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3-2-2 导数的运算法则



能力拓展提升 一、选择题 1 11. f ′(x)是 f(x)=3x3+2x+1 的导函数, 则 f ′(-1)的值是( A.1 [答案] C [解析] ∵f ′(x)=x2+2,∴f ′(-1)=3. ? π π? 12.曲线 y=xsinx 在点?-2,2?处的切线与 x 轴、直线 x=π 所围 ? ? ) B.2 C.3 D.4 成的三角形的面积为( π2 A.

2 C.2π2 [答案] A ) B.π2 1 D.2(2+π)2 π [解析] ∵y′=sinx+xcosx, ∴y′|x=-2=-1, ∴曲线 y=xsinx ? π π? π 在点?-2,2?处的切线方程为 y=-x,所围成的三角形的面积为 2 . ? ? 2 故选 A. 13.若函数 f(x)=f′(1)x3-2x2+3,则 f′(1)的值为( A.0 C.1 [答案] D [解析] ∵f′(x)=3f′(1)x2-4x, ∴f′(1)=3f′(1)-4,∴f′(1)=2. 1 1 14.已知曲线 y=8x2 的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为 ( ) B.-1 D.2 ) A.4 [答案] C B.3 C.2 1 D.2 1 1 [解析] k=y′=4x=2,∴x=2. 二、填空题 15.(2012~2013 学年度浙江金华十校联合高二期末测试)直线 y 1 =4x+b 是曲线 y=3x3+2x(x>0)的一条切线,则实数 b=________. 4 2 [答案] - 3 [解析] 设切点为(x0, y0), 则 y′=x2+2, ∴x2 ∴x0= 2. 0+2=4, 8 2 ∴切点( 2, 3 )在直线 y=4x+b 上, 4 2 ∴b=- 3 . 16.设 a∈R,函数 f(x)=x3+ax2+(a-3)x 的导函数是 f ′(x), 若 f ′(x)是偶函数,则曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为________. [答案] y=-3x [解析] f ′(x)=3x2+2ax+(a-3), 又 f ′(-x)=f ′(x),即 3x2-2ax+(a-3)=3x2+2ax+(a-3) 对任意 x∈R 都成立, 所以 a=0,f ′(x)=3x2-3,f ′(0)=-3, 曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为 y=-3x. 三、解答题 17.已知 f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又 f(2x+1)=4g(x), 且 f ′(x)=g′(x),f(5)=30,求 g(4). [解析] 题设中有四个参数 a、b、c、d,为确定它们的值需要四 个方程. 由 f(2x+1)=4g(x), 得 4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d. ? ?a+2=2c, 于是有? ?a+b+1=4d, ② ? ① 由 f ′(x)=g′(x),得 2x+a=2x+c,∴a=c.③ 由 f(5)=30,得 25+5a+b=30.④ ∴由①③可得 a=c=2. 1 代入④得 b=-5,再由②得 d=-2. 1 1 47 ∴g(x)=x2+2x-2.故 g(4)=16+8-2= 2 . 1 a 18.设函数 f(x)=3x3-2x2+bx+c,其中 a>0,曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=1.求 b,c 的值 1 a [解析] 由 f(x)=3x3-2x2+bx+c, 得 f(0)=c, f′(x)=x2-ax+b, f′(0)=b,又由曲线 y=f(x)在点 p(0,f(0))处的切


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