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高一数学专题训练三 函数与方程的思想



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高一数学专题训练三

函数与方程的思想方法

1、 已知 a, b, c ? R , a ? b ? c ? 0, a ? bc ? 1 ? 0 ,求 a 的取值范围。

2、 若 a 、 b 是正数,且满足 ab ? a ? b ? 3 ,求 ab 的取值范围。

3、 如

果方程 cos x ? sin x ? a ? 0 在 (0,
2

?
2

] 上有解,求 a 的取值范围。

4、 已知函数 f ( x) ? 2 cos x ? cos x ? 1 , g ( x) ? cos x ? a(cosx ? 1) ? cos x ? 3 ,
2 2

若 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像在 (0, ? ) 内至少有一个公共点,试求 a 的取值范围。

2

5、 已 知 f (t ) ? l o g 2 t , t ? [ 2 ,8] , 对 于 f (t ) 值 域 内 的 所 有 的 实 数 m , 不 等 式

x 2 ? mx ? 4 ? 2m ? 4 x 恒成立,求 x 的取值范围。

6、已知对于任意的 a ? [?1,1] ,函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值总大于 0,则实数

x 的取值范围是



7、已知 ? ? R ,若 x 2 ? (4 ? cos? ) x ? 3 ? cos? ? 0 恒成立,则实数 x 的取值范围是

8、若实数 x, y满足 x 2 ? y 2 ? xy ? 1,则 x ? y 的最大值是



? ? 1 ?x ?2 ? ? ? , x ? 0 ? ?2? 9 、已知直线 y ? mx(m ? R) 与函数 f ( x) ? ? 的图像恰有三个不同的公共 1 ? 2 x ? 1, x ? 0 ? ?2
点,则实数 m 的取值范围是 。 10 、设 a1 , d 为实数,首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 {an } 的前 n 项的和为 S n ,满足

S 4 S 5 ? ?10 ,则 a1 的取值范围是
11、求自然数 a 的最大值,使不等式 成立



1 1 1 ? ? …? ? a ? 7 对一切自然数 n 都 n ?1 n ? 2 3n ? 1

3

12 、 记 ?A B C 的 三 内 角 A, B, C 所 对 边 分 别 为 a, b, c , 设 向 量 p ? (a ? c, b) ,

q ? (b ? a, c ? a) ,且 p ∥ q
(1)求角 C 的大小; (2)记

a?b ? ? ,求 ? 的取值范围。 c

13、已知等腰三角形腰上的中线长为 3 ,求该三角形的面积的最大值。

14、 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? bx ( a, b为常数,且 a?0 ) 满 足 条 件 :
2

f ( x ? 1) ? f (3 ? x) , 且方程 f ( x) ? 2 x 有等根。 是否存在实数 m, n(m ? n) , 使 f ( x)
得定义域和值域分别为 [m, n] 和 [4m,4n] ,如果存在,求出 m, n 的值;如果不存在, 说明理由。

4

高一数学专题训练三

函数与方程

1、 已知 a, b, c ? R , a ? b ? c ? 0, a ? bc ? 1 ? 0 ,求 a 的取值范围。 (法一:方程思想;法二:函数思想) (答案: a ? ?2 ? 2 2 或 a ? ?2 ? 2 2 2、若 a 、 b 是正数,且满足 ab ? a ? b ? 3 ,求 ab 的取值范围。 (法一:函数思想;法二:不等式解集;法三:方程思想) (答案: [9,??) 3、如果方程 cos x ? sin x ? a ? 0 在 (0,
2

?
2

] 上有解,求 a 的取值范围。

(法一:函数思想;法二:转化为二次函数,再利用二次函数图像) (答案: ( ? 1,1] 4、 已 知 函 数 f ( x) ? 2 cos2 x ? cos x ? 1 , g ( x) ? cos2 x ? a(cosx ? 1) ? cos x ? 3 , 若

y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像在 (0, ? ) 内至少有一个公共点,试求 a 的取值范围。
(答案: a ? 2) 5、 已 知 f (t ) ? l o g 2 t , t ? [ 2 ,8] , 对 于 f (t ) 值 域 内 的 所 有 的 实 数 m , 不 等 式

x 2 ? mx ? 4 ? 2m ? 4 x 恒成立,求 x 的取值范围。
(答案: (??,?1) ? (2,??) ) 6、已知对于任意的 a ? [?1,1] ,函数 f ( x) ? x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值总大于 0,则实数
2

x 的取值范围是

答案: x ? 1或x ? 3

2 7、已知 ? ? R ,若 x ? (4 ? cos? ) x ? 3 ? cos? ? 0 恒成立,则实数 x 的取值范围是

(答案: 1 ? x ? 2 )
2 2 8、若实数 x, y满足 x ? y ? xy ? 1,则 x ? y 的最大值是



(答案:

2 3 ,有两种方法:方程思想与不等式) 3

5

? ? 1 ?x ?2 ? ? ? , x ? 0 ? ?2? 9 、已知直线 y ? mx(m ? R) 与函数 f ( x) ? ? 的图像恰有三个不同的公共 1 ? 2 x ? 1, x ? 0 ? ?2
点,则实数 m 的取值范围是 解: 。

1 2 x ? 1 ? mx 有两个不同的正根,即 x 2 ? 2mx ? 2 ? 0 有两个不同的正根, 2
∴m ?

?? ? 4m 2 ? 8 ? 0 ? ∴ ? x1 ? x 2 ? 2m ? 0 ?x x ? 2 ? 0 ? 1 2

2

10 、设 a1 , d 为实数,首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 {an } 的前 n 项的和为 S n ,满足

S 4 S 5 ? ?10 ,则 a1 的取值范围是
11、求自然数 a 的最大值,使不等式 成立。 (答案: a 的最大值为 7)

。 ( ? ?,?2 6 ] ? [2 6,??)

1 1 1 ? ? …? ? a ? 7 对一切自然数 n 都 n ?1 n ? 2 3n ? 1

12 、 记 ?A B C 的 三 内 角 A, B, C 所 对 边 分 别 为 a, b, c , 设 向 量 p ? (a ? c, b) ,

q ? (b ? a, c ? a) ,且 p ∥ q
(1)求角 C 的大小; (答案: (2)记

a?b ? ? ,求 ? 的取值范围。 (答案: (1,2] ) c

? ) 3

13、已知等腰三角形腰上的中线长为 3 ,求该三角形的面积的最大值。 (答案:2) 14 、 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? bx ( a, b为常数,且 a?0 ) 满 足 条 件 :
2

f ( x ? 1) ? f (3 ? x) ,且方程 f ( x) ? 2 x 有等根。是否存在实数 m, n(m ? n) ,使 f ( x) 得
定义域和值域分别为 [m, n] 和 [4m,4n] , 如果存在, 求出 m, n 的值; 如果不存在, 说明理由。 (答案:满足条件的 m, n 存在, m ? ?2, n ? 0 )



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