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2016年高三二轮复习精品数学 思想一 函数与方程思想(含解析)



1. 函数与方程思想的含义 (1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本 质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使 问题获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等. (2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程, 通过解方程或方

程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程的思 想是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问 题.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系. 2. 和函数与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化.对函数 y=f(x),当 y>0 时,就化为不等式 f(x)>0,借助于函 数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数, 用函数的观点去处理数列问题十分重要. (3)在三角函数求值中,把所求的量看作未知量,其余的量通过三角函数关系化为未知量的表 达式,那么问题就能化为未知量的方程来解. (4)解析几何中的许多问题,例如直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才 能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论. (5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的 方法加以解决. 【热点分类突破】 类型一 函数与方程思想在数列中的应用 例 1 【江西省南昌市第二中学 2016 届高三上学期第四次考试】 已知等差数列 ?an ? 的公差为 ?1 ,前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? a8 ? a11 ? ?4 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 an 与前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)从数列 ?an ? 的前五项中抽取三项按原来顺序恰为等比数列 ?bn ? 的前三项,记数列

?anbn ? 的前 n 项和为 ?n ,若存在 m ? ? ? ,使得对任意 n ? ?? ,总有 Sn ? ?m ? ? 成立,求实
数 ? 的取值范围. 分析: (Ⅰ)由于

?an ? 为等差数列,公差 d ? ?1 ,且 a3 ? a8 ? a11 ? ?4 ,利用等差数列通

项公式和前 n 项和公式,即可求出结果; (Ⅱ)由(Ⅰ)知数列 ?an ? 的前 5 项为 5 ,4 ,3 ,2 ,

1, 2, 1, 可知等比数列 ?bn ? 的前 3 项为 4 , 所以 bn ? 4 ? ? ?

?1? ?2?

n ?1

, 可得 a n bn ? 4(6 ? n)( )

1 2

n ?1



? 再利用错位相减可得 Tn ? 32 ? 8(n ? 4)( ) , n ? ? ,由于 Tn ?1 ? Tn ? 4(5 ? n)( ) ,可

1 2

n

1 2

n

得 T1 ? T2 ? T3 ? T4 ? T5 ? T6 ? T7 ?

1 11n ? n 2 * ,? n ? ? 时, ? , 所以 (Tn ) max ? T5 ?T 6? 32 .又? S n ? 4 2

(S n ) max ? S5 ?S 6? 15 ;根据题意存在 m ? ?* ,使得对任意 n ? ?* ,总有 Sn ? Tm ? ? 成立,
等价于 ? Sn ?max ? ?Tm ?max ? ? ,据此即可求出结果.

点评:本题考查等差数列前 n 项和,利用二次函数的图像与性质,求出最大值,再利用的比 数列的前 n 项和的单调性,求出最小值,意在考察方程思想和函数思想的运用能力. 例 2 【江西省南昌二中 2015—2016 学年度上学期第三次考试高三数学】已知等比数列 ?a n ? 是 递增数列, a 2 a5 ? 32, a3 ? a 4 ? 12 ,数列 ?b n ? 满足 b1 ? 1 ,且 bn ?1 ? 2bn ? 2an ( n ? N ? ) (Ⅰ)证明:数列 ?

? bn ? ? 是等差数列; ? an ?

(Ⅱ)若对任意 n ? N ? ,不等式 (n ? 2)bn ?1 ? ?bn 总成立,求实数 ? 的最大值. 分析: (Ⅰ)因为 a2 a5 ? a3 a4 ? 32 , a3 ? a4 ? 12 ,且 ?an ? 是递增数列,所以 a3 ? 4, a4 ? 8 , 可得 an ? 2n?1

因为 bn ?1 ? 2bn ? 2an ,所以

?b ? bn ?1 bn (Ⅱ)由(Ⅰ) ? ? 1 ,即可证明数列 ? n ? 是等差数列; an ?1 an ? an ?

bn ? n ? 2n?1 ,所以 ? ?

(n ? 2)bn?1 (n ? 2)(n ? 1)2n 2 ? ? 2(n ? ? 3) 最小总成立,根据对勾函 n ?1 bn n?2 n

数的性质即可求出结果. 解析: (Ⅰ)因为 a2 a5 ? a3 a4 ? 32 , a3 ? a4 ? 12 ,且 ?an ? 是递增数列,所以 a3 ? 4, a4 ? 8 , 所以 q ? 2, a1 ? 1 , 所以 an ? 2n?1 , 因为 bn ?1 ? 2bn ? 2an , 所以 是等差数列 .

?b ? bn ?1 bn 所以数列 ? n ? ? ?1, an ?1 an ? an ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)bn ? n ? 2n?1 ,所以 ? ?

(n ? 2)bn?1 (n ? 2)(n ? 1)2n 2 ? ? 2(n ? ? 3) 最小总成 n ?1 bn n?2 n
2 ? 3) 最小值为 12,所以 ? 最大值为 12. n

立,因为 n ? N? ,所以 n ? 1 或 2 时 2( n ?

点评:本题考查了等差数列,对勾函数的应用.通过对勾的图象与性质,得最小值即得 ? 的最 大值. 【规律总结】(1)等差(比)数列中各有 5 个基本量,建立方程组可“知三求二”;(2)数列的 本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数,数列的通项公式即为相应的解析式,因此在 解决数列问题时,应注意用函数的思想求解. 【举一反三】 【河北省衡水中学 2016 届高三上学期四调考】已知等比数列 {an } 的公比 q > 1 , a1 = 2 且 a1 ,

a2 , a3 - 8 成等差数列.数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn = n2 - 8n .
(1)分别求出数列 {an } 和数列 {bn } 的通项公式; (2)设 cn =

bn * ,若 cn ? m ,对于 " n 蜰 恒成立,求实数 m 的最小值. an

(2)由(1)得, cn =

2n - 9 * ,若 cn ? m ,对于 " n 蜰 恒成立,即 m ? cn 的最大值.又 n- 1 2? 3 2n - 7 2n - 9 - 4n + 20 cn +1 - cn = = .当 cn+1 = cn 时,即 n = 5 时,c5 = c6 ;当 cn+1 > cn 时, 2创 3n 2 3n - 1 2 ? 3n
* *

即 n < 5 ( n 蜰 )时, c1 < c2 < c3 < c4 < c5 鬃 ?;当 cn+1 < cn 时,即 n > 5 ( n 蜰 )时,

c6 > c7 > c8 > c9 >鬃 ?.

\ cn 的最大值为 c5 = c6 =

1 1 1 ,即 m ? .\ m 的最小值为 . 162 162 162

类型二 函数与方程思想在方程中的应用 例 3 【河北省冀州市中学 2016 届高三上学期一轮复习检测一】已知函数

?| x ? 1 |, ?7 ? x ? 0 f ( x) ? ? , ?2 g ( x) ? x2 ? 2 x ,设 a 为实数,若存在实数 m ,使 ? ln x , e ? x ? e
f (m) ? 2 g (a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围为(
A、 [?1, ?? ) B、 [?1, 3] )

(? ?, ?1] U[3, ??) C、

( ? ?, 3] D、

? 分析:若存在实数 m ,使 f (m) ? 2 g (a) ? 0 ,即 2 g (a) 必需在 f ( x) ? ?
值域内,可转化为求函数值域问题. 【答案】 B .

? x ? 1 , ?7 ? x ? 0
?2 ? ?ln x, e ? x ? e



点评:本题主要考查了分段函数的图像与性质和函数与方程,考查了学生对数学问题的阅读 分析转化能力,渗透着数形结合的数学思想,属中档题.其解题的一般思路为:首先根据函数

f ( x) 的图像,求出其值域,然后利用已知条件并结合函数的图像可得满足已知条件时应满足
的条件,进而由一元二次不等式的解法即可得出所求的结果. 【规律总结】研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解的问题,通常有两种处 理思路:一是分离参数构建函数,将方程有解转化为求函数的值域;二是换元,将复杂方程 问题转化为熟悉的二次方程,进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解 决. 【举一反三】 【湖南省师大附中等 2016 届高三四校联考】 已知函数 f ( x) ? x ? x ln x , 若k ?Z , 且 k ( x ? 2) ? f ( x) 对任意的 x ? 2 恒成立,则 k 的最大值为( A. 3 【答案】B. B. 4 C. 5 D. 6 )

类型三 函数与方程思想在不等式中的应用 例 4【河北省衡水中学 2016 届高三上学期四调考】已知 f x = x ln x , g x =

()

( )

ax 2 ,直线 2

l : y = ( k - 3) x - k + 2 .
(1)函数 f x 在 x = e 处的切线与直线 l 平行,求实数 k 的值; (2)若至少存在一个 x0 ? 1, e 使 f x0 < g x0 成立,求实数 a 的取值范围; 分析: (1) 先求导, 根据导数的几何意义得到关于 k 的方程解得即可. (2) 由于存在 x0 ? 1, e ,

()

[ ]

( )

( )

[ ]

ax0 2 使 f ( x0 ) < g ( x0 ) ,则 x0 ln x0 < ? a 2
即可. (3)分离参数,得到 k <

2ln x0 2 ln x ,只需要 a 大于 h( x) = 的最小值 x x0

x ln x + 3 x - 2 ,构造函数,求函数的最小值即可. x- 1

(3)由已知得, x ln x > k - 3 x - k + 2 在 x > 1 时恒成立,即 k <

(

)

x ln x + 3 x - 2 .令 x- 1

F ( x) =

x ln x + 3 x - 2 x - ln x - 2 ,则 F? ,令 m( x) = x - ln x - 2 ,则 x) = ( 2 x- 1 ( x - 1)

1 x- 1 m?( x) = 1 - = > 0 在 x > 1 时恒成立.所以 m( x) 在 (1, +? x x

) 上单调递增,且
0

) 上存在唯一实数 x ( x ? ( 3, 4) ) 使 m( x) = 0 . 当 1 < x < x 时,m( x) < 0 即 F? ( x) < 0 ,当 x > x 时,m( x) > 0 即 F?( x) > 0 , 所以 F ( x) 在 (1, x ) 上单调递减,在 ( x , +? ) 上单调递增.故 x ln x + 3x - 2 x ( x - 2) + 3x - 2 F( x) = F ( x ) = = = x + 2 ? ( 5,6) .故 k < x + 2
0
0 0

m( 3) = 1 - ln3 < 0 , m( 4) = 2 - ln 4 > 0 ,所以在 (1, +?

0

0

0

0

0

0

0

0

min

0

x0 - 1

x0 - 1

0

0

(k 蝂 ) ,所以 k 的最大值为 5 . 点评:本题考查导数在研究函数的单调性、函数的存在成立及恒成立的问题,考查等价转化 的思想方法以及分析问题的能力,属于难题. 函数的存在成立问题的处理的一般方法是,分 离参数得 a ? ? ( x) (或 a ? ? ( x) ) ,则转化为求函数 ? ( x) 的最小值(或 ? ( x) 的最大值) ;而 函数的恒成立的问题的处理的一般方法是,分离参数得 a ? ? ( x) (或 a ? ? ( x) ) ,则转化为求 函数 ? ( x) 的最大值(或 ? ( x) 的最小值). 【规律总结】根据所证不等式的结构特征构造相应的函数,研究该函数的单调性是解决这一 类问题的关键,体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想. 【举一反三】 【江西省南昌二中 2015—2016 学年度高三第三次考试】已知函数

f ( x) ? x ? a ln x(a ? R) .
(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? (Ⅲ)若 g ( x ) ? ?

1? a ,求函数 h ? x ? 的单调区间; x

1? a ,在 ?1 ,e? ? e ? 2.71828?? 上存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成 x

立,求 a 的取值范围.

(Ⅲ)由题意可知,在 ?1 ,e? 上存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,即在 ?1 ,e? 上存在 一点 x0 ,使得 h ? x0 ? ? 0 ,即函数 h( x) ? x ? a ln x ?

1? a 在 ?1 ,e? 上的最小值 x

? ,e? 上单调递 ?h ? x ?? ? min ? 0 .由第(Ⅱ)问,①当 a ? 1 ? e ,即 a ? e ? 1 时, h ? x ? 在 ?1
减,∴ ? ?h ? x ?? ?

min

1? a e2 ? 1 e2 ? 1 e2 ? 1 ? h ?e? ? e ? ? a ? 0,? a ? ,? ? e ? 1,? a ? ; e e ?1 e ?1 e ?1
1? a 在 ?1 ,e? 上单调递增,∴ x



当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) ? x ? a ln x ?

[h ? x ?]min ? h ?1? ? 1?1? a ? 0, ?a ?﹣ 2 ,
③当 1 ? a ? 1 ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时,∴ [h ? x ?]min ? h ?1 ? a ? ? 2 ? a ? a ln ?1? a ? ? 0 , ∵ 0 ? ln ?1 ? a ? ? 1 , ?0 ? a ln ?1? a ? ? a, ?h ?1? a ? ? 2 此时不存在 x0 使 h ? x0 ? ? 0 成 综上可得所求 a 的范围是: a ?

立.

e2 ? 1 2. 或 a ?﹣ e ?1

类型四 函数与方程思想在解析几何中的应用 例 5【湖南师范大学附属中学 2016 届高三上学期月考(三) 】已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0)
2

F |? |P Q| . 的焦点为 F , 直线 y ? 4 与 y 轴的交点为 P , 与抛物线 C 的交点为 Q , 且| Q 已
知椭圆 E :

5 4

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点 F1 与抛物线 C 的焦点重合,且离心率为 . 2 2 a b

(1)求抛物线 C 和椭圆 E 的方程; (2)若过椭圆 E 的右焦点 F2 的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点,求三角形 OAB ( O 为坐标原

点)的面积 S?OAB 的最大值. 分析: (1)设 Q( x0,4) ,代入抛物线方程,得 x0 ? 的方程为 y 2 ? 4 x .在椭圆 E 中, c ? 1,

8 ,根据焦点弦公式得 p ? 2 ,∴抛物线 C p

c 1 ? ,∴ a ? 2, b2 ? 3 ,所以椭圆 E 的标准方程为 a 2

x2 y 2 ? ? 1 ; (2)由题意可知,设直线 AB 的方程为 x ? my ? 1 , A( x1, y1 ) 、 B( x2 , y2 ) , 4 3
直线方程与椭圆方程联立得 (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ,根据韦达定理得 达式,代入面积公式 S?OAB ? 调性得 g (t ) ? g (1) ? 10 , 因此 S?OAB 的最大值为

y1 ? y2 、 y1 y2 的表

1 1 | OF2 | ? | y1 ? y2 |? | y1 ? y2 | 中,根据基本不等式和函数的单 2 2

3 . 2

点评:本题考查的是抛物线的定义、椭圆的性质、最值问题,属于中档题;先根据抛物线的 定义求出 p 的值,进而用待定系数法求得椭圆的标准方程;圆锥曲线问题一般都是设而不求 的数学思想, 把直线方程和椭圆方程联立得到关于 x 的二次方程, 用韦达定理写出两个根的关 系,求出弦长公式,代入三角形面积公式中,由函数的单调性得到最值.

【规律总结】1、在高中数学的各个部分,都有一些公式和定理,这些公式和定理本身就是一 个方程,如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等,当题目与这些问题有 关时,就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量;2. 当问题中涉及一些变 化的量时,就需要建立这些变化的量之间的关系,通过变量之间的关系探究问题的答案,这 就需要使用函数思想. 【举一反三】 【江西省吉安市第一中学 2016 届高三上学期第四次周考】已知抛物线

C1 : x2 = 2 py ( p > 0) 与圆 C2 : x2 + y2 = 5 的两个交点之间的距离为 4.
(1)求 p 的值; (2) 设过抛物线 C1 的焦点 F 且斜率为 k 的直线与抛物线交于 A, B 两点, 与圆 C2 交于 C , D 两 点,当 k ? 0,1 时,求 AB ×CD 的取值范围.

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