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高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分 25个必考问题专项突破《必考问题23 矩阵与变换》课件



必考问题23 矩阵与变换

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【真题体验】 ? 1 3 ? - ? 4 4 ? -1 ?,求矩 1.(2012· 江苏,21B)已

知矩阵 A 的逆矩阵 A =? 1 1 ? - ? 2? ? 2 阵 A 的特征值.

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解 因为 A 1A=E,所以 A=(A 1) 1.
- - -

? 1 3 ? -4 4 ? ? ?2 3? -1 -1 - 1 ? ?,所以 A=(A ) =? 因为 A =? ?2 1?, 1 1 ? ? ? ? - 2? ? 2 于是矩阵 A 的特征多项式为
?λ-2 f(λ)=? ? ? -2

-3 ? ? 2 = λ -3λ-4. λ-1? ?

令 f(λ)=0,解得 A 的特征值 λ1=-1,λ2=4.

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2.(2011· 江苏,21B)已知矩阵 使得 A2α=β. 解 A
2

?1 A=? ?2 ?

?1? 1? ? ? ? ,向量 β = .求向量 α, ? ? ? 1? ?2?

?1 =? ?2 ?

? ? ? ? ?x? ?3 2? 1? ??1 1? ?3 2? ? ? ? ? 2 = , 设 α = , 由 A α = β 得, ? ? ? ? ?y? ?4 3? 1? ??2 1? ?4 3? ? ? ? ? ? ?x=-1, ,解得? ? ?y=2.

? ?x? ?1? ?3x+2y=1 ? ? ? ? ? ?y?=?2?,从而? ? ? ? ? ?4x+3y=2

所以

?-1? ? α=? ? ?. ? 2?

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3.(2010· 江苏,21B)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0), B(-2,0),C(-2,1).设 k 为非零实数,矩阵
?0 N=? ?1 ? ?k M=? ?0 ?

0? ? , 1? ?

1? ? ,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别 0? ?

为 A1、B1、C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值.

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?0 由? ?1 ?

?k 由题设得,MN=? ?0 ? ? k? ??0 -2 ? 0? 0 ??0

? ? ? ? 0? ??0 1? ?0 k ? =? , ? ? ? ? 1??1 0? ?1 0?

? 0 k ? -2? ? ?0 ? = 可知 A1(0,0)、 B1(0, -2)、 ? ?0 -2 -2?, 1 ? ? ?

C1(k,-2).计算得△ABC 的面积是 1,△A1B1C1 的面积是|k|,则 由题设知:|k|=2×1=2. 所以 k 的值为 2 或-2.

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【高考定位】 高考对本内容的考查主要有: (1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算; (2)二阶矩阵的逆矩阵及其求法;

(3)矩阵的特征值与特征向量的求法.
本内容考查主要属B级要求

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【应对策略】 《考试说明》对这些内容是B级要求,一般说来,题目 的难度也不大,抓基础知识的理解和基本方法的运用仍然

是复习的重点,在复习中特别需要注意的就是紧扣《考试
说明》的要求,把握好 “ 度 ”.值得指出的是,待定系数 法在矩阵中有着广泛的应用,复习中要引起足够的重视.

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必 备 知 识 方 法

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必备知识 1.矩阵的乘法与逆矩阵
?a11 (1)? ?a ? 21 ? ? ? ? a12? ??b11 b12? ?a11b11+a12b21 a11b12+a12b22? ? ?=? ?. a22? ??b21 b22? ?a21b11+a22b21 a21b12+a22b22?

(2)若二阶矩阵 A, B 满足 AB=BA=E(E 为二阶单位矩阵), 则 称 A 是可逆矩阵,B 为 A 的逆矩阵,记为 B=A 1.


2.矩阵对应的变换 矩阵
?a =? ?c ? ?a M =? ?c ? ?x? ?x′? b? ? ? ? ? ? 对应的变换 T : ( x , y ) → ( x ′, y ′ ) 满足 → ?y? ?y′? d? ? ? ? ? ?

? ? ? ? b? ??x? ?ax+by? ?y?=?cx+dy ?. d? ?? ? ? ?
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3.二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)设 λ 是二阶矩阵 量为
?x ? ? α=? ?y?,则有 ? ? ?a M=? ?c ?

b? ? 的一个特征值,它的一个特征向 d? ?

?x ? ?x ? ? ? ? M? ?=λ? . ? ? ?y? ?y?

?λ-a (2)f(λ)=? ? -c ?

?a b? -b ? ? ? ? 2 = λ - ( a + d ) λ + ad - bc 为矩阵 M = ? c d? λ-d? ? ? ?

的特征多项式.

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(3)如果 λ 是二阶矩阵 M 的特征值,则 λ 是 M 的特征多项式的一 个根,它满足 f(λ)=0,此时将 λ
?x0? ? 非零解? ?y ?,它即为 ? 0? ? ?ax+by=λx, 代入? ? ?cx+dy=λy

可得到一组

M 的属于 λ 的一个特征向量.

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必备方法

1.熟练掌握二阶矩阵与列向量的运算的运算法则,注意不
能将列向量写在二阶矩阵左边;使用待定系数法过程中 务必注意解方程或方程组的准确性,检验是一个好习 惯. 2.已知曲线 C的方程,求变换后的曲线 C1 的方程的过程分

三步:
(1)将目标曲线C1上的任意一点的坐标(x,y)用曲线C上对 应点的坐标(x′,y′)表示;

(2)用x,y反表示x′,y′;
(3) 将 x′ , y′ 带回曲线 C 的方程,得到 x , y 的等式,该 等式即所求曲线C1的方程.
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3.记忆特征多项式,和这类问题的求解步骤:理解特征值与特征
?a 向量理论? ?c ? ?x? ?x? ? ?λ-a?x-by=0, b? ? ? ? ? ? ? =λ? ??? ? ? ? d ? ?y? ?y? ? ?-cx+?λ-b?y=0.

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热 点 命 题 角 度

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命题角度一 二阶矩阵与平面变换 [命题要点] (1)二阶矩阵与平面列向量的乘法、 二阶矩阵的 乘法运算; (2)二阶矩阵与平面变换; (3)根据条件求二阶矩 阵中待定的参数值.

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【例 1】? 若直线 y=kx

?0 在矩阵? ?1 ?

1? ? 对应的变换作用下得到的直 0? ?

线过点 P(4,1),求实数 k 的值. [审题视点] 根据 y=kx 1)可求 k.
?0 在? ?1 ?

1? ? 的变换下得到的直线过 P(4, 0? ?

[听课记录]

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设变换

?x′? ?0 ?x? ?x′? ? ? ? ? ? ? T:? ?→? ?,则? ? ?=?1 y ? ? ?y′? ?y′? ?

? ? ? ? ? 1? ?x=y′, ??x? ?y? =? ?,即? ? ? ? ? 0??y? ?x? ?y=x′,

代入直线 y=kx 得,x′=ky′,将点 P(4,1)代入得,k=4.

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解决这类问题一般是设变换

?x? ?x′? ? ? ? T:? → ?,求出原曲 ?y? ? ? ? ?y′?

线在 T 的变换下得到的曲线,再根据条件求相应的系数值.

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【突破训练 1】 (2012· 南京、盐城模拟)已知曲线 C1:x2+y2=1, 对它先作矩阵
?1 A=? ?0 ? ?0 0? ? ? 对应的变换,再作矩阵 B = ?1 2? ? ?

b? ? 对 0? ?

x2 2 应的变换,得到曲线 C2: +y =1.求实数 b 的值. 4

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?0 =? ?1 ?

?0 从曲线 C1 变到曲线 C2 的变换对应的矩阵为 BA=? ?1 ?

? ? b? ??1 0? ? ? 0? ??0 2?

2b? ? . 0 ? ?

在曲线 C1 上任意选一点 P(x0,y0),设它在矩阵 BA 对应的变换作 用下变为 P′(x′,y′),
?0 则有? ?1 ? ?x0? ?x′? ?2by0? ?x′? 2b? ? ? ?? ? ? ? ? ? = ,即 = ? ?. ?y ? ? ?x ? ? 0 ? ?? 0? ?y′? ? 0 ? ?y′?

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? ?2by0=x′, 故? ? ?x0=y′. ?1 ? ? x′?2=1. ?2b ?

1 ? ?y0= x′ 2b 解得 ? ? ?x0=y′.

代入曲线 C1 方程得, y′2 +

即曲线

?1? C2 方程为:?2b?2x2+y2=1. ? ?

x2 2 与已知的曲线 C2 的方程 +y =1 比较得(2b)2=4. 4 所以 b=± 1.

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命题角度二 二阶矩阵的逆矩阵及其求法 [命题要点] (1)求已知矩阵的逆矩阵; (2)利用逆矩阵解二元 一次方程组.

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【例2】? 二阶矩阵M对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别 变换成点(-1,-1)与(0,-2).求矩阵M的逆矩阵 M-1.

[审题视点] 点(-1,-1)与(0,-2)在M-1的变换成(1,-
1)与(-2,1),由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程 组,求矩阵. [听课记录]

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解 设矩阵 M 的逆矩阵 M
?a 由题意得,? ?c ?

-1

?a =? ?c ?

b? ? . d? ?

? ? ? ? ? ? ? ?? 0? b? ? ?-2? ??-1? ? 1? ?a b?? ? ?=?-1?,?c d ??-2 ?=? ?, d? ??-1? ? ?? ? ? ? ? 1?

∴-a-b=1,-c-d=-1;-2b=-2,-2d=1. 3 1 b=1,c= ,d=- ,a=-2. 2 2 1? ?-2 ? ? ∴M-1=?3 1 ?. - 2 ? ?2

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由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程
组,常用于求二阶矩阵,要注意变换的前后顺序.

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【突破训练2】 二阶矩阵M对应的变换TM将曲线x2+x-y+
1=0变为曲线2y2-x+2=0.求M-1

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解 设曲线 2y2-x+2=0 上一点 P(x,y)在 M-1 对应变化下变成 P(x′,y′), 设
?a -1? M ? ?c ? x′=ax+by, b? ? ? 2 ? , 代入 x +x-y+1=0 得, ? d? ? ?y′=cx+dy,

方程(ax+by)2+(ax+by)-(cx+dy)+1=0,即 b2y2+(a-c)x+(b x -d)xy+2abxy+a x +1=0,方程 y -2+1=0 比较得
2 2 2

1 1 a=0,b=1,c=2,d=1 或 a=0,b=-1,c=2,d=-1. 0 1? 0 -1? ? ? ? 1 ? ? ? -1 所以 M-1=? 1 ,或 M = . ? ? ? 1 -1 2 2 ? ? ? ?
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命题角度三 特征值与特征向量 [命题要点] (1)求二阶矩阵的特征值与特征向量; (2)已知一 个特征值与特征向量,求另一个已知一个特征值与特征向 量;(3)利用特征值与特征向量计算Anα.

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【例 3】 ? (2012· 徐州质量检测)已知二阶矩阵 M 有特征值 λ=3 及 对应的一个特征向量
?1? ? e1=? ?1?,并且 ? ?

M 对应的变换将点(-1,2)

变换成(9,15),求矩阵 M. [审题视点] 设
?a M=? ?c ?

b? ? ,由特征值与特征向量的关系和点变 ? d?

换的规律建立方程组.

[听课记录]

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解 设

?a M=? ?c ?

? ?1? ?3? ?a b??1? b? a b? ?a+b=3, ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ,则 = 3 = ,故 ?c d ??1? ?1? ?3? ?c d ? ? d? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?c+d=3.

? ?-1? ? 9? ?-a+2b=9, ? ? ? ? ? ?=?15 ?,故? ? ? ? 2? ? ?-c+2d=15.

联立以上两方程组解得 a=-1,b=4,c=-3,d=6,故
?-1 M=? ? ?-3

4? ? . 6? ?

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求矩阵

?a M= ? ?c ?

b? ? 就是要求待定的字母,利用条件建 ? d?

立方程组,确立待定的字母的值,从而求出矩阵,待定系数法是 求这类问题的通用方法.

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【突破训练 3】

?1 (2012· 南通模拟)已知矩阵? ?2 ?

2? ? 的属于特征值 b ? a?

?1? ? 的一个特征向量为? ?1?,求实数 ? ?

a、b 的值.
? ? 2? ? ?1? ?1? = a? ?? ?



?1 由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知, ? ?2 ?

? 1? ? b? ? 1? , ? ? ? ?b=3, 所以? ? ?b=a+2,

解得 a=1,b=3.

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22.矩阵与变换中要关注的两个顺序 一、连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序 【例1】? 已知△ABC,A(-1,0),B(3,0),C(2,1),对它先作

关于 x 轴的反射变换,再将所得图形绕原点逆时针旋转
90° . (1)分别求两次变换所对应的矩阵M1,M2; (2)求点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标.

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(1)关于 x 轴的反射变换 -1? ? ; 0 ? ?
? -1? ??1 ? 0 ? ??0

?1 M1=? ?0 ?

0? ? ;绕原点逆时针旋转 -1? ?

?0 90° ,M2=? ? ?1

(2)因为

?0 M=M2M1=? ? ?1

? 0 ? ? ?0 =? -1? ? ?1

?2? ?0 1? ? ? ? ? ,所以 M ?1?=?1 0? ? ? ? ?

1? ? 0? ?

?2? ?1? ? ? ? ? ?1? = ?2? . 故点 ? ? ? ?

C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标是

(1,2).

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老师叮咛: 要理解连续两次变换所对应二阶矩阵相乘
的顺序,如本题中两次连续的变换是M2M1,而不是M1M2.

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二、图象变换的前后顺序 π 【例 2】? 曲线 C∶xy=1 绕坐标原点逆时针旋转4后,得到的曲 线 C′,求曲线 C′的方程. 解 设 xy=1 上的任意点 P′(x′,y′)在变换矩阵 M 作用下 为 P(x,y), ? ?x= ?cos 45° -sin 45° ??x′? ?x? ? ? ?? ? ? ? 则? ?? ?=?y?,即? ?sin 45° cos 45° ??y′? ? ? ? y= ? ? y2 x2 代入 x′y′=1 得, 2 - 2 =1
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2 2 2 x′- 2 y′, 2 2 2 x′+ 2 y′,

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老师叮咛: 对于图象变换,一定要分清哪个是变换前 的,哪个是变换后的,以及变换的途径,防止因颠倒而出 错.

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