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2013文辽宁高考数学真题及答案WORD版(教师版)



2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (辽宁卷)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(2013 辽宁,文 1)已知集合 A={0,1,2,3,4},B={x||x|<2},则 A∩B=( ). A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2} 2.(2013

辽宁,文 2)复数 z =

1 的模为( i ?1
C. 2

).

1 A. 2

2 B. 2

D.2

3.(2013 辽宁,文 3)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 AB 同方向的单位向量为(

??? ?

).

?3 4? ? ,? ? A. ? 5 5 ?

? 4 3? ? ,? ? B. ? 5 5 ?

? 3 4? ?? , ? C. ? 5 5 ?

? 4 3? ?? , ? D. ? 5 5 ?

4.(2013 辽宁,文 4)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列;

p3:数列 ?

? an ? ? 是递增数列; ?n?

p4:数列{an+3nd}是递增数列.
其中的真命题为( ). A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4 5.(2013 辽宁,文 5)某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为: [20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于 60 分的人数是 15,则该班的学生人数是( ).

1. 答案:B 解析:∵|x|<2,∴x∈(-2,2),即 B={x|-2<x<2}.∴A∩B={0,1},故选 B. 2. 答案:B 解析: z ?

1 ?i ? 1 1 1 ? ? ? ? i, i ? 1 (i ? 1)(?i ? 1) 2 2
2 2

2 ? 1? ? 1? ∴|z|= ? ? ? ? ? ? ? ? ,故选 B. 2 ? 2? ? 2?
3. 答案:A

??? ? ??? ? AB ?3, ?4? ?3 4? 解析:与向量 AB 同方向的单位向量为 ??? ? ? , ? ? ,故选 A. ? = AB 32 ? ??4?2 ? 5 5 ?
4. 答案:D
2013 辽宁文科数学 第1页

解析:如数列-2,-1,0,1,2,?,则 1×a1=2×a2,排除 p2,如数列 1,2,3,?,则 故选 D. 5. 答案:B

an =1,排除 p3, n

解析: 根据频率分布直方图, 低于 60 分的人所占频率为: (0.005+0.01)×20=0.3, 故该班的学生数为 =50,故选 B.

15 0.3

A.45 B.50 C.55 D.60 6.(2013 辽宁,文 6)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 asin Bcos C+csin Bcos A =

1 b ,且 a>b,则∠B=( ). 2 π π 2π A. 6 B. 3 C. 3

5π D. 6

7 . (2013 辽宁,文 7) 已知函数 f(x) = ln( 1 ? 9 x2 ? 3x) ? 1 ,则

? 1? f (lg 2)? f ? lg ? =( ? 2?

).

A.-1 B.0 C.1 D.2 8.(2013 辽宁,文 8)执行如图所示的程序框图,若输入 n=8,则输出 S=( ).

4 A. 9

6 B. 7

8 C. 9

10 D. 11

6. 答案:A 解析:根据正弦定理 asin Bcos C+csin Bcos A=

1 b 等价于 sin Acos 2

C+sin Ccos A=
即 sin(A+C)=

1 , 2

1 . 2 5π π ,所以 B ? .故选 A. 6 6

又 a>b,所以 A+C= 7. 答案:D

解析:∵f(x)= ln( 1 ? 9 x2 ? 3x) ? 1 , ∴f(-x)= ln( 1 ? 9 x 2 ? 3x) ? 1 , ∴f(x)+f(-x)=ln 1+1+1=2,

1 =-lg 2, 2 ? 1? ∴ f (lg 2) ? f ? lg ? =2,故选 D. ? 2?
又 lg 8. 答案:A
2013 辽宁文科数学 第2页

解析:当 n=8 时,输出的 S ? 0 ?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ?1 4 ?1 6 ?1 8 ?1
2

?

1 1 1 1 ? ? ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9 1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 3 5 5 7 7 9 ? 4 ? ,故选 A. 9
3

9.(2013 辽宁,文 9)已知点 O(0,0),A(0,b),B(a,a ).若△OAB 为直角三角形,则必有(

).

b ? a3 ?

A.b=a3 B. D. 10.(2013 辽宁,文 10)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上.若 AB=3,AC=4,AB⊥ AC,AA1=12,则球 O 的半径为( ).

1 a

1? ? (b ? a3 ) ? b ? a3 ? ? ? 0 a? ? C.

b ? a3 ? b ? a3 ?

1 ?0 a

3 17 A. 2

B. 2 10

13 C. 2

D. 3 10

x2 y2 ? =1 (a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B a 2 b2 4 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为( ). 5 3 5 4 6 A. 5 B. 7 C. 5 D. 7
11.(2013 辽宁,文 11)已知椭圆 C: 9. 答案:C

解析:若∠OBA 为直角,则 OB ? AB ? 0 , 2 3 3 即 a +(a -b)·a =0,

??? ? ??? ?

1 ; a ??? ? ??? ? 3 3 若∠OAB 为直角时, OA ? AB ? 0 ,即 b(a -b)=0,得 b=a ; 1 3 3 若∠AOB 为直角,则不可能.所以 b-a - =0 或 b-a =0,故选 C. a
又 a≠0,故 b ? a ?
3

10. 答案:C 解析:过 C,B 分别作 AB,AC 的平行线交于点 D,过 C1,B1 分别作 A1B1,A1C1 的平行线交于 D1,连接 DD1, 则 ABCD-A1B1C1D1 恰为该球的内接长方体,故该球的半径 r=

32 ? 42 ? 122 13 ? ,故选 C. 2 2

11. 答案:B 2 2 2 2 2 解析:如图所示,根据余弦定理,|AF| =|BF| +|AB| -2|BF||AB|cos∠ABF,即|AF|=6,又|OF| =|BF| 2 +|OB| -2|OB||BF|cos∠ABF,即|OF|=5.又根据椭圆的对称性,|AF|+|BF|=2a=14,∴a=7,|OF|=5 =c,所以离心率为

5 ,故选 B. 7
2 2 2 2

12.(2013 辽宁,文 12)已知函数 f(x)=x -2(a+2)x+a ,g(x)=-x +2(a-2)x-a +8.设 H1(x)= max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示 p,q 中的较大值,min{p,q}表示 p,q 中的 较小值).记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A-B=( ). A.a2-2a-16 B.a2+2a-16 C.-16 D.16
2013 辽宁文科数学 第3页

12. 答案:C 2 2 解析:∵f(x)-g(x)=2x -4ax+2a -8 =2[x-(a-2)][x-(a+2)],

? f ( x), x ? (??, a ? 2], ? ∴ H1 ? x ?= ? g ( x), x ? (a ? 2, a ? 2], ? f ( x), x ? (a ? 2, ??], ? ? g ( x), x ? (??, a ? 2], ? H 2 ? x ?= ? f ( x), x ? (a ? 2, a ? 2], ? g ( x), x ? (a ? 2, ??], ?
可求得 H1(x)的最小值 A=f(a+2)=-4a-4,H2(x)的最大值 B=g(a-2)=-4a+12,∴A-B=-16. 故选 C.

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
13.(2013 辽宁,文 13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积是__________. 14.(2013 辽宁,文 14)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an} 2 的前 n 项和.若 a1 , a3 是方程 x - 5x + 4 = 0 的两个根,则 S6 = __________. 15. (2013 辽宁, 文 15)已知 F 为双曲线 C:

x2 y2 ? =1 的左焦点, 9 16

P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为__________.
16. (2013 辽宁, 文 16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人 数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样 本数据. 已知样本平均数为 7, 样本方差为 4, 且样本数据互不相同, 则样本数据中的最大值为__________. 13. 答案:16π -16 解析:由几何体的三视图可得该几何体是一个底面半径为 2 的圆柱体,中间挖去一个底面棱长为 2 的正四 2 棱柱,故体积为 π ·2 ·4-2×2×4=16π -16. 14.答案:63 2 解析:x -5x+4=0 的两根为 1 和 4,又数列递增, 所以 a1=1,a3=4,q=2. 所以 S6=

1? ?1 ? 26 ? =63. 1? 2

15.答案:44 解析:如图所示,设双曲线右焦点为 F1,则 F1 与 A 重合,坐标为(5,0),则|PF|=|PF1|+2a,|QF|=|QF1| +2a,所以|PF|+|QF|=|PQ|+4a=4b+4a=28,∴△PQF 周长为 28+4b=44. 16.答案:10 解 析 : 设 5 个 班 级 的 人 数 分 别 为 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 7, 5 ? x1 ? 7 ?2 ? ? x2 ? 7?2 ? ? x3 ? 7?2 ? ? x4 ? 7?2 ? ? x5 ? 7?2 5
=4, 即 5 个整数平方和为 20, 最大的数比 7 大不能超过 3,否则方差超过 4, 故最大值为 10,最小值为 4.
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三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17. (2013 辽宁, 文 17)(本小题满分 12 分)设向量 a=( 3 sin x , sin x), b=(cos x, sin x), x∈ ?0, ? . 2 (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a·b,求 f(x)的最大值. 解:(1)由|a| =
2 2 2

? π? ? ?

?
2

3 sin x +sin2x=4sin2x,

?

2

|b| =cos x+sin x=1, 2 及|a|=|b|,得 4sin x=1.

? π? ? ? π 所以 x ? . 6

又 x∈ ?0, ? ,从而 sin x= . 2 2

1

(2)f(x)=a·b= 3 sin x ·cos x+sin x
2

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 π? 1 ? ? sin ? 2 x ? ? ? . 6? 2 ? π ? π? π? ? 当 x ? ? ?0, ? 时, sin ? 2 x ? ? 取最大值 1. 3 ? 2? 6? ? 3 所以 f(x)的最大值为 . 2 ?
18.(2013 辽宁,文 18)(本小题满分 12 分)如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上 的点. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)设 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心,求证:QG∥平面 PBC.

证明:(1)由 AB 是圆 O 的直径,得 AC⊥BC. 由 PA⊥平面 ABC,BC 平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA 平面 PAC,AC 平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC. (2)连 OG 并延长交 AC 于 M,连接 QM,QO,由 G 为△AOC 的重心,得 M 为 AC 中点. 由 Q 为 PA 中点,得 QM∥PC. 又 O 为 AB 中点,得 OM∥BC. 因为 QM∩MO=M,QM 平面 QMO, MO 平面 QMO,BC∩PC=C, BC 平面 PBC,PC 平面 PBC, 所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG 平面 QMO, 所以 QG∥平面 PBC.

2013

辽宁文科数学

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19.(2013 辽宁,文 19)(本小题满分 12 分)现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解答.试求: (1)所取的 2 道题都是甲类题的概率; (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率. 解:(1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4;2 道乙类题依次编号为 5,6.任取 2 道题,基本事件为:{1,2}, {1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6}, {5,6},共 15 个,而且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“都是甲类题”这一事件,则 A 包含的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}, 共 6 个,所以 P(A)=

6 2 ? . 15 5

(2)基本事件同(1),用 B 表示“不是同一类题”这一事件,则 B 包含的基本事件有{1,5},{1,6},{2,5}, {2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},共 8 个,所以 P(B)=

8 . 15
2 2

20.(2013 辽宁,文 20)(本小题满分 12 分)如图,抛物线 C1:x =4y,C2:x =-2py(p>0).点 M(x0,y0) 在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A,B(M 为原点 O 时,A,B 重合于 O).当 x0=1 ? 2 时,切线

MA 的斜率为 ?

1 . 2

(1)求 p 的值; (2)当 M 在 C2 上运动时, 求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A, B 重合于 O 时, 中点为 O). 解:(1)因为抛物线 C1:x =4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为 y ' =
2

x , 2

且切线 MA 的斜率为 ? 为y??

1 ? 1? ,所以 A 点坐标为 ? ?1, ? ,故切线 MA 的方程 2 4? ?

1 1 ( x ? 1) ? . 2 4 因为点 M( 1 ? 2 ,y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上, 1 1 3?2 2 于是 y0 ? ? (2 ? 2) ? ? ? ,① 2 4 4 (1 ? 2)2 3? 2 2 .② y0 ? ? ?? 2p 2p
由①②得 p=2. (2)设 N(x,y),A ? x1 ,

? ?

? x2 2 ? x1 ? x2 x12 ? , B ? ? x2 , ? ,x1≠x2,由 N 为线段 AB 中点知 x ? 2 ,③ 4 ? 4 ? ?

y?

x ? x2 .④ 8
2 1 2

切线 MA,MB 的方程为

x1 x2 ( x ? x1 ) ? 1 ,⑤ 2 4 x x2 y ? 2 ( x ? x2 ) ? 2 ⑥ 2 4 y?
由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M(x0,y0)的坐标为

x0 ?

x1 ? x2 xx , y0 ? 1 2 . 2 4
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因为点 M(x0,y0)在 C2 上,即 x0 2 =-4y0,

x12 ? x2 2 所以 x1 x2 ? ? .⑦ 6
由③④⑦得

x2 ?

4 y ,x≠0. 3
2

当 x1=x2 时,A,B 重合于原点 O,AB 中点 N 为 O,坐标满足 x ? 因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x ?
2

4 y. 3

4 y. 3

21.(2013 辽宁,文 21)(本小题满分 12 分) (1)证明:当 x∈[0,1]时, (2)若不等式 ax+x +
2

2 x sin x≤x; 2

x3 +2(x+2)cos x≤4 对 x∈[0,1]恒成立,求实数 a 的取值范围. 2 2 2 (1)证明:记 F(x)= sin x ? . x ,则 F′(x)= cos x ? 2 2 ? π? ? π? 当 x ? ? 0, ? 时,F′(x)>0,F(x)在 ?0, ? 上是增函数; ? 4? ? 4? ?π ? ?π ? 当 x ? ? ,1? 时,F′(x)<0,F(x)在 ? ,1? 上是减函数. ?4 ? ?4 ? 2 又 F(0)=0,F(1)>0,所以当 x∈[0,1]时,F(x)≥0,即 sin x≥ x. 2
记 H(x)=sin x-x, 则当 x∈(0,1)时, H′(x)=cos x-1<0, 所以, H(x)在[0,1]上是减函数, 则 H(x)≤H(0) =0,即 sin x≤x. 综上,

2 x ≤sin x≤x,x∈[0,1]. 2

(2)解法一:因为当 x∈[0,1]时,

x3 +2(x+2)cos x-4 2 x3 x 2 ? 4( x ? 2)sin 2 =(a+2)x+x + 2 2
ax+x2+

? 2 ? x3 ? 4( x ? 2) ? ≤(a+2)x+x + ? 4 x? ? 2 ? ?
2

2

=(a+2)x. 所以,当 a≤-2 时, 不等式 ax+x +
2

x3 +2(x+2)cos x≤4 对 x∈[0,1]恒成立. 2

下面证明,当 a>-2 时,

x3 不等式 ax+x + +2(x+2)cos x≤4 对 x∈[0,1]不恒成立. 2
2

因为当 x∈[0,1]时,
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x3 +2(x+2)cos x-4 2 x3 x 2 ? 4( x ? 2)sin 2 =(a+2)x+x + 2 2
ax+x2+

x3 ? x? ≥(a+2)x+x + ? 4( x ? 2) ? ? 2 ?2? 3 x 2 =(a+2)x-x - 2 3 2 ≥(a+2)x- x 2 3 ? 2 ? ? ? x ? x ? (a ? 2) ? . 2 ? 3 ? x3 a?2 1 2 所以存在 x0∈(0,1)(例如 x0 取 和 中的较小值)满足 ax0 ? x0 ? 0 +2(x0+2)cos x0-4>0, 3 2 2
2

2

即当 a>-2 时, 不等式 ax+x +
2

x3 +2(x+2)cos x-4≤0 对 x∈[0,1]不恒成立. 2
2

综上,实数 a 的取值范围是(-∞,-2]. 解法二:记 f(x)=ax+x +

x3 3x 2 +2(x+2)cos x-4,则 f′(x)=a+2x+ +2cos x-2(x+2)sin x. 2 2

记 G(x)=f′(x),则 G′(x)=2+3x-4sin x-2(x+2)cos x. 当 x∈(0,1)时,cos x>

1 ,因此 2

G′(x)<2+3x-4·

2 x-(x+2) 2

= (2 ? 2 2)x ? 0 . 于是 f′(x)在[0,1]上是减函数,因此,当 x∈(0,1)时,f′(x)<f′(0)=a+2,故当 a≤-2 时,f′(x) <0,从而 f(x)在[0,1]上是减函数,所以 f(x)≤f(0)=0,即当 a≤-2 时,不等式 ax+x + 2)cos x≤4 对 x∈[0,1]恒成立. 下面证明,当 a>-2 时, 不等式 ax+x +
2 2

x3 +2(x+ 2

x3 +2(x+2)cos x≤4 对 x∈[0,1]不恒成立. 2
7 +2cos 1-6sin 1. 2

由于 f′(x)在[0,1]上是减函数,且 f′(0)=a+2>0,f′(1)=a+ 当 a≥6sin 1-2cos 1- 数,故 f(1)>f(0)=0; 当-2<a<6sin 1-2cos 1-

7 时,f′(1)≥0,所以当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,因此 f(x)在[0,1]上是增函 2 7 时,f′(1)<0,又 f′(0)>0,故存在 x0∈(0,1)使 f′(x0)=0,则当 0 2

<x<x0 时,f′(x)>f′(x0)=0.所以 f(x)在[0,x0]上是增函数,所以当 x∈(0,x0)时,f(x)>f(0)=0. 所以,当 a>-2 时,

x3 不等式 ax+x + +2(x+2)cos x≤4 对 x∈[0,1]不恒成立. 2
2

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综上,实数 a 的取值范围是(-∞,-2]. 22.(2013 辽宁,文 22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 为 O 直径,直线 CD 与 O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 AB 于 F,连接 AE,BE.证明: (1)∠FEB=∠CEB; 2 (2)EF =AD·BC. 证明:(1)由直线 CD 与 O 相切,得∠CEB=∠EAB. 由 AB 为 O 的直径,得 AE⊥EB, 从而∠EAB+∠EBF=

π ; 2
π , 2

又 EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=

从而∠FEB=∠EAB. 故∠FEB=∠CEB. (2)由 BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE 是公共边, 得 Rt△BCE≌Rt△BFE,所以 BC=BF. 类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,得 AD=AF. 2 又在 Rt△AEB 中,EF⊥AB,故 EF =AF·BF, 2 所以 EF =AD·BC.

23.(2013 辽宁,文 23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ =4sin θ , ? cos ? ? ?

? ?

π? ? =2 2 . 4?

(1)求 C1 与 C2 交点的极坐标;

? x ? t 3 ? a, ? (2)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点. 已知直线 PQ 的参数方程为 ? b 3 (t∈R 为参数), y ? t ?1 ? ? 2
求 a,b 的值. 2 2 解:(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x +(y-2) =4, 直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0.

? x2 ? 2, ? ? y2 ? 2. ?x ? y ? 4 ? 0 π? ? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为 ? 4, ? , ? 2 2, ? . 4? ? 2? ?
解?

? x 2 ? ? y ? 2?2 ? 4,

得?

? x1 ? 0, ? y1 ? 4,

注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0. 由参数方程可得 y ?

b ab x? ? 1. 2 2

?b ? 1, ? ?2 所以 ? ? ? ab ? 1 ? 2, ? ? 2
解得 a=-1,b=2.

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24.(2013 辽宁,文 24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a>1. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4-|x-4|的解集; (2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},求 a 的值.

? ?2 x ? 6, x ? 2, ? 解:(1)当 a=2 时,f(x)+|x-4|= ? 2, 2 ? x ? 4, ? 2 x ? 6, x ? 4. ?
当 x≤2 时,由 f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得 x≤1; 当 2<x<4 时,f(x)≥4-|x-4|无解; 当 x≥4 时,由 f(x)≥4-|x-4|得 2x-6≥4,解得 x≥5; 所以 f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1 或 x≥5}. (2)记 h(x)=f(2x+a)-2f(x),

??2a, x ? 0, ? 则 h( x ) ? ? 4 x ? 2a, 0 ? x ? a, ?2a, x ? a. ?
由|h(x)|≤2,解得

a ?1 a ?1 ?x? . 2 2

又已知|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},

? a ?1 ? 1, ? ? 2 所以 ? 于是 a=3. a ? 1 ? ? 2. ? ? 2

2013

辽宁文科数学

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