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(9)对数与对数函数



高一上数学同步测试

9、对数与对数函数
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,请将所选答案填在括号内) 1.

log8 9 的值是 log2 3
A.





2 3
2

B.1

C.

>
3 2
5

D.2

2.若 log2 [log1 (log2 x)] ? log3 [log1 (log3 y)] ? log5 [log1 (log5 z )]=0,则 x、y、z 的大小关
3

系是 A.z<x<y B.x<y<z C.y<z<x D.z<y<x





3.已知 x= 2 +1,则 log4(x3-x-6)等于 A.

( C.0 D.



3 2

B.

5 4

1 2
( )

4.已知 lg2=a,lg3=b,则

lg 12 等于 lg 15
B.

A.

2a ? b 1? a ? b

a ? 2b 1? a ? b

C.

2a ? b 1? a ? b

D.

a ? 2b 1? a ? b
( )

5.已知 2 lg(x-2y)=lgx+lgy,则 x 的值为 y A.1 B.4 C.1 或 4 D.4 或

6.函数 y= log 1 ( 2 x ? 1) 的定义域为
2

( C.(



A.(

1 ,+∞) 2
2

B. [1,+∞ )

1 ,1 ] 2

D.(-∞,1) ( )

7.已知函数 y=log 1 (ax2+2x+1)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是 A.a > 1
x

B.0≤a< 1

C.0<a<1

D.0≤a≤1 ( )

8.已知 f(e )=x,则 f(5)等于 A.e5 B.5
e

C.ln5

D.log5e

-1-

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9.若 f ( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1), 且f ?1 (2) ? 1, 则f ( x) 的图像是 y x A y x B y x C y





O

O

O

O D

x

10.若 y ? ? log2 ( x2 ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数,则 a 的取值范围是( A. [2 ? 2 3, 2] B. ? 2 ? 2 3, 2



?

?

C. 2 ? 2 3, 2 ?

?

?

D. 2 ? 2 3, 2

?

?
( )

11.设集合 A ? {x | x 2 ? 1 ? 0}, B ? {x | log2 x ? 0 |}, 则A ? B 等于 A. {x | x ? 1} C. {x | x ? ?1} 12.函数 y ? ln B. {x | x ? 0} D. {x | x ? ?1或x ? 1}

x ?1 , x ? (1,?? ) 的反函数为 x ?1





ex ?1 , x ? (0,??) A. y ? x e ?1
C. y ?

ex ?1 , x ? (0,??) B. y ? x e ?1
D. y ?

ex ?1 , x ? (??,0) ex ?1

ex ?1 , x ? (??,0) ex ?1

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分,请将答案填在横线上) 13.计算:log2.56.25+lg

1 1? log2 3 +ln e + 2 = 100

. _______. . _ .

14.函数 y=log4(x-1)2(x<1)的反函数为___ 15.已知 m>1,试比较(lgm)0.9 与(lgm)0.8 的大小 16.函数 y =(log 1 x) -log 1 x +5 在 2≤x≤4 时的值域为_____
4 4
2 2

三、解答题(本大题共 74 分,17—21 题每题 12 分,22 题 14 分) 17.已知 y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是 x 的减函数,求 a 的取值范围. 18.已知函数 f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围.

-2-

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19.已知 f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,当 x∈R 时 f(x)≥2x 恒成立,求实数 a 的值, 并求此时 f(x)的最小值?

20.设 0<x<1,a>0 且 a≠1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小. 21.已知函数 f(x)=loga(a-ax)且 a>1, (1)求函数的定义域和值域; (2)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (3)证明函数图象关于 y=x 对称.

22.在对数函数 y=log2x 的图象上(如图),有 A、B、C 三点,它们的横坐标依次为 a、a+1、 a+2,其中 a≥1,求△ABC 面积的最大值.

-3-

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参考答案
一、选择题: ADBCB CDCBA AB 二、填空题:13.

25 13 ? y?8 ,14.y=1-2x(x∈R), 15. (lgm)0.9≤(lgm)0.8,16. 2 4

三、解答题: 17.解析:先求函数定义域:由 2-ax>0,得 ax<2 又 a 是对数的底数, ∴a>0 且 a≠1,∴x<

2 a 2 >1,∴a<2 a

由递减区间[0,1]应在定义域内可得

又 2-ax 在 x∈[0,1]是减函数 ∴y=loga(2-ax)在区间[0,1]也是减函数,由复合函数单调性可知:a>1 ∴1<a<2 18、解:依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0 对一切 x∈R 恒成立. 当 a2-1≠0 时,其充要条件是:
2 ? 5 ?a ? 1 ? 0 解得 a <- 1 或 a > ? 2 2 3 ? ?? ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0

又 a=-1,f(x)=0 满足题意,a=1,不合题意. 所以 a 的取值范围是:(-∞,-1]∪(

5 ,+∞) 3

19、解析:由 f(-1)=-2 ,得:f(-1)=1-(lga+2)+lgb=-2,解之 lga-lgb=1, ∴

a =10,a=10b. b

又由 x∈R,f(x)≥2x 恒成立.知:x2+(lga+2)x+lgb≥2x,即 x2+xlga+lgb≥0,对 x∈R 恒成立, 由 Δ=lg2a-4lgb≤0,整理得(1+lgb)2-4lgb≤0 即(lgb-1)2≤0,只有 lgb=1,不等式成立. 即 b=10,∴a=100. ∴f(x)=x2+4x+1=(2+x)2-3 当 x=-2 时,f(x) min=-3. 20.解法一:作差法 |loga(1-x)|-|loga(1+x)|=|

lg(1 ? x) lg(1 ? x ) 1 |-| |= (|lg(1-x)|-|lg(1+x)|) lg a lg a | lg a |
-4-

∵0<x<1,∴0<1-x<1<1+x

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∴上式=-

1 1 [(lg(1-x)+lg(1+x)]=- · lg(1-x2) | lg a | | lg a | 1 · lg(1-x2)>0, | lg a |

由 0<x<1,得,lg(1-x2)<0,∴- ∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法二:作商法

| loga (1 ? x) | =|log(1-x)(1+x)| | loga (1 ? x) |
∵0<x<1,∴0<1-x<1+x,∴|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x) 由 0<x<1,∴1+x>1,0<1-x2<1 ∴0<(1-x)(1+x)<1,∴ ∴0<log(1-x)

1 1? x

1 >1-x>0 1? x

1 <log(1-x)(1-x)=1 1? x

∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法三:平方后比较大小 ∵loga2(1-x)-loga2(1+x)=[loga(1-x)+loga(1+x)][loga(1-x)-loga(1+x)] =loga(1-x2)· loga

1? x 1 1? x = · lg(1-x2)· lg 2 1? x 1 ? x | lg a |
1? x <1 1? x

∵0<x<1,∴0<1-x2<1,0< ∴lg(1-x2)<0,lg

1? x <0 1? x

∴loga2(1-x)>loga2(1+x),即|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法四:分类讨论去掉绝对值 当 a>1 时,|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2) ∵0<1-x<1<1+x,∴0<1-x2<1 ∴loga(1-x2)<0,∴-loga(1-x2)>0 当 0<a<1 时,由 0<x<1,则有 loga(1-x)>0,loga(1+x)<0 ∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=|loga(1-x)+loga(1+x)|=loga(1-x2)>0 ∴当 a>0 且 a≠1 时,总有|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 21.解析:(1)定义域为(-∞,1),值域为(-∞,1) (2)设 1>x2>x1
-5-

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∵a>1,∴ a

x2

? a x1 ,于是 a- a x2 <a- a x1
x

则 loga(a-a a x2 )<loga(a- a 1 ) 即 f(x2)<f(x1) ∴f(x)在定义域(-∞,1)上是减函数 (3)证明:令 y=loga(a-ax)(x<1),则 a-ax=ay,x=loga(a-ay) - ∴f 1(x)=loga(a-ax)(x<1) 故 f(x)的反函数是其自身,得函数 f(x)=loga(a-ax)(x<1=图象关于 y=x 对称. 22. 解析:根据已知条件,A、B、C 三点坐标分别为(a,log2a),(a+1,log2(a+1)),(a+2, log2(a+2)),则△ABC 的面积 S=

[log 2 a ? log 2 ( a ? 1)] [log 2 ( a ? 1) ? log 2 ( a ? 2)] ? ? [log 2 a ? log 2 ( a ? 2)] 2 2

1 a(a ? 2)(a ? 1) 2 1 (a ? 1) 2 ? log2 ? log 2 2 [a(a ? 2)]2 2 a(a ? 2)
?
1 1 a 2 ? 2a ? 1 1 ? log 2 (1 ? 2 ) log2 2 2 a ? 2a 2 a ? 2a 1 1 1 4 log 2 (1 ? ) ? log 2 2 3 2 3

因为 a ? 1 ,所以 S max ?

-6-



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