? ? ? 的值是 5 10
1 , ? ? ? 0, ? ? ,则 tan ? 的值是 5

3.已知 sin ? ? cos ? ?

4.若A、B 均为锐角,且 tan A ?

1 10 ,sin B ? ,则 A+2B 的值为 7 10



4

2.3 三角函数的图像与性质
一、选择题 1、函数 y ? cos 2 x 在下列哪个区间上是减函数( A. [ ? )

? 3? ? ? B. [ , ] C. [0, ] D. [ , ? ] 4 4 2 2 ? ? 2.若函数 y ? cos(? x ? ) (? ? 0) 的图象相邻两条对称轴间距离为 ,则 ? 等于 . 3 2 1 A. B. 12 C.2 D.4 2 ? ? 3.将函数 y ? sin( x ? )( x ? R ) 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度,再把图象上各点的横坐标 6 4 扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象的解析式为 5? x 5? A. y ? sin(2 x ? )( x ? R) B. y ? sin( ? )( x ? R ) 12 2 12 x ? x 5? C. y ? sin( ? )( x ? R) D. y ? sin( ? )( x ? R ) 2 12 2 24 4、在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围是( )
? ?
, ] 4 4

A.( C.(

π π 5π , )∪(π , ) 4 2 4 π 5π , ) 4 4

B.( D.(

π ,π ) 4 π 5π 3π ,π )∪( , ) 4 4 2

5.将函数 y ? sin x 的图象向左平移 ? (0 ? ? ? 2? ) 个单位后,得到函数 y ? sin( x ? ( ) ? A. 6
7? 6 11? 6
) 的值域为

?
6

) 的图象,则 ? 等于

B.

C.

D.

6.函数 y ? sin 2x ? 3 cos2x ( ? A. ?? 2,2?

?
6

?x?

?

5? 6

6

B. ?? 2,0?

C. ?0,2?

D. [? 3,0] )

7、为了得到函数 y ? sin( 3 x ? A、向左平移

?
6

) 的图象,只需把函数 y ? sin 3x 的图象(

? 6

B、向左平移

? 18

C、向右平移

? 6

D、向右平移

? 18


8、为了得到函数 y=sin(2x- A.向右平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度
π 6 π 6

π )的图象,可以将函数 y=cos2x 的图象( 6

B.向右平移 D.向左平移

π 个单位长度 3 π 个单位长度 3

5

9、函数 y ? sin(?x ? ? )(x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则( A. ? ?



?
2

6 ? ? ? 5? C. ? ? , ? ? D. ? ? , ? ? 4 4 4 4

,? ?

?
4

B. ? ?

?
3

,? ?

?

二、填空题[来源:学科网 ZXXK] ? 10.方程 2 cos( x ? ) ? 1 在区间 (0, ? ) 内的解是 . 4 ? 11、函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) 与 y 轴距离最近的对称轴是 6 x 12.函数 y ? sin 的最小正周期是 2 ? 13.函数 y ? 2 sin( ? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间 6 三、解答题 14.已知函数 f(x)=sin2x+ 3 xcosx+2cos2x,x ? R. (I)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区 间; (Ⅱ)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?

15.已知函数 y ? Asin(?x ? ?) ( A ? 0, ? ? ? ) 的一段图象如图所示; (1)求函数的解析式; (2)求这个函数的单调递增区间.
?

y 2

? 8

O -2

3? 8

x

16.向量 a = (cosx + sinx, 2 cosx),b = (cosx – sinx, 2 sinx),f (x) = a·b. (Ⅰ)求函数 f (x)的单调区间; (Ⅱ)若 2x2 – ? x≤0,求函数 f (x)的值域.

6

2.4 三角恒等变换
一、公式大全: 1、两角和与差的三角函数:

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?
2、二倍角公式
sin 2? ? 2 sin ? cos ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

3、半角公式(降幂公式) :

二、两角和差,倍角公式的运用 1、特殊角的三角函数值: 角度 弧度 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

sin ? ?

cos? ?
tan ? ?
2、直接计算: ① ② ③ ④

cos( cos( sin( sin(

? ?
3 3

? ? ? ?

? ?
4 4

)? )?

? ?

?

3 3

?

4 4

)? )?
7

⑤ ⑥

tan( tan(

?
?
3 3

? ?

?
?
4 4

)? )?

3、知一个角求值:

? ? 3 ? , ? ) ,则 cos( ? ? ) = , cos( ? ? ) = 4 4 5 2 5 ? ? ② sin ? ? ? , ? 是第三象限角,则 sin( ? ? ) = , sin(? ? ) = 13 6 3 1 ? ? ③ sin ? ? ? , ? 是第四象限角,则 tan(? ? ) = , tan(? ? ) = 2 4 3
① cos ? ? ? , ? ? ( 4、已知两个角求值: ①已知: sin ? ? ?

, cos 2? = , sin 2? = , tan 2? =

2 3 3? 3? , cos ? ? , ? ? (? , ) , ? ? ( ,2? ) ,求 cos(? ? ? ) , sin(? ? ? ) , tan 2? , tan(2? ? ? ) 。 3 4 2 2 3 12 ? ? ?) ②已知 ? , ? 都是锐角, cos ? ? , cos ? ? ,求 cos(? ? ? ) + sin(? ? ? ) 和 tan( 5 13
③在△ABC 中, sin A ?

5 3 , cos B ? , 求 cos C 的值。 13 5

5、角的整体应用:

3 ,45? ? x ? 135 ?, 求 sin x, cos x, tan x 。 5 1 11 ② 已知 x , y 都是锐角, cos x ? , cos( x ? y ) ? ? ,求 cos y , sin y , tan y 。 7 14
① 已知: sin( 45? ? x) ?

③ 已知 cos(

?

3 ? 12 ? ? 3? 5? ? x) ? , sin( ? y ) ? ? , x ? (? , ), y ? ( , ) , 4 5 4 13 4 4 4 4

求 sin( y ? x) , sin(x ? y) , tan 2 x 的值。 2、公式 a sin x ? b cos x ①

1 3 sin x ? cos x ? 2 2

② sin x ? cos x ? ③ sin x ? 3 cos x ? ④ 3 15 sin x ? 3 5 cos x = ⑤ cos x ? sin x ? ⑥

3 cos x ? sin x ?
8

⑦ ⑧

6 cos x ? 6 sin x ?
2 cos( x ?

?
3

) ? 6 sin( x ?

?
3

)?



2 ? 6 ? sin( ? x) ? cos( ? x) = 4 4 4 4

⑩ sin 40?(tan10? ? 3) =

sin 50?(1 ? 3 tan10?) =
3、降幂公式: ① sin x cos x ? ② cos x ? sin x ?
2 2

, sin x ?
2

, cos x ?
2

③ sin x cos x cos 2 x =
④ sin ? ? cos ? ?
4 4

⑤ sin ? ? cos ? ?
4 4

⑥ sin ? ? cos ? sin ? ?
4 2 2

⑦ cos x ? 2 sin x cos x ? sin x ?
4 4

⑧ y ? sin( x ? 4、综合题:

?
6

) ? sin( x ?

?
6

) ? cos x =

1、函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ,求最小正周期,增区间,最小值及取到最小值时 x 的集合,对称轴。

2、函数 y ? cos 2 x cos

?
5

? sin 2 xsin

?
5

,求最小正周期,增区间,最大值及取到最大值时 x 的集合,对称中心。

9

3、函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin x cos x ,求最小正周期,增区间,最小值及取到最小值时 x 的集合,和在区间 ? 上的最大值。

?? ? ? , ?4 2? ?

三角函数高考题 (’12 年)16.(本小题满分 12 分) ? 已知函数 f ( x) ? 2 cos(? x ? )(? ? 0, x ? R) 的最小正周期为 10? 6 (1)求 ? 的值; ? 5? 6 5? 16 (2)设 ? , ? ? [0, ] , f (5? ? ) ? ? , f (5? ? ) ? ;求 cos(? ? ? ) 的值 2 3 5 6 17

(‘13 年)16.(本小题满分 12 分)

? ? ? 已知函数 f ( x) ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?
? ?? (Ⅰ) 求 f ? ? ? 的值; ? 6?

(Ⅱ) 若 cos ? ?

3 ?? ? 3? ? ? , ? ? ? , 2? ? ,求 f ? 2? ? ? . 5 3? ? 2 ? ?

.

(‘14 年)16、 (12 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值; (2)若 f (? ) ? f (?? ) ?

?
4

), x ? R ,且 f (

5 3 ?) ? , 12 2

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) 。 2 2 4

10



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