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2015北京高三数学统练分类汇编 专题七 圆锥曲线2015



专题七
一、填空、选择题 1、 ( 2015 年北京高考)已知 ? 2, 0? 是双曲线 x ?
2

圆锥曲线
y2 ? 1( b ? 0 )的一个焦点,则 b ? b2

12、(西城区 2015 届高三二模)抛物线 C:y2 ? 4 x的准线 l 的方程是 ____;以 C 的焦点为圆心, 且与直线 l

相切的圆的方程是 ____. .
13 、已知抛物线

y 2 ? 2 px 的焦点 F 到其准线的距离是 8 ,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K ,点 A

姓名:

2、 ( 2014 年北京高考)设双曲线 C 的两个焦点为 ? 2 , 0 ,

?

? ?

2, 0 ,一个顶点式 ?1, 0? ,则 C 的

?

在抛物线上且 | AK |? A. 32

2 | AF |,则 ?AFK 的面积为
C. 8 D. 4





B. 16

方程为 . 3、 ( 2013 年北京高考) 若抛物线 y2= 2px 的焦点坐标为 (1, 0), 则 p= ________; 准线方程为 ________.

14 、 点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一点, P 到该抛物线焦点的距离为 4 ,则点 P 的横坐标为 (



x2 ? y 2 ? 1 的离心率是 _________; 4、 (昌平区 2015 届高三上期末) 双曲线 C : 若抛物线 y 2 ? 2mx 3
与双曲线 C 有相同的焦点,则 m ? _____________.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

15 、已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线

y 2 ? 4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2
( )

的距离之和的最小值是
2 2

考号:

5、(朝阳区 2015 一模)若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点与双曲线 x ? y ? 2 的右焦点重合,则 p 的值为
2

A.

3 5 5

B. 2

C.

11 5

D. 3

A. 2

B. 2
2

C. 4

D. 2 2 ,点 P 到抛物

二、解答题

6、(东城区 2015 二模)已知抛物线 y ? 2 x 上一点 P (m , 2) ,则 m ?

1、 ( 2015 年北京高考) 已知椭圆 C : x2 ? 3 y 2 ? 3 , 过点 D ?1,0 ? 且不过点 ? ? 2,1? 的直线与椭圆 C 交 于 ? , ? 两点,直线 ?? 与直线 x ? 3 交于点 ? . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若 ?? 垂直于 x 轴,求直线 ?? 的斜率; (Ⅲ)试判断直线 ?? 与直线 D ? 的位置关系,并说明理由.

班级:

线的焦点 F 的距离为 7、(房山区 2015 一模)双曲线 A. y ? ?

.

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是 ( 9 4
C. y ? ?

)

2 4 x B. y ? ? x 3 9

3 x 2

D. y ? ?

9 x 4

8、(丰台区 2015 一模)双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 2 6
2

9、 (丰台区 2015 二模)设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y ? x 的焦点, A 是抛物线上的一点, FA

??? ?

学校:

与 x 轴正向的夹角为

? ,则 | AF |? 6
(B)

(A)

1 2

3 4
2

(C) 1 )

(D) 2 ? 3

10、(海淀区 2015 一模)抛物线 x =4 y 的焦点到准线的距离为( ( A)

1 2

( B) 1

( C) 2

( D) 4

11、(海淀区 2015 二模)以坐标原点为顶点, (?1, 0) 为焦点的抛物线的方程为 第1页 共2页 第2页 共2页

2、( 2014 年北京高考)已知椭圆 C: x 2 ? 2 y 2 ? 4 . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设 O 为原点,若点 A 在直线 y ? 2 ,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB ,求线段 AB 长度的最 小值 .

4、(昌平区 2015 届高三上期末)已知椭圆 C:

y 2 x2 2 ,其四个 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

顶点组成的菱形的面积是 4 2 , O 为坐标原点,若点 A 在直线 x ? 2 上,点 B 在椭圆 C 上,且

OA ? OB .
( I) 求椭圆 C 的方程;( II)求线段 AB 长度的最小值; ( III)试判断直线 AB 与圆 x
2

姓名:

? y 2 ? 2 的位置关系,并证明你的结论 .
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 分 别 为 a 2 b2

5 、 ( 朝 阳 区 2015 届 高 三 一 模 ) 已 知 椭 圆 C :

考号:

F1 (?2,0), F2 (2,0) ,离心率为 6 .过焦点 F2 的直线 l (斜率不为 0)与椭圆 C 交于 A, B 两点,线 3
段 AB 的中点为 D , O 为坐标原点,直线 OD 交椭圆于 M , N 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;(Ⅱ)当四边形 MF1 NF2 为矩形时,求直线 l 的方程.

班级:

6、 (东城区 2015 届高三二模)已知椭圆 C : x2 3、( 2013 年北京高考)直线 y= kx+ m(m≠ 0)与椭圆 W: + y2= 1 相交于 A, C 两点,O 是坐标 4 原点. (1)当点 B 的坐标为 (0, 1),且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长; (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 OABC 不可能为菱形.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的左、右顶点分别为 A , B , a 2 b2

F1 为左焦点,且 AF1 ? 2 ,又椭圆 C 过点 (0, 2 3) .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 和 Q 分别在椭圆 C 和圆 x2 +y 2 ? 16 上(点 A, B 除外),设直线 PB , QB 的斜率分别为

k1 , k2 ,若 k1 ?

3 k 2 ,证明: A , P , Q 三点共线. 4

学校:

7、(房山区 2015 届高三一模)已知椭圆 W :

1 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , Q 是椭圆上 2 2 a b

的任意一点,且点 Q 到椭圆左右焦点 F 1 , F2 的距离和为 4 . (Ⅰ)求椭圆 W 的标准方程; (Ⅱ)经过点 ?0,1? 且互相垂直的直线 l1 、l2 分别与椭圆交于 A 、 B 和 C 、D 两点( A 、 B 、C 、

D 都不与椭圆的顶点重合), E 、 F 分别是线段 AB 、 CD 的中点, O 为坐标原点,若 kOE 、 kOF
分别是直线 OE 、 OF 的斜率,求证: kOE ? kOF 为定值. 第3页 共4页 第4页 共4页

8、(丰台区 2015 届高三一模)已知椭圆 C: x 2 ? 3 y 2 ? 6 的右焦点为 F. (Ⅰ)求点 F 的坐标和椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)直线 l: y ? kx ? m (k ? 0) 过点 F,且与椭圆 C 交于 P , Q 两点,如果点 P 关于 x 轴 的对称点为 P? ,判断直线 P?Q 是否经过 x 轴上的定点,如果经过,求出该定点坐标;如果不经过,

12、(石景山区 2015 届高三一模)如图,已知椭圆 C:

2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , 2 2 b a
y

姓名:

说明理由.

短轴的右端点为 B, M( 1, 0)为线段 OB 的中点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M 任意作一条直线与椭圆 C 相交于两点 P, Q 试问在 x 轴上是否存在定点 N,使得∠ PNM =∠ QNM ? 若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,说明理由.

O

. . x M B
N

P

x2 y2 9、(丰台区 2015 届高三二模)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F ( 3, 0),上下 a b

Q

考号:

两个顶点与点 F 恰好是正三角形的三个顶点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过原点 O 的直线 l 与椭圆交于 A , B 两点,如果△ FAB 为直角三角形,求直线 l 的方 程.

13、(西城区 2015 届高三二模)设 F1 , F2 分别为椭圆 E:

x2 y 2 + ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, a 2 b2

点 A 为椭圆 E 的左顶点,点 B 为椭圆 E 的上顶点,且 | AB |? 2 . (Ⅰ)若椭圆 E 的离心率为
6 3

,求椭圆 E 的方程;

班级:

10 、(海淀区 2015 届高三一模)已知椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 A(0,? 1),且离心率 a 2 b2

(Ⅱ)设 P 为椭圆 E 上一点,且在第一象限内,直线 F2 P 与 y 轴相交于点 Q . 若以 PQ 为直径 的圆经过点 F1 ,证明:点 P 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上 .

e?

3 . 2

(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)若椭圆 M 上存在点 B, C 关于直线 y ? kx ? 1 对称 ,求 k 的所有取值构成的集合 S ,并证明对 于 ?k ? S , BC 的中点恒在一条定直线上 .
14 、 已知椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1( a ? 0) 的一个焦点为 F ( ?1, 0) ,左右顶点分别为 A , B .经过点 F 的 a2 3

直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点 . (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求线段 CD 的长;

学校:

11、(海淀区 2015 届高三二模)已知椭圆 C :

x ? y 2 ? 1 ,点 D 为椭圆 C 的左顶点 . 对于正常数 4

2

(Ⅲ)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S2 ,求 | S1 ? S2 | 的最大值 .

? ,如果存在过点 M ( x0 ,0) (?2 ? x0 ? 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,使得 S?AOB ? ? S? AOD,
则称点 M 为椭圆 C 的“ ? 分点” .
15 、 已知椭圆的中心在原点 O ,短半轴的端点到其右焦点 F

( 1,0) (Ⅰ)判断点 M 是否为椭圆 C 的“ 1 分点”,并说明理由;
线 l ,交椭圆于 A, B 两点.

? 2, 0? 的距离为

10 ,过焦点 F 作直

( 1, 0) (Ⅱ)证明:点 M 不是椭圆 C 的“ 2 分点”;
(Ⅲ)如果点 M 为椭圆 C 的“ 2 分点”,写出 x0 的取值范围 . (直接写出结果) 第5页 共6页

(Ⅰ)求这个椭圆的标准方程; (Ⅱ)若椭圆上有一点 C ,使四边形 AOBC 恰好为平行四边形,求直线 l 的斜率.

第6页 共6页



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