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高三数学第一轮复习单元测试—极限、导数与复数



高三数学第一轮复习单元测试(10)—《极限、导数、复数》

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一 个选项正确 1. (理)若复数 z 满足方程 z ? 2 ? 0 ,则 z 3 ?
2

( D. ? 2 2 i ( )



A. ? 2 2

B. ? 2 2

C. ? 2 2 i

(文)曲线 y=4x-x3 在点(-1,-3)处的切线方程是 A. y=7x+4 2.函数 y=x2(- B. y=7x+2 C. y=x-4

D. y=x-2

1 1 ≤x≤ )图象上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,则直线 l 的倾斜角 2 2 的范围是 ( ) ? 3? A.[0, ]∪[ ,π ] B.[0,π ] 4 4 ? 3? ? ? 3? C.[ , ] D.[0, ]∪( , ) 4 4 4 2 4
x?2

3. (理)若 lim A.0

x 2 ? ax ? 2 3 ? ,则 a 的值为 4 x2 ? 4
B.1 C.-1 D.





1 2
?x 为( ?y


(文)在曲线 y=x2+1 的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δ x,2+Δ y),则

A.Δ x+

1 +2 ?x

C.Δ x+2

1 -2 ?x 1 D.2+Δ x- ?x
B.Δ x- ( D. )

1 5 2 x +3x +4x 在 x=-1 处的切线的倾斜角是 5 ? ? 3? A.- B. C. 4 4 4 3 2 2 5.函数 f(x)=x -ax -bx+a 在 x=1 时,有极值 10,则 a、b 的值为
4.曲线 y=

5? 4
( )

?a ? 3, ?a ? ?4 或? A. ? ?b ? ?3 ?b ? 11 ?a ? ?1 C. ? ?b ? 5

?a ? ?4, ?a ? -4 或? B. ? ?b ? 1 ?b ? 11
D.以上皆错

6. (理)已知 f ? x ? ? ?

?2 x ? 3, x ? 1 ,下面结论正确的是 ? 2, x ? 1
B. f ? x ? ? 5 D. lim f ? x ? ? 5 ?
x ?1





A. f ? x ? 在 x ? 1 处连续 C. lim f ? x ? ? 2 ?
x ?1

(文)设 f(x)=ax +3x +2,若 f′(-1)=4,则 a 的值等于

3

2

19 16 13 B. C. 3 3 3 7.函数 f(x)=x3-3x+1,x∈[-3,0]的最大值、最小值分别是 A.1,-1 B.1,-17 C.3, -17
A.

D.

10 3
( )

D.9,-19

8. (理)数列{an}中,a1=1,Sn 是前 n 项和.当 n≥2 时,an=3Sn,则 lim

n??

Sn ? 1 的值是( S n ?1 ? 3
D.-



1 B.-2 C.1 3 (文)曲线 y=x3-3x2+1 在点(1,-1)处的切线方程为 A.y=3x-4 B.y=-3x+2 C.y=-4x+3
A.-

4 5


( D.y=4x-5

9. (2008 年山东文)设 z 的共轭复数是 z ,若 z ? z ? 4 , z ?z ? 8 ,则

z 等于 ( z



A. i B. ?i C. ?1 D. ?i 10. (2008 年全国Ⅰ文) 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把 这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是 ( )

11. f(x)、 设 g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) > 0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 A. (-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0, 3) D.(-∞,- 3)∪(0, 3) ( )

12.已知两点 O(0,0) ,Q( a ,b),点 P1 是线段 OQ 的中点,点 P2 是线段 QP1 的中点,P3 是 线段 P1P2 的中点,┅, Pn? 2 是线段 Pn Pn ?1 的中点,则点 Pn 的极限位置应是( )

A. (

a b , ) 2 2

B.(

a b , ) 3 3

C.(

2a 2b , ) 3 3

D. (

3a 3b , ) 4 4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 13.垂直于直线 2x-6y+1=0 且与曲线 y=x3+3x2-1 相切的直线方程的一般式是__________.

3 ? 2 1 ? 3 14.(理) (2006 年安徽卷)设常数 a ? 0 , ? ax ? ? 展开式中 x 的系数为 ,则 2 x? ?
lim(a ? a 2 ? ??? ? a n ) ? _____.
n ??

4

(文)(2006 福建高考)已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? ax 相切,则 a ? ______.
2

15.函数 f(x)=2x3+3x2-12x-5,则函数 f(x)的单调增区间是______. 16. (理)用数学归纳法证 "1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 (n ? N * )" 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n 的过程中,当 n=k 到 n=k+1 时,左边所增加的项为_______________. (文)若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调递增函数,则 m 的取值范围是 ______________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)

( x ? 0) ?0 ?x (0 ? x ? 1) ? (理)设函数 f ( x) ? ? 2 (1 ? x ? 3) ?? x ? 4 x ? 2 ?4 ? x ( x ? 3) ?
(1)画出函数的图象; (2)在 x=0,x=3 处函数 f (x) 是否连续; (3)求函数 f (x) 的连续区间. (文)已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ?
3 . a

(1)讨论函数 f (x) 的单调性; (2)若曲线 y ? f (x) 上两点 A、B 处的切线都与 y 轴垂直,且线段 AB 与 x 轴有公共点, 求实数 a 的取值范围.

18. (本题满分 12 分) (理)已知复数 z1=cosθ -i,z2=sinθ +i,求| z1·z2|的最大值和最小值. (文)(2006 福建高考)已知 f ( x) 是二次函数,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5), 且 f ( x) 在区间 ? ?1, 4? 上的最大值是 12。 (1)求 f ( x) 的解析式; (2)是否存在实数 m, 使得方程 f ( x) ?

37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两个不等的 x

实数根?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

19. (本小题满分 12 分) (2008 陕西卷)已知函数 f ( x) ? 恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是 x ? ?c . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的另一个极值点;

kx ? 1 ( c ? 0 且 c ? 1 , k ?R ) x2 ? c

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的极大值 M 和极小值 m ,并求 M ? m ≥1 时 k 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分) (理)函数 f ( x) ?

1 的定义域为 R,且 lim f (? n) ? 0(n ? N ). n ?? 1 ? a ? 2 bx

(1)求证: a ? 0, b ? 0;

4 1 , 且f ( x)在[0,1] 上的最小值为 , 5 2 1 1 求证: f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ? n ?1 ? (n ? N ) . 2 2 3 2 (文)(2006 安徽高考)设函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x)
(2)若 f (1) ? 是奇函数。 (1)求 b 、 c 的值. (2)求 g ( x) 的单调区间与极值.

21. (本小题满分 12 分) (理)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,射线 y ? x( x ? 0)和y ? 2 x( x ? 0) 上依次有点 列 A1,A2…,An,…;B1,B2,…,Bn,….其 中 A1 (1,1), B1 (1,2), B2 (2,4), 且 | OAn |?| OAn ?1 | ? 2 ,

| Bn?1 Bn |? 2 | Bn Bn ?1 |, (n ? 2,3,4?).
(1)用含有 n 的式子表示 | Bn Bn ?1 | ; (2)用含有 n 的式子表示点 An、Bn 的坐标; (3)求四边形 An An ?1 Bn ?1 Bn (n ? 4) 面积的最大值. (文)(2006 陕西高考)已知函数 f(x)=kx3-3x2+1(k≥0). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)的极小值大于 0, 求 k 的取值范围.

22. (本大题满分 14 分) 自然状态下的鱼类是一种可再生资源, 为持续利用这一资源, 需从宏观上考察其再 生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量,n∈N*, 且 x1>0.不考虑其它因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比,死亡量

与 xn2 成正比,这些比例系数依次为正常数 a,b,c. (1)求 xn+1 与 xn 的关系式; (2)猜测:当且仅当 x1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不 要求证明) (3)(只理科做)设 a=2,b=1,为保证对任意 x1∈(0,2) ,都有 xn>0,n∈N*,则捕捞 强度 b 的最大允许值是多少?证明你的结论.

参考答案(10)
1. (理) z ? a ? bi(a,b ? R) , z 2 ?2 ? , ? 设 由 0 得
? ?a 2 ? b 2 ? 2 ? 0 ab ? 0

, z?? 2 。 得 所以 z3 ? ?2 2i . i

答案:D (文) y ?= 4 - 3x 2 ,所以 k 切=4-3×(-1)2=1,运用直线的点斜式方程得 y=4x-x3 在点(-1,

-3)处的切线方程是 y=x-2,所以应选 D. 2. y′=2x.∵-

1 1 ? ≤x≤ ,∴-1≤y′≤1,即-1≤tanα ≤1.又∵0≤α <π ,∴0≤α ≤ 或 2 2 4

3? ≤α <π .答案:A 4
3. (理)∵ lim

x?2

x 2 ? ax ? 2 存在,而把 x=2 代入分母时,分母为零,∴分子、分母应有(x ( x ? 2)( x ? 2)

-2)这一公因式, 化简以后, 再求极限.∴分子 x2+ax-2 可分解成(x-2)(x+1), x2+ax 即 2 -2=(x-2)(x+1)=x -x-2.∴a=-1.答案: C (文)

?x (1 ? ?x) 2 ? 1 ? (1 ? 1) = =Δ x+2.答案:C ?y ?x

4.y′=x4+6x+4,∴y′| x??1 =(-1)4+6(-1)+4=-1.由 tanα =-1,0≤α <π ,得α = 答案:C

3 π. 4

?3 ? 2a ? b ? 0, 5 . f ′ (x)=3x2 - 2ax - b. ∵ 函 数 f(x) 在 x=1 处 有 极 值 10, ∴ ? 解得 2 ?1 ? a ? b ? a ? 10.

?a ? 3, ?a ? ?4, 答案:A 或? ? ?b ? ?3 ?b ? 11.
6. (理) 当 x=1 时,2x+3=5 ? 2,故 A、B 错误;而 lim(2 x ? 3) =5,故选 D.
x ?1

10 .答案:D 3 7.f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).令 f′(x)=0 得 x=-1 或 x=1(舍去). 列表如下: x 0 -3 (-3, -1) -1 (-1,0) f(x) 3 1 -17 ↗ ↘ ∴f(x)max=3,f(x)min=-17.答案:C 1 1 8.(理)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3Sn,∴Sn=- Sn-1.又 S1=a1=1,∴{Sn}是以 1 为首项,- 为 2 2
(文)f′(x)=3ax2+6x,f′(-1)=3a-6=4,所以 a=

1 ( ? ) n ?1 ? 1 1 Sn ? 1 2 公比的等比数列.∴ lim = lim =- .答案: A 1 n?? S n?? 3 n ?1 ? 3 (? ) n ? 3 2
(文)y′=3x2-6x,∴y′|x=1=-3.∴在(1,-1)处的切线方程为 y+1=-3(x-1).答案:B 9.解析:本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。可设 z ? 2 ? bi ,由 z ? z ? 8

z z 2 ? 2 ? 2i ? ? ? ?i. 选 D. 得 4 ? b ? 8, b ? ?2. ? z 8 8
2

2

10.

本题主要考查了导数的几何意义即为切线斜率的几何意 义。是基础题。答案为A

11.∵当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0 ,即 [ f ( x) g ( x)] ? 0 ,∴当 x<0 时,f(x)g(x)
/

为增函数,又 g(x)是偶函数且 g(3)=0,∴g(-3)=0,∴f(-3)g(-3)=0,故当 x ? ?3 时,f(x)g(x)<0, 又 f(x)g(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)g(x)为减函数,且 f(3)g(3)=0,故当 0 ? x ? 3 时,f(x)g(x)< 0,故选 D 12.∵点 Pn 的位置应是( (

a a a a b b b b ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ?) ,∴点 Pn 的极限位置应是 2 4 8 16 2 4 8 16

2a 2b , ).答案:C 3 3

13.∵所求直线与 2x-6y+1=0 垂直,∴k=-3.又由 y=x3+3x2-1,得 y′=3x2+6x=-3.∴x=-1, 切点为(-1,1).∴直线方程为 y-1=-3(x+1),即 3x+y+2=0.答案: 3x+y+2=0 14.(理) Tr ?1 ? C a
r 4 4? r

x

8? 2 r

x

1 ? r 2

,由 x

8?2 r

x

1 ? r 2

3 1 r ? x3 , 得r ? 2, 由C4 a 4?r = 知a= ,所以 2 2

1 lim(a ? a 2 ? ??? ? a n ) ? 2 ? 1 ,所以为 1. n ?? 1 1? 2
2 (文)∵ 直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? ax 相切,切线的斜率 k ? y? ? 2ax ? 1 ,∴切点

(

1 1 ? 2a 1 ? 2a 1 , ) ,而切点又在抛物线 y ? ax 2 上,∴ ? a?( ) 2 2a 2a 2a 2a

故a ?

1 . 4

15. 分析:本题考查用导数求函数的单调区间,但要注意单调区间的写法.解:f′(x)=6x2+6x-12, 令 f′(x)>0,得 6x2+6x-12>0,解得 x<-2 或 x>1,即函数 f(x)的单调增区间是(-∞, -2)或(1,+∞).答案:(-∞,-2)或(1,+∞) 16. (理)当 n=k 到 n=k+1 时,左边增加了两项

1 1 1 ,减少了一项 ,左边所增加 , 2k ? 1 2k ? 2 k ?1 1 1 1 1 1 1 1 的项为 - = .答案: ? ? ? 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 2k ? 1 2k ? 2 2k ? 1 2k ? 2
(文)f′(x)=3x2+2x+m.∵f(x)在 R 上是单调递增函数,∴f′(x)>0 在 R 上恒成立, 即 3x2+2x+m>0.由Δ =4-4×3m<0,得 m>

1 1 .答案:m> 3 3

17.(理)⑴图略; ⑵ lim f ( x) ? 0, lim f ( x) ? lim x ? 0 , ? ? ?
x ?0 x ?0 x ?0

? lim f ( x) ? 0且f (0) ? 0 ,? f ( x)在x ? 0 处连续 ,
x ?0

同理 f ( x)在x ? 3 处连续;

⑶连续区间为(-∞,+∞).
2 (文)(1)由题设知 a ? 0, f ?( x) ? 3ax 2 ? 6 x ? 3ax( x ? ) . a

令 f ?( x) ? 0得x1 ? 0, x 2 ? 当(i)a>0 时,

2 . a

2 若 x ? (??,0) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在区间 (??, ) 上是增函数; a
2 2 若 x ? (0, ) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在区间 (0, ) 上是减函数; a a

2 2 若 x ? ( ,??) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在区间 ( ,??) 上是增函数; a a

(i i)当 a<0 时,
2 2 若 x ? (??, ) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在区间 (??, ) 上是减函数; a a 2 2 若 x ? (0, ) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在区间 (0, ) 上是减函数; a a 2 2 若 x ? ( ,0) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在区间 ( ,0) 上是增函数; a a 若 x ? (0,??) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在区间 (0,??) 上是减函数. (2)由(Ⅰ)的讨论及题设知,曲线 y ? f (x) 上的两点 A、B 的纵坐标为函数的极值,

且函数 y ? f (x) 在 x ? 0, x ?

2 4 3 2 3 处分别是取得极值 f (0) ? 1 ? , f ( ) ? ? 2 ? ? 1 . a a a a a

因为线段 AB 与 x 轴有公共点,所以 f (0) ? f ( ) ? 0 . 即 (?
4 a
2

2 a

?

(a ? 1)(a ? 3)(a ? 4) 3 3 ? 1)(1 ? ) ? 0 .所以 ?0. a a a2

故 (a ? 1)(a ? 3)(a ? 4) ? 0, 且a ? 0 . 解得 -1≤a<0 或 3≤a≤4. 即所求实数 a 的取值范围是[-1,0]∪[3,4]. 18.(理) | z1 ? z 2 |?| 1 ? sin? cos? ? (cos? ? sin? )i |

? (1 ? sin? cos? ) 2 ? (cos? ? sin? ) 2 1 ? 2 ? sin 2 ? cos2 ? ? 2 ? sin 2 2? . 4 3 故 | z1 ? z 2 | 的最大值为 , 最小值为 2 . 2
(文)(1)? f ( x) 是二次函数,且 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5),

?可设 f ( x) ? ax( x ? 5)(a ? 0). ? f ( x) 在区间 ? ?1, 4? 上的最大值是 f (?1) ? 6a.
由已知,得 6a ? 12,

? a ? 2, ? f ( x) ? 2 x( x ? 5) ? 2 x 2 ? 10 x( x ? R).
(2)方程 f ( x) ?
3

37 ? 0 等价于方程 2 x3 ? 10 x2 ? 37 ? 0. x
2 2

设 h( x) ? 2 x ? 10 x ? 37, 则 h '( x) ? 6 x ? 20 x ? 2 x(3x ? 10).

10 ) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 3 10 当 x ? ( , ??) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。 3
当 x ? (0,

?

10 1 ? h(3) ? 1 ? 0, h( ) ? ? ? 0, h(4) ? 5 ? 0, 3 27 10 10 方程 h( x ) ? 0 在区间 (3, ), ( , 4) 内分别有惟一实数根,而在区间 (0,3), (4, ??) 3 3
内没有实数根, 所以存在惟一的自然数 m ? 3, 使得方程 f ( x) ? 两个不同的实数根.

37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有 x

19.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

k ( x 2 ? c) ? 2 x(kx ? 1) ?kx 2 ? 2 x ? ck , ? ( x 2 ? c) 2 ( x 2 ? c) 2
2

由题意知 f ?(?c) ? 0 ,即得 c k ? 2c ? ck ? 0 , (*)

?c ? 0 ,? k ? 0 .
由 f ?( x) ? 0 得 ?kx ? 2 x ? ck ? 0 ,
2

由韦达定理知另一个极值点为 x ? 1 (或 x ? c ?

2 ) . k

2 2 ,即 c ? 1 ? . c ?1 k 当 c ? 1 时, k ? 0 ;当 0 ? c ? 1时, k ? ?2 .
(Ⅱ)由(*)式得 k ? (i)当 k ? 0 时, f ( x) 在 (??, c) 和 (1 ? ?) 内是减函数,在 (?c, 内是增函数. ? , 1)

? M ? f (1) ?
m ? f ( ?c ) ?

k ?1 k ? ? 0, c ?1 2

?kc ? 1 ?k 2 ? ?0, c 2 ? c 2(k ? 2)

由M ?m ?

k k2 ? ≥ 1 及 k ? 0 ,解得 k ≥ 2 . 2 2(k ? 2)

(ii)当 k ? ?2 时, f ( x) 在 (??, c) 和 (1 ? ?) 内是增函数,在 (?c, 内是减函数. ? , 1)

? M ? f ( ?c ) ?

?k 2 k ? 0 , m ? f (1) ? ? 0 2(k ? 2) 2

?k 2 k (k ? 1) 2 ? 1 M ?m ? ? ? 1? ≥ 1 恒成立. 2(k ? 2) 2 k ?2
? ? 综上可知,所求 k 的取值范围为 (??, 2) ? [ 2, ?) .
20.(理)解:⑴? f ( x) 定义域为 R,?1 ? a 2bx ? 0,即a ? ?2?bx 而x ? R,? a ? 0.若a ? 0, 则

f ( x) ? 1与 lim f (?n) ? 0矛盾, ? a ? 0
n ??

? lim f (?n) ? lim
n ?? n ??

1 1 ? a ? 2?bx

?1(0 ? 2?b ? 1) ? ? 1 ?? (2?b ? 1) ? 2?b ? 1即b ? 0, 故a ? 0, b ? 0 ?1 ? a ?0(2?b ? 1) ?

⑵由⑴知 f ( x)在[0,1]上为增函数,? f (0) ? 1 ,即 1 ? 1 ,? a ? 1, f (1) ?
2 1? a 2 1 4 1 1 4x 1 ? ,? 2b ? ,? b ? ?2.? f ( x) ? ? ? 1? ? b ?2 x x 1? a ? 2 5 4 1? 2 1? 4 1 ? 4x

1 1 ? 1? . k 1? 4 2 ? 2k 1 1 1 1 1 ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (n) ? n ? ( ? ? ) ? n ? n ?1 ? . 2 n 2?2 2?2 2?2 2 2 3 2 2 (文)(1)∵ f ? x ? ? x ? bx ? cx ,∴ f ? ? x ? ? 3x ? 2bx ? c .从而
当k ? N时 f (k ) ? 1 ?
g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x3 ? bx 2 ? cx ? (3x 2 ? 2bx ? c) = x3 ? (b ? 3) x 2 ? (c ? 2b) x ? c 是一个奇函数,所以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ; 2 3 (2)由(Ⅰ)知 g ( x) ? x ? 6 x ,从而 g ?( x) ? 3x ? 6 ,由此可知,
(??, ? 2) 和 ( 2, ??) 是函数 g ( x) 是单调递增区间;
(? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调递减区间;

g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,
极小值为 ?4 2 . 21.(理)⑴由已知得 | B1 B2 |?

5,

?

| Bn Bn ?1 | 1 ? , (n ? 2,3,?) | Bn ?1 Bn | 2
所以, | Bn Bn ?1 | 是首项为 5 ,

1 的等比数列, 2 1 n 1 ?| Bn Bn?1 |?| B1 B2 |( )-1 ? 5 ? ( ) n?1 , (n ? N ) ? 2 2 ? ⑵设 An ( x n , x n ),?| OAn |?| OAn ?1 |? 2 , (n ? 2,3, ?)
公比为

?| OAn | 是首项为 | OA1 |? 2 , 公差为 2 的等差数列,
?| OAn |?| OA1 | ?(n ? 1) ? 2 ? 2n
? xn ? | OAn | 2 ? n,? An (n, n)

?| OBn |?| OB 1 | ? | B1 B2 | ? | B2 B3 | ? ?? | Bn?1 Bn | 1 1 ? 5 ? 5 ? 5 ? ? ? ? 5 ? ( ) n?2 2 2 1 1 ? ( ) n ?1 1 2 ? 3 3 ? 5 ? ( ) n ?2 ? 5? 5? 1 2 1? 2

1 1 1 ? 3 ? ( ) n ?2 . 所以 Bn (3 ? ( ) n?2 ,6 ? ( ) n?3 ) 2 2 2 5 ⑶设四边形 An An?1 Bn ?1 Bn 的面积是 S n ,则 1 1 S n ? S ?Bn Bn ?1 An ? S ?An An ?1Bn ?1 ? ? | Bn Bn?1 | ?d1 ? | An An?1 | ?d 2 2 2 1 n ?1 3?( ) 3 1 1 1 n ?1 n 1 2 ? ? (n ? 1)( ) n ? ? 5 ?( ) ? ? ? 2? 2 2 2 2 5 2 2 n ?1 n ? 2 3 ? n ? S n ? S n?1 ? n ? n?1 ? n ? 0(n ? 4) 2 2 2 ∴ 数 列 {S n } 单 调 递 减 (n ? 4, n ? N ) . ∴ 四 边 形 An A n ?1 Bn ?1 Bn 的 面 积 的 最 大 值 为 27 S4 ? . 16
设 Bn ( x n ,2 x n ),? x n ? (文)(1)当 k=0 时,f(x)=-3x2+1,∴f(x)的单调增区间为(-∞,0),单调减区间[0,+∞]. 2 当 k>0 时 , f '(x)=3kx2-6x=3kx(x-k). 2 2 ∴f(x)的单调增区间为(-∞,0) , [k , +∞], 单调减区间为[0, k]. (2)当 k=0 时, 函数 f(x)不存在最小值. 2 8 12 当 k>0 时, 依题意 f(k )= k2 - k2 +1>0 , 即 k2>4 , 由条件 k>0, 所以 k 的取值范围为(2,+∞). 22. (1)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡量为
2 2 cxn ,因此x n ?1 ? x n ? axn ? bxn ? cxn , n ? N * .(*)

?

?

?

| OBn |

即x n ?1 ? x n (a ? b ? 1 ? cxn ), n ? N * .(**)
(2)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1, n∈N*,从而由(*)式得

xn (a ? b ? cxn )恒等于0, n ? N *,所以a ? b ? cx1 ? 0.即x1 ?
因为 x1>0,所以 a>b. 猜测:当且仅当 a>b,且 x1 ?

a ?b . c

a ?b 时,每年年初鱼群的总量保持不变. c

(3)若 b 的值使得 xn>0,n∈N* 由 xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知 0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有 0<x1<3-b. 即 0<b<3-x1. 而 x1∈(0, 2),所以 b ? (0,1] 由此猜测 b 的最大允许值是 1. 下证 当 x1∈(0, 2) ,b=1 时,都有 xn∈(0, 2), n∈N* ①当 n=1 时,结论显然成立. ②假设当 n=k 时结论成立,即 xk∈(0, 2), 则当 n=k+1 时,xk+1=xk(2-xk)>0. 又因为 xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2, 所以 xk+1∈(0, 2),故当 n=k+1 时结论也成立.

由①、②可知,对于任意的 n∈N*,都有 xn∈(0,2). 综上所述,为保证对任意 x1∈(0, 2), 都有 xn>0, n∈N*,则捕捞强度 b 的最大允许 值是 1.



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