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双曲线的第二定义(含解析)



课题:双曲线的第二定义
【学习目标】 1、掌握双曲线的第二定义; 2、能应用双曲线的第二定义解决相关问题; 一、双曲线中的基本元素 (1).基本量: a、b、c、e 几何意义: a-实半轴、b-虚半轴、c-半焦距,e-离心率; 相互关系: c ? a ? b , e ?
2 2 2

c (c ? a ? 0) a

2).基本点:顶点、焦点、中心 (3).基本线: 对称轴 二.双曲线的第二定义的推导
0) 的距离和它到定直线 l : x ? 例 1 点 M ( x,y ) 与定点 F (c,

c a2 的距离的比是常数 (c ? a ? 0) ,求点 M 的轨迹. a c

? MF c ? ? ? 解: 设 d 是点 M 到直线 l 的距离. 根据题意, 所求轨迹就是集合 P ?M | ? ?, d a? ? ? ?

由此得

( x ? c) 2 ? y 2 x? a c
2

?

c .化简,得 (c2 ? a2 ) x2 ? a2 y 2 ? a2 (c2 ? a2 ) . a

设 c2 ? a 2 ? b2 , 就可化为

x2 y 2 这是双曲线的标准方程, 所以点 M ? ? 1(a ? 0,b ? 0) , a 2 b2

2b 的双曲线(如图) 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为 2 a, .

由例 1 可知,当点 M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e ?

c (e ? 1) 时,这个点的轨迹是双曲 a

线.定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数 e 是双曲线的离心率. x2 y 2 a2 0) 的准 0) 的准线方程是 x ? 对于双曲线 2 ? 2 ? 1 ,相应于焦点 F (c, ,根据双曲线的对称性,相应于焦点 F ?(?c, a b c 线方程是 x ? ?

a2 ,所以双曲线有两条准线. c
1 ,求这个动点的轨迹方程. 2

0) 的距离的 例 2 一动点到定直线 x ? 3 的距离是它到定点 F (4,

解:由题设知离心率 e ? 2 ,
0) 与定直线 x ? 3 是双曲线相应的右焦点与右准线, 又定点 F (4,

2 4 a2 ? 1 ,解得 a ? ,c ? . 3 3 c 8 ? ? 0? . 所以双曲线中心为 O? ? , ?3 ?
所以 c ? 2a , c ? 又 b2 ?

4 (3x ? 8)2 3 y2 ,故双曲线方程为 ? ?1. 3 4 4

评注:在应用第二定义时,应先确定定点不在定直线上,否则轨迹将是两条相交的直线,同时还应明确曲线中心 的位置,因为中心不同的曲线有其不同的方程.

三.第二定义的应用

1、已知双曲线的焦点是 ? 26,0 ,渐近线方程是 y ? ?

?

?

3 x ,则它的两条准线间的距离是___________; 2

2、若双曲线

x2 y2 ? ? 1 上点 p 到右焦点的距离为 8,则点 p 到右准线的距离为___________; 64 36 x2 y2 ? ? 1 上一点的横坐标为 15,则该点与左、右焦点的距离分别为________和________; 25 24 x2 y2 ? ? 1 上点 p 到右焦点的距离为 14,则其到左准线的距离是__________; 64 36
2

3、设双曲线

4、已知双曲线
2

5.双曲线 16x ―9y =―144 的实轴长、虚轴长、离心率分别为(C) (A)4, 3,

1 4

7

(B)8, 6,

1 4

7

(C)8, 6,

5 4

(D)4, 3,

5 4

6.顶点在 x 轴上,两顶点间的距离为 8, e=

5 的双曲线的标准方程为(A) 4

(A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ?1 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? 25 16 16 9 16 25 9 16

x2 y 2 ? ? 1 的两条准线间的距离等于(A) 7.双曲线 3 4
(A)

6 7

7

(B)

3 7

7

(C)

18 5

(D)

16 5

8.若双曲线

y 2 x2 ? ? 1 上一点 P 到双曲线上焦点的距离是 8,那么点 P 到上准线的距离是(D) 64 36

(A)10 (B)

32 7 7

(C)2 7

(D)

32 5

9.经过点 M(3, ―1),且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是(D) 2 2 2 2 2 2 2 2 (A)y ―x =8 (B)x ―y =±8 (C)x ―y =4 (D)x ―y =8 10.以 y=±
2

2 x 为渐近线的双曲线的方程是(D) 3
2 2 2 2 2

(A)3y ―2x =6 (B)9y ―8x =1 (C)3y ―2x =1 11.等轴双曲线的离心率为

(D)9y ―4x =36 ( 2,900 )

2

2

;等轴双曲线的两条渐近线的夹角是

12.从双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离是 .(b) a2 b2

5 x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,且离心率 e= 的双曲线方程是 13.与 4 49 24
2 2 2 2

x2 y2 ( ? ? 1) 16 9
. (

14.以 5x +8y =40 的焦点为顶点,且以 5x +8y =40 的顶点为焦点的双曲线的方程是

x2 y 2 ? ? 1) 3 5

15.已知双曲线

96 y2 x2 ? ? 1 上一点到其右焦点距离为 8,求其到左准线的距离 (答案: ) 5 64 36
王新敞
奎屯 新疆

四、课后作业 1.下列各对双曲线中,既有相同的离心率,又有相同的渐近线的是(B) (A)

x2 x2 x2 x2 y 2 2 2 2 ? ?1 ―y =1 与 y ― =1 (B) ―y =1 与 3 3 3 9 3
2

(C)y ―

x2 y2 2 =1 与 x ― 3 3

(D)

x2 y 2 x2 2 ? ?1 ―y =1 与 3 3 9

2.若共轭双曲线的离心率分别为 e1 和 e2,则必有(D) (A)e1= e2 (B)e1 e2=1 (C)

1 1 1 1 ? =1 (D) 2 ? 2 =1 e1 e2 e1 e2

3.若双曲线经过点(6,

1 3 ),且渐近线方程是 y=± x,则这条双曲线的方程是(C) 3

(A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 x2 y 2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? y 2 ? 1 (D) ? ?1 9 36 9 81 9 18 3
3 x,则双曲线的离心率为(C) 4

4.双曲线的渐近线为 y=±

(A)

5 4

(B)2 (C)

5 5 或 4 3

(D)

1 2

5或

15 3

5.如果双曲线

x2 y 2 ? ? 1 右支上一点 P 到它的右焦点的距离等于 2,则 P 到左准线的距离为(C) 16 9
69 10
(C)8 (D)10
2

(A)

24 5

(B)
2

6.已知双曲线 kx ? 2ky ? 4 的一条准线是 y=1,则实数 k 的值是(B) (A)

2 3

(B)―

2 3

(C)1

(D)―1

x2 y 2 ? ? 1 的离心率 e∈(1, 2),则 k 的取值范围是 7.双曲线 4 k
8.若双曲线

. (?12,0)

5 x2 y 2 ? ? 1 上的点 M 到左准线的距离为 ,则 M 到右焦点的距离是 2 16 9

.(

89 ) 8

9.双曲线的离心率 e=2,则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 10.在双曲线 则 y1+y3 等于

.( 3 : 1 )

y 2 x2 ? ? 1 的一支上有不同的三点 A(x1, y1), B( 26 , 6), C(x3, y3)与焦点 F 间的距离成等差数列, 12 13
.(12)



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