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江苏省扬州市邗江区2015-2016学年八年级(下)期中数学试卷(解析版)


2015-2016 学年江苏省扬州市邗江区八年级(下)期中数学试卷
一、选择题(本大题共有 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题所给出的四个选项中, 恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1.图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

2.下列事件中最适合使用普查方式收集数据的是( ) A.了解全国每天丢弃的废旧电池数 B.了解某班同学的身高情况 C.了解一批炮弹的杀伤半径 D.了解全国农民的年人均收入情况 3.为了了解某校八年级 1000 名学生的身高,从中抽取了 50 名学生并对他们的身高进行统 计分析,以下说法正确的是( ) A.1 000 名学生是总体 B.抽取的 50 名学生是样本容量 C.每位学生的身高是个体 D.被抽取的 50 名学生是总体的一个样本 4.事件 A:某射击运动员射击一次,命中靶心;事件 B:明天太阳从西边升起;C.13 名 3 个事件的概率分别记为 P(A) P(B) P(C) 同学中至少有两名同学的出生月份相同. 、 、 , 则 P 、P(B) 、P(C)的大小关系正确的是( ) (A) A.P(B)<P(A)<P(C) B.P(C)<P(B)<P(A) C.P(A)<P(B)<P(C) D.P(A) <P(C)<P(B) 5.把分式 中的 x 和 y 都扩大 3 倍,分式的值( )

A.扩大 3 倍 B.扩大 9 倍 C.不变 D.缩小 3 倍 6.如图,点 A 是直线 l 外一点,在 l 上取两点 B、C,分别以 A、C 为圆心,BC、AB 长为 半径画弧,两弧交于点 D,分别连接 AB、AD、CD,则四边形 ABCD 一定是( )

A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 7.如图,?ABCD 的对角线相交于点 O,且 AD≠CD,过点 O 作 OM⊥AC,交 AD 于点 M, 如果△ CDM 的周长是 40cm,则平行四边形 ABCD 的周长是( )

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A.40cm B.60cm C.70cm D.80cm 8.如图,正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中,点 D 在 CG 上,BC=1,CE=3,H 是 AF 的中 点,那么 CH 的长是( )

A.2.5

B.

C.

D.2

二、填空题(本大题共有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.不需写出解答过程,请把答案 直接填写在答题卡相应位置上) 9.?ABCD 中,∠B=80°,∠C= °. 10.若分式 11.如果 的值为零,则 x= . .

成立,则 a 的取值范围是

12.在一个不透明的口袋里装有 1 个红球,2 个白球和 n 个黄球,这些球除颜色外其余都相 同.若从该口袋中任意摸出 1 个球,摸到白球的可能性大于黄球的可能性,则 n 等 于 . 13.2016 年扬州体育中考现场考试内容有两项,50 米跑为必考项目,另在立定跳远、坐位 体前屈、实心球和一分钟跳绳中选一项测试.王老师对参加体育中考的九(1)班 40 名学生 的一项选测科目作了统计,列出如图所示的统计表,则本班参加坐位体前屈的人数是 人. 组别 立定跳远 坐位体前屈 实心球 一分钟跳绳 频率 0.4 0.35 0.1 0.15 ,定义 = ,

14. d 排成 2 行、2 列, 将 4 个数 a,b,c, 两边各加一条竖直线记成

上述记号就叫做 2 阶行列式.则

=



15.如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=2cm,点 E 在 BC 上,且 AE=CE.若将纸片沿 AE cm. 折叠,点 B 恰好与 AC 上的点 B1 重合,则 AC=

16.某学习小组设计了一个摸球试验,在袋中装有黑,白两种颜色的球,这些球的形状大小 质地等完全相同,即除颜色外无其他差别.在看不到球的情况下,随机从袋中摸出一个球, 记下颜色,再把它放回,不断重复.下表是由试验得到的一组统计数据: 100 200 300 400 500 600 摸球的次数
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58 118 189 237 302 359 摸到白球的次数 0.58 0.59 0.63 0.593 0.604 0.598 摸到白球的频率 从这个袋中随机摸出一个球,是白球的概率约为 . (结果精确到 0.1) 17.如图所示,DE 为△ ABC 的中位线,点 F 在 DE 上,且∠AFB=90°,若 AB=5,BC=8, 则 EF 的长为 .

18.正方形 A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图的方式放置.点 A1,A2,A3,…和 点 C1,C2,C3,…分别在直线 y=x+1 和 x 轴上,则点 B6 的坐标是 .

三、解答题(本大题共 10 题,共 96 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19.计算 (1)

(2)



20. 粗心的小明在计算

减去一个分式时, 误将减号抄成了加号, 算得的结果为



请你帮他算出正确的结果,并取一组合适的 a、b 的值代入求值. 21.如图,在直角坐标系中,A(0,4) ,B(﹣3,0) . (1)①画出线段 AB 关于 y 轴对称线段 AC; ②将线段 CA 绕点 C 顺时针旋转一个角,得到对应线段 CD,使得 AD∥x 轴,请画出线段 CD; (2)判断四边形 ABCD 的形状: . (3)若直线 y=kx 平分(1)中四边形 ABCD 的面积,请直接写出实数 k 的值.

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22.“低碳环保,你我同行”.两年来,扬州市区的公共自行车给市民出行带来切实方便.电 视台记者在某区街头随机选取了市民进行调查,调查的问题是“您大概多久使用一次公共自 行车?”,将本次调查结果归为四种情况:A.每天都用;B.经常使用;C.偶尔使用;D.从 未使用.将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图如图 2:

根据图中的信息,解答下列问题: (1)本次活动共有 位市民参与调查; (2)补全条形统计图和扇形统计图; (3)扇形统计图中 A 项所对应的圆心角的度数为 (4)根据统计结果,若该区有 46 万市民,请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人? 23.已知线段 AB、BC,∠ABC=90°,求作矩形 ABCD. (1)小王同学的作图痕迹如图,请你写出他的作法; (2)请你再设计另一种尺规作图的方法作出所求图形,保留痕迹,不必写作法.

24.在三只乒乓球上,分别写有三个不同的正整数(用 a、b、c 表示) ,三只乒乓球除上面 的数字不同外,其余均相同.将三只乒乓球放在一个盒子中,无放回的从中依次摸 2 只乒乓 球,将球上面的数字相加求和.当和为偶数时,记为事件 A;当和为奇数时,记为事件 B. (1)设计一组 a、b、c 的值,使得事件 A 为必然发生的事件; (2)设计一组 a、b、c 的值,使得事件 B 发生的概率大于事件 A 发生的概率. 25.已知:如图,在?ABCD 中,AE 是 BC 边上的高,将△ ABE 沿 BC 方向平移,使点 E 与点 C 重合,得△ GFC. (1)求证:BE=DG; (2)若∠BCD=120?,当 AB 与 BC 满足什么数量关系时,四边形 ABFG 是菱形?证明你的 结论.

26.观察下面的变形规律: 解答下面的问题:

=1﹣ ,

= ﹣ ,

= ﹣ ,…

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(1)若 n 为正整数,请你猜想 (2)证明你猜想的结论; (3)计算: + + +…+

=



+



27.如图,将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠,使点 B 落到点 B′的位置,AB′与 CD 交于 点 E. (1)试找出一个与△ AED 全等的三角形,并加以证明; (2)若 AB=8,DE=3,P 为线段 AC 上的任意一点,PG⊥AE 于 G,PH⊥EC 于 H,试求 PG+PH 的值,并说明理由.

28.如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 P 在 AB 上从 A 向 B 运动,连接 DP 交 AC 于点 Q. (1)试证明:无论点 P 运动到 AB 上何处时,都有△ ADQ≌△ABQ; (2)当点 P 在 AB 上运动到什么位置时,△ ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的 ; (3)若点 P 从点 A 运动到点 B,再继续在 BC 上运动到点 C,在整个运动过程中,当点 P 运动到什么位置时,△ ADQ 恰为等腰三角形.

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2015-2016 学年江苏省扬州市邗江区八年级(下)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共有 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题所给出的四个选项中, 恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1.图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】中心对称图形;轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形.故本选项错误; B、是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项错误; C、是轴对称图形,也是中心对称图形.故本选项正确; D、不是轴对称图形,是中心对称图形.故本选项错误. 故选 C. 2.下列事件中最适合使用普查方式收集数据的是( A.了解全国每天丢弃的废旧电池数 B.了解某班同学的身高情况 C.了解一批炮弹的杀伤半径 D.了解全国农民的年人均收入情况 )

【考点】全面调查与抽样调查. 【分析】由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到 的调查结果比较近似. 【解答】解:A、调查的人数较大,数据不是非常重要,因而适合抽查,故选项错误; B、人数不多,容易调查,适合使用普查方式,故选项正确; C、具有破坏性,因而适合抽查,不适合普查,故选项错误; D、调查的人数较大,数据不是非常重要,因而适合抽查,故选项错误. 故选 B. 3.为了了解某校八年级 1000 名学生的身高,从中抽取了 50 名学生并对他们的身高进行统 计分析,以下说法正确的是( ) A.1 000 名学生是总体 B.抽取的 50 名学生是样本容量 C.每位学生的身高是个体 D.被抽取的 50 名学生是总体的一个样本 【考点】总体、个体、样本、样本容量.

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【分析】总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所 抽取的一部分个体,而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、 样本容量,这四个概念时,首先找出考查的对象.从而找出总体、个体.再根据被收集数据 的这一部分对象找出样本,最后再根据样本确定出样本容量. 【解答】解:A、八年级 1000 名学生的身高是总体,故 A 错误; B、50 是样本容量,故 B 错误; C、每位学生的身高是个体,故 C 正确; D、被抽取的 50 名学生的身高是总体的一个样本,故 D 错误; 故选:C. 4.事件 A:某射击运动员射击一次,命中靶心;事件 B:明天太阳从西边升起;C.13 名 3 个事件的概率分别记为 P(A) P(B) P(C) 同学中至少有两名同学的出生月份相同. 、 、 , 则 P 、P(B) 、P(C)的大小关系正确的是( ) (A) A.P(B)<P(A)<P(C) B.P(C)<P(B)<P(A) C.P(A)<P(B)<P(C) D.P(A) <P(C)<P(B) 【考点】概率公式. 【分析】必然事件就是一定发生的事件,根据定义即可作出判断. 【解答】解:事件 A:某射击运动员射击一次,命中靶心是随机事件;事件 B:明天太阳从 西边升起是必然事件;C.13 名同学中至少有两名同学的出生月份相同是必然事件,所以 P , (B)<P(A)<P(C) 故选 A.

5.把分式

中的 x 和 y 都扩大 3 倍,分式的值(



A.扩大 3 倍 B.扩大 9 倍 C.不变 D.缩小 3 倍 【考点】分式的基本性质. 【分析】根据分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零(或整式) ,分式的值不变, 可得答案. 【解答】解:分式 故选:C. 6.如图,点 A 是直线 l 外一点,在 l 上取两点 B、C,分别以 A、C 为圆心,BC、AB 长为 半径画弧,两弧交于点 D,分别连接 AB、AD、CD,则四边形 ABCD 一定是( ) 中的 x 和 y 都扩大 3 倍,分式的值不变,

A.平行四边形

B.矩形 C.菱形 D.梯形 【考点】平行四边形的判定;作图—复杂作图. 【分析】利用平行四边形的判定方法可以判定四边形 ABCD 是平行四边形. 【解答】解:∵分别以 A、C 为圆心,BC、AB 长为半径画弧,两弧交于点 D, ∴AD=BC AB=CD ∴四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形) .
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故选 A. 7.如图,?ABCD 的对角线相交于点 O,且 AD≠CD,过点 O 作 OM⊥AC,交 AD 于点 M, 如果△ CDM 的周长是 40cm,则平行四边形 ABCD 的周长是( )

A.40cm B.60cm C.70cm D.80cm 【考点】平行四边形的性质;线段垂直平分线的性质. AD=BC, OA=OC, 【分析】 由四边形 ABCD 是平行四边形, 即可得 AB=CD, 又由 OM⊥AC, 根据垂直平分线的性质,即可得 AM=CM,又由△ CDM 的周长是 40cm,即可求得平行四边 形 ABCD 的周长. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,OA=OC, ∵OM⊥AC, ∴AM=CM, ∵△CDM 的周长是 40cm, 即:DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40cm, ∴平行四边形 ABCD 的周长为:2(AD+CD)=2×40=80(cm) . ∴平行四边形 ABCD 的周长为 80cm. 故选:D. 8.如图,正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中,点 D 在 CG 上,BC=1,CE=3,H 是 AF 的中 点,那么 CH 的长是( )

A.2.5

B.

C.

D.2

【考点】直角三角形斜边上的中线;勾股定理;勾股定理的逆定理. CF, CF, ∠ACD=∠GCF=45°, 【分析】 连接 AC、 根据正方形性质求出 AC、 再求出∠ACF=90°, 然后利用勾股定理列式求出 AF, 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可. 【解答】解:如图,连接 AC、CF, ∵正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中,BC=1,CE=3, ∴AC= ,CF=3 , ∠ACD=∠GCF=45°, ∴∠ACF=90°, 由勾股定理得,AF= = =2
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∵H 是 AF 的中点, ∴CH= AF= ×2 故选:B. = .

二、填空题(本大题共有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.不需写出解答过程,请把答案 直接填写在答题卡相应位置上) 9.?ABCD 中,∠B=80°,∠C= 100 °. 【考点】平行四边形的性质. 【分析】直接利用平行四边形的性质直接得出答案. 【解答】解:如图所示:∵?ABCD 中,∠B=80°, ∴∠C=180°﹣80°=100°. 故答案为:100.

10.若分式

的值为零,则 x= ﹣3 .

【考点】分式的值为零的条件. 【分析】先根据分式的值为 0 的条件列出关于 x 的不等式组,求出 x 的值即可. 【解答】解:∵分式 的值为零,



,解得 x=﹣3.

故答案为:﹣3.

11.如果

成立,则 a 的取值范围是 a≠



【考点】分式的基本性质. 【分析】根据分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变,可得 答案. 【解答】解: 2a﹣1≠0.
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成立,得

解得 a≠ , 故答案为: .

12.在一个不透明的口袋里装有 1 个红球,2 个白球和 n 个黄球,这些球除颜色外其余都相 同.若从该口袋中任意摸出 1 个球,摸到白球的可能性大于黄球的可能性,则 n 等于 1 . 【考点】可能性的大小. 【分析】先求出球的总个数,再根据概率公式列出不等式,求解即可. 【解答】解:根据题意得: 解得:n<2, ∵n 为正整数, ∴n=1, 故答案为:1. 13.2016 年扬州体育中考现场考试内容有两项,50 米跑为必考项目,另在立定跳远、坐位 体前屈、实心球和一分钟跳绳中选一项测试.王老师对参加体育中考的九(1)班 40 名学生 的一项选测科目作了统计,列出如图所示的统计表,则本班参加坐位体前屈的人数是 14 人. 组别立定跳远坐位体前屈实心球一分钟跳绳 0.35 0.1 0.15 频率0.4 【考点】频数(率)分布表. 【分析】根据频率= 【解答】解:∵频率= ,即可求出频数. , > ,

∴频数=频率×总数=0.35×40=14 人. 故答案为 14.

14. d 排成 2 行、2 列, 将 4 个数 a,b,c, 两边各加一条竖直线记成

,定义

=



上述记号就叫做 2 阶行列式.则

=



【考点】分式的加减法. 【分析】原式利用题中的新定义化简,计算即可得到结果. 【解答】解:根据题中的新定义得: ﹣ =

= 故答案为:

=



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15.如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=2cm,点 E 在 BC 上,且 AE=CE.若将纸片沿 AE 折叠,点 B 恰好与 AC 上的点 B1 重合,则 AC= 4 cm.

【考点】翻折变换(折叠问题) . 【分析】根据题意推出 AB=AB1=2,由 AE=CE 推出 AB1=B1C,即 AC=4. 【解答】解:∵AB=2cm,AB=AB1 ∴AB1=2cm, ∵四边形 ABCD 是矩形,AE=CE, ∴∠ABE=∠AB1E=90° ∵AE=CE, ∴AB1=B1C, ∴AC=4cm. 故答案为:4. 16.某学习小组设计了一个摸球试验,在袋中装有黑,白两种颜色的球,这些球的形状大小 质地等完全相同,即除颜色外无其他差别.在看不到球的情况下,随机从袋中摸出一个球, 记下颜色,再把它放回,不断重复.下表是由试验得到的一组统计数据: 100 200 300 400 500 600 摸球的次数 58 118 189 237 302 359 摸到白球的次数 0.58 0.59 0.63 0.593 0.604 0.598 摸到白球的频率 从这个袋中随机摸出一个球,是白球的概率约为 0.6 . (结果精确到 0.1) 【考点】利用频率估计概率. 【分析】用所有频率的平均数即可表示时间发生的概率. 【解答】解:是白球的概率为: 故答案为:0.6. 17.如图所示,DE 为△ ABC 的中位线,点 F 在 DE 上,且∠AFB=90°,若 AB=5,BC=8, 则 EF 的长为 . =0.6,

【考点】三角形中位线定理;直角三角形斜边上的中线. 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可求出 DF 的长,再利用三角形的 中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半,可求出 DE 的长,进而求出 EF 的长 【解答】解:∵∠AFB=90°,D 为 AB 的中点, ∴DF= AB=2.5,
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∵DE 为△ ABC 的中位线, ∴DE= BC=4, ∴EF=DE﹣DF=1.5, 故答案为:1.5. 18.正方形 A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图的方式放置.点 A1,A2,A3,…和 点 C1,C2,C3,…分别在直线 y=x+1 和 x 轴上,则点 B6 的坐标是 (63,32) .

【考点】一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】首先利用直线的解析式,分别求得 A1,A2,A3,A4…的坐标,由此得到一定的规 律,据此求出点 An 的坐标,即可得出点 B6 的坐标. 【解答】方法一: 解:∵直线 y=x+1,x=0 时,y=1, ∴A1B1=1,点 B2 的坐标为(3,2) , 0 ∴A1 的纵坐标是:1=2 ,A1 的横坐标是:0=20﹣1, ∴A2 的纵坐标是:1+1=21,A2 的横坐标是:1=21﹣1, ∴A3 的纵坐标是:2+2=4=22,A3 的横坐标是:1+2=3=22﹣1, ∴A4 的纵坐标是:4+4=8=23,A4 的横坐标是:1+2+4=7=23﹣1, 即点 A4 的坐标为(7,8) . 据此可以得到 An 的纵坐标是:2n﹣1,横坐标是:2n﹣1﹣1. 即点 An 的坐标为(2n﹣1﹣1,2n﹣1) . 5 5 ∴点 A6 的坐标为(2 ﹣1,2 ) . 6 5 B 2 1 2 ∴点 6 的坐标是: ( ﹣ , )即(63,32) . 故答案为: (63,32) . 方法二: ∵B1C1=1,B2C2=2, ∴q=2,a1=1, ∴B6C6=25=32, ∴OC1=1=21=1, OC2=1+2=22﹣1, OC3=1+2+4=23﹣1… OC6=26﹣1=63, ∴B6(32,63) . 三、解答题(本大题共 10 题,共 96 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19.计算

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(1)

(2)



【考点】分式的加减法. 【分析】 (1)原式变形后,利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果; (2)原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果. 【解答】解: (1)原式= = ; ﹣ =

(2)原式=

+

=



20. 粗心的小明在计算

减去一个分式时, 误将减号抄成了加号, 算得的结果为



请你帮他算出正确的结果,并取一组合适的 a、b 的值代入求值. 【考点】分式的化简求值. 【分析】先求出原分式的表达式,再用 的值代入求值即可. 【解答】解: ﹣ = = , 减去所得分式,求出结果,再选取合适的 a、b



=

=﹣



当 a=2,b=1 时,原式=1. 21.如图,在直角坐标系中,A(0,4) ,B(﹣3,0) . (1)①画出线段 AB 关于 y 轴对称线段 AC; ②将线段 CA 绕点 C 顺时针旋转一个角,得到对应线段 CD,使得 AD∥x 轴,请画出线段 CD; (2)判断四边形 ABCD 的形状: 平行四边形 . (3)若直线 y=kx 平分(1)中四边形 ABCD 的面积,请直接写出实数 k 的值.

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【考点】作图-旋转变换;作图-轴对称变换. 【分析】 (1)①根据关于 y 轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点 B 的位置,然后连接 AB 即可; ②根据轴对称的性质找出点 A 关于直线 x=3 的对称点,即为所求的点 D; (2)对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形 ABCD 的形状; (3)根据平行四边形的性质,平分四边形面积的直线经过中心,然后求出 AC 的中点,代 入直线计算即可求出 k 值. 【解答】解: (1)①如图所示; ②直线 CD 如图所示;

(2)∵由图可知,AD=BC,AD∥BC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 故答案为平行四边形. (3)∵A(0,4) ,C(3,0) , ∴平行四边形 ABCD 的中心坐标为( ,2) , 代入直线得, 解得 k= . k=2,

22.“低碳环保,你我同行”.两年来,扬州市区的公共自行车给市民出行带来切实方便.电 视台记者在某区街头随机选取了市民进行调查,调查的问题是“您大概多久使用一次公共自 行车?”,将本次调查结果归为四种情况:A.每天都用;B.经常使用;C.偶尔使用;D.从 未使用.将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图如图 2:

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根据图中的信息,解答下列问题: (1)本次活动共有 200 位市民参与调查; (2)补全条形统计图和扇形统计图; (3)扇形统计图中 A 项所对应的圆心角的度数为 18° (4)根据统计结果,若该区有 46 万市民,请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人? 【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 【分析】 (1)根据从未使用的人数为 30 人,占 15%可以求出总人数. (2)求出 A、B 的人数,以及 C 占的百分比即可画出条形统计图和扇形统计图. (3)根据圆心角=360°×百分比,即可解决. (4)用样本的百分比估计总体的百分比解决问题. 【解答】解: (1)设总人数为 x 人, ∵从未使用的人数为 30 人,占 15%, ∴ =15%,

∴x=200. 故答案为 200. (2)条形统计图和扇形统计图如图所示:

(3)A 项所对应的圆心角的度数为:360°×(1﹣28%﹣52%﹣15%)=18°, 故答案为 18°. (4)46×5%=2.3(万人) . 答:估计每天都用公共自行车的市民约为 2.3 万人. 23.已知线段 AB、BC,∠ABC=90°,求作矩形 ABCD. (1)小王同学的作图痕迹如图,请你写出他的作法; (2)请你再设计另一种尺规作图的方法作出所求图形,保留痕迹,不必写作法.

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【考点】作图—复杂作图. 【分析】 (1)根据作矩形的方法解答即可; (2)根据作已知角等于直角进行解答即可. 【解答】解: (1)①以点 C 为圆心,AB 长为半径画弧; ②以点 A 为圆心,BC 长为半径画弧; ③两弧交于 BC 上方点 D,连接 AD,CD,四边形 ABCD 即为所求; (2)如图:

24.在三只乒乓球上,分别写有三个不同的正整数(用 a、b、c 表示) ,三只乒乓球除上面 的数字不同外,其余均相同.将三只乒乓球放在一个盒子中,无放回的从中依次摸 2 只乒乓 球,将球上面的数字相加求和.当和为偶数时,记为事件 A;当和为奇数时,记为事件 B. (1)设计一组 a、b、c 的值,使得事件 A 为必然发生的事件; (2)设计一组 a、b、c 的值,使得事件 B 发生的概率大于事件 A 发生的概率. 【考点】列表法与树状图法. 【分析】 (1)由事件 A 为必然发生的事件,可得所有的和均为偶数,即可得 a、b、c 全为 偶数或全为奇数; (2)由事件 B 发生的概率大于事件 A 发生的概率,可得 a、b、c 中有 1 个奇数 2 个偶数或 2 个奇数 1 个偶数; 【解答】解: (1)a、b、c 全为偶数或全为奇数均可(如 2、4、6 或 1、3、5) (2)a、b、c 中有 1 个奇数 2 个偶数或 2 个奇数 1 个偶数均可(如 1、2、4) 画树状图得:

∵共有 6 种等可能的结果,和为奇数的有 4 种情况, ∴事件 B 发生的概率为 .

25.已知:如图,在?ABCD 中,AE 是 BC 边上的高,将△ ABE 沿 BC 方向平移,使点 E 与点 C 重合,得△ GFC. (1)求证:BE=DG; (2)若∠BCD=120?,当 AB 与 BC 满足什么数量关系时,四边形 ABFG 是菱形?证明你的 结论.

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【考点】菱形的判定;平行四边形的性质;平移的性质. 【分析】 (1)根据平移的性质,可得:BE=FC,再证明 Rt△ ABE≌Rt△ CDG 可得:DG=FC; 即可得到 BE=DG; (2)要使四边形 ABFG 是菱形,须使 AB=BF;根据条件找到满足 AB=BF 的 AB 与 BC 满 足的数量关系即可. 【解答】 (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD. ∵AE 是 BC 边上的高,且 CG 是由 AE 沿 BC 方向平移而成. ∴CG⊥AD. ∴∠AEB=∠CGD=90°. ∵AE=CG,AB=CD, ∴Rt△ ABE≌Rt△ CDG. ∴BE=DG;

(2)解:当 BC= AB 时,四边形 ABFG 是菱形. 证明:∵AB∥GF,AG∥BF, ∴四边形 ABFG 是平行四边形. ∵Rt△ ABE 中,∠B=60°, ∴∠BAE=30°, ∴BE= AB. (直角三角形中 30°所对直角边等于斜边的一半) ∵BE=CF,BC= AB, ∴EF= AB. ∴AB=BF. ∴四边形 ABFG 是菱形.

26.观察下面的变形规律: 解答下面的问题: (1)若 n 为正整数,请你猜想 (2)证明你猜想的结论; (3)计算: + +

=1﹣ ,

= ﹣ ,

= ﹣ ,…

=





+…+

+



【考点】有理数的混合运算. 【分析】 (1)观察已知等式,写出猜想即可;
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(2)原式通分并利用同分母分式的减法法则计算,即可得证; (3)原式利用拆项法变形后,抵消合并即可得到结果. 【解答】解: (1) (2)已知等式右边= (3)原式=1﹣ + ﹣ +…+ 故答案为: (1) = ﹣ = ﹣ = ﹣ . ; =左边,得证; =1﹣ = .

27.如图,将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠,使点 B 落到点 B′的位置,AB′与 CD 交于 点 E. (1)试找出一个与△ AED 全等的三角形,并加以证明; (2)若 AB=8,DE=3,P 为线段 AC 上的任意一点,PG⊥AE 于 G,PH⊥EC 于 H,试求 PG+PH 的值,并说明理由.

【考点】翻折变换(折叠问题) ;直角三角形全等的判定;矩形的性质. CB′=BC=AD, ∠B=∠B′=∠D=90°, ∠B′EC=DEA, 【分析】 (1) 由折叠的性质知, 则由 AAS 得到△ AED≌△CEB′; PG=PM, PG+PH=HM=AD,∵CE=AE=CD﹣DE=8 (2)延长 HP 交 AB 于 M,则 PM⊥AB, ﹣3=5 在 Rt△ ADE 中,由勾股定理得到 AD=4,∴PG+PH=HM=AD=4. 【解答】解: (1)△ AED≌△CEB′ 证明:∵四边形 ABCD 为矩形, ∴B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°, 又∵∠B′EC=∠DEA, ∴△AED≌△CEB′; (2)由折叠的性质可知,∠EAC=∠CAB, ∵CD∥AB, ∴∠CAB=∠ECA, ∴∠EAC=∠ECA, ∴AE=EC=8﹣3=5. 在△ ADE 中,AD= = =4,

延长 HP 交 AB 于 M,则 PM⊥AB, ∴PG=PM. ∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4.
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28.如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 P 在 AB 上从 A 向 B 运动,连接 DP 交 AC 于点 Q. (1)试证明:无论点 P 运动到 AB 上何处时,都有△ ADQ≌△ABQ; (2)当点 P 在 AB 上运动到什么位置时,△ ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的 ; (3)若点 P 从点 A 运动到点 B,再继续在 BC 上运动到点 C,在整个运动过程中,当点 P 运动到什么位置时,△ ADQ 恰为等腰三角形.

【考点】正方形的性质;三角形的面积;全等三角形的判定;等腰三角形的判定;相似三角 形的判定与性质. 【分析】 (1)可由 SAS 求得△ ADQ≌△ABQ; QF⊥AB 于 F, (2) 过点 Q 作 QE⊥AD 于 E, 则 QE=QF, 若△ ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的 ,则有 S△ ADQ= AD?QE= S 正方形 ABCD,求得 OE 的值,再利用△ DEQ∽△DAP 有 解得 AP 值; (3)点 P 运动时,△ ADQ 恰为等腰三角形的情况有三种:有 QD=QA 或 DA=DQ 或 AQ=AD.由正方形的性质知,①当点 P 运动到与点 B 重合时,QD=QA,此时△ ADQ 是等 腰三角形,②当点 P 与点 C 重合时,点 Q 与点 C 也重合,此时 DA=DQ,△ ADQ 是等腰 三角形,③当 AD=AQ=4 时,有 CP=CQ,CP=AC﹣AD 而由正方形的对角线的性质得到 CP 的值. 【解答】 (1)证明:在正方形 ABCD 中, 无论点 P 运动到 AB 上何处时,都有 AD=AB,∠DAQ=∠BAQ,AQ=AQ, ∴△ADQ≌△ABQ;

(2)解法一:△ ADQ 的面积恰好是正方形 ABCD 面积的 时, 过点 Q 作 QE⊥AD 于 E,QF⊥AB 于 F,则 QE=QF, ∵在边长为 4 的正方形 ABCD 中,
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∴S 正方形 ABCD=16, ∴ AD×QE= S 正方形 ABCD= ×16= , ∴QE= , ∵EQ∥AP, ∴△DEQ∽△DAP, ∴ ,即 = ,

解得 AP=2, ∴AP=2 时,△ ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的 ; 解法二:以 A 为原点建立如图所示的直角坐标系,过点 Q 作 QE⊥y 轴于点 E,QF⊥x 轴于 点 F. AD×QE= S 正方形 ABCD= ×16= , ∴QE= , ∵点 Q 在正方形对角线 AC 上, ∴Q 点的坐标为( , ) , ∴过点 D(0,4) ,Q( , )两点的函数关系式为:y=﹣2x+4, 当 y=0 时,x=2, ∴P 点的坐标为(2,0) , ∴AP=2 时,即当点 P 运动到 AB 中点位置时,△ ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的 ;

(3)解:若△ ADQ 是等腰三角形,则有 QD=QA 或 DA=DQ 或 AQ=AD, ①当 AD=DQ 时,则∠DQA=∠DAQ=45° ∴∠ADQ=90°,P 为 C 点, ②当 AQ=DQ 时,则∠DAQ=∠ADQ=45°, ∴∠AQD=90°,P 为 B, ③AD=AQ(P 在 BC 上) , ∴CQ=AC﹣AQ= BC﹣BC=( ﹣1)BC ∵AD∥BC ∴ = ,即可得 = =1,

∴CP=CQ=( ﹣1)BC=4( ﹣1) 综上,P 在 B 点,C 点,或在 CP=4( ﹣1)处,△ ADQ 是等腰三角形.

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2016 年 4 月 28 日

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