河南省南阳市部分示范高中2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理

河南省南阳市部分示范高中 2013-2014 学年高二上学期期中考试

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南阳市 2013 年秋期高二期中考试 数学试题（理）答案 一、选择题 CBCDD 二、填空题 .13.7 三、解答题 17. 解：(1) m ? 3 时，原不等式即 x2 ? x ? 2 ? 0 14. CAAAB DC

3 3

15.（1,2）

16.4

? ( x ? 1)( x ? 2) ? 0

解得x ? ?1, 或x ? 2

?不等式的解集为： (??, ?1) ? (2, ??) .——————————5 分
(2)由题，对于任意的实数 x ，不等式 x ? x ? m ? 1 ? 0 恒成立，
2

? ? ? 1 ? 4(1 ? m) ? 0
解得 m ?

3 , 4

3 ?实数 m 的取值范围为： (??, ) .——————————10 分 4 2 2 18. 解： （1） a n ?1 ? 6 ? ( a n ? 2) ? 6 ? (a n ? 6) ， a1 ? 6 ? 1 。所以 ?a n ? 6?是以 1 为 3 3 2 2 n?1 2 2 首项， 为公比的等比数列。 a n ? 6 ? (a1 ? 6)( ) ? ( ) n?1 ， a n ? ( ) n ?1 ? 6 ———— 3 3 3 3
6分 （ 2 ） 设 ?a n ? 的 公 差 为 d 。 由 a n ?1 ?

2 an ? 2 3

得 an ?

a n?1 ? a n ?

2 2 (a n ? a n?1 ) 即 d ? d ? d ? 0 ，所以 a n ?1 3 3

2 a n ?1 ? 2 。 两 式 相 减 得 3 2 ? a n ? a n ? 2 ，得 a n ? 6 —— 3

————————12 分 19．解： （1）由正弦定理，得 sin C ? sin A ? ? sin A ? cosC 因为 0 ? A ? ? ,? sin A ? 0 ? sin C ? ? cosC 由 0 ? C ? ? ,? cosC ? 0 ? tan C ? ?1 则 C ? （2） A ? ? 0,

3? ——————————5 分 4

? ? ? 5? ? ? ? ?? ? ? A ? ? ? , ? ? sin(A ? ) ? 1 6 ? 6 12 ? 6 ? 4?

5

3? ) ? ? ? A ， 于是 4 3? ? 3 sin A ? cos(B ? ) ? 3 sin A ? cos A = 2 sin(A ? ) ? 2 4 6 ?这样的三角形不存在。——————————12 分 2 2 20. 解： （１）因为 sin B ? sin A ? sin C ，所以 b ? ac.
由（1）知 ( B ? 在△ABC 中得 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 a2 ? c2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2

又 B ? ?0.? ? 故有 0 ? B ?

?
3

．所以当 a ? c ? b 时，角 B 取最大值且为

? .—————5 分 3

(2）网由题 a ? b ? c ? 6, 得 a ? c ? 6 ? b 又b ?

ac ?

a ?c 6?b ? , 从而 0 ? b ? 2 2 2

9 由（1）知 0 0 ? B ?

?
3

且两等号同时成立

S?

1 1 1 ? ac sin B ? b2 sin B ? ? 22 ? sin ? 3 ，即 Smax ? 3 ．————————12 分 2 2 2 3

21. 解：设该车间每小时净收益为 z 元，生产的产品为每小时 x 公斤，直接排入河流的污水 量为每小时 y 立方米。则该车间每小时产生污水量为 0.3x; 污水处理量为 0.3x－y,经污水 处理厂处理后的污水排放量为(1－0.85)(0.3 x－y),车间产品成本为 27x,车间收入为 50x, 车间应交纳排污费用 17.6[(1－0.85)(0.3 x－y)+y],车间应交纳污水处理费 5(0.3x－y), 于是 z=50x－27x－5(0.3x－y)－17.6[0.15 (0.3x－y)+y]=20.708x－9.96y.

?0.3x ? y ? 0.9 ?9 x ? 170 y ? 45 ? ? 依题意 ?0.3 x ? y ? 0 ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?
——————————5 分 作出可行域，由图中可以看出直线

z ? 20.708 x ? 9.96 y 在两条直线 0.3x ? y ? 0 和 9 x ? 170 y ? 45 的交点处达到最大值，其交点坐标为 (3.3,0.09) ，此时
z max ? 67.44
故该车间应每小时生产 3.3 公斤产品,直接排入河流的污水量为每小时 0.09 立方米,这 样净收益最大.——————————12 分

6

22. 解： （1）证明：? a n ?1 ?

an
2

2

4an ? 1

,? an?1 ?
2

an
2

2

4a n ? 1

,?

1 an?1
2

?

4an ? 1
2

an

2

?

1 an
2

?4

即

1 a n ?1
2

?

1 an
2

? 1 ? ? ? ? 4 ，? ? 2 ? 为等差数列. ? an ? ? ?
2

?

1 an
2

?

1 a1
2

? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 3 ，? a n ?

1 ，又由题知 a n ? 0 ? a n ? 4n ? 3

1 4n ? 3

.

——————————4 分 （2）解： c n ? 2
n ?3

? 1 ? ? ? 3 ? ? n ? 2 n ?1 ， Tn ? 1 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ?1 ?a 2 ? ? n ?

2Tn ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n ，两式相减得 Tn ? (n ? 1)2 n ? 1
——————————8 分 （3）解： bn ? S 2 n ?1 ? S n ，? bn ?1 ? S 2 n?3 ? S n?1 ，

? bn ?1 ? bn ? ( S 2 n ?3 ? S 2 n ?1 ) ? ( S n ?1 ? S n ) ? a 2 n ?3 ? a 2 n ? 2 ? a n ?1
2 2

2

?

1 1 1 40 n ? 31 ? ? ?? ? 0， 8n ? 9 8n ? 5 4n ? 1 (8n ? 9)(8n ? 5)( 4n ? 1)

? bn ?1 ? bn .即数列 ?bn ?为递减数列，则要使 bn ?

m m 恒成立，只需 b1 ? ， 25 25

? b1 ? S 3 ? S1 ? a 2 ? a3 ?
2 2

14 14 m 70 ,? ? ,m ? . 45 45 25 9
m 成立. 25

?存在最小的正整数 m ? 8 ，使对任意 n ? N ? ，有 bn ?
——————————12 分

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