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数列解答题1



数列解答题
1. 【改编】 (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是一个单调递增的等差数列, 且满足 a2a4 ? 21 ,

a1 ? a5 ? 10 ,数列 ?bn ? 满足 bn ?
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

an . 2n

(Ⅱ)求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

2. 【改编】 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 {bn } 的 前

n 项 和 为 Sn , 满 足

2Sn ? 3 b ( n ? 1) (n ? N? ) .
(Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {(2n ?1)bn } 的前 n 项和 Tn .

试卷第 1 页,总 10 页

3. (10 分)已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (1)证明:数列 ?an ? 是等差数列 (2)求此数列的前二十项和 S20 .

9 ?n 2

4.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a3 ? ?3 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 的前 m 项和 Sm ? ?35 ,求 m 的值.

试卷第 2 页,总 10 页

5.已知在数列{ an }中, a1 ? 3, an?1 ? 4an ? 3. (1)求证:数列{ an ? 1 }是等比数列,并求出数列{ an }的通项公式; (2)设数列{ an }的前竹项和为 Sn,求 Sn.

6.已知等差数列 ?an ? 中满足 a2 ? 0 , a6 ? a8 ? ?10 . (1)求 a1 和公差 d ; (2)求数列 ?an ? 的前 10 项的和.

试卷第 3 页,总 10 页

7.已知数列 ?log2 (an ? 1)? (n ? N ? ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)证明

1 1 1 ? ?…? ? 1. a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an

8.设数列 ?an ? 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 12 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn .

试卷第 4 页,总 10 页

9.数列 ?an ? 是递增的等差数列,且 a1 ? a6 ? ?6 , a3 ? a4 ? 8 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 的最小值; (3)求数列 an 的前 n 项和 Tn .

? ?

10.已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S3 ? a4 ? 6 ,且 a1 , a4 , a 13 成等 比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 2 n ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和.
a

试卷第 5 页,总 10 页

11.等差数列 {an } 的前 n 项和记为 S n ,已知 a10 ? 30, a20 ? 50 . (1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)若 S n ? 242 ,求 n ;

12.已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? 5 , S15 ? 225 . (Ⅰ)求数列 an 的通项 an ; (Ⅱ)设 bn ? 2 n ? 2n ,求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
a

? ?

? ?

? ?

试卷第 6 页,总 10 页

13.已知数列 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,且 a2 ? 3, 4S2 ? S4 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:数列 2

? ? 是等比数列;
an

14.已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 5, a4 ? a1 ? 12 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)当 S n 取最大值时求 n 的值.

试卷第 7 页,总 10 页

15.已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12 (1)求数列 ?an ? 的通项公式 (2)令 bn ? an ? 2n ,求数列 ?bn ? 前 n 项和 Sn .

16.已知数列 {an } 满足 a1 ? (1)求 {an } 的通项公式;

1 , 2an ?1 ? an ? 1. 2

(2)求和 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an

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17.已知数列

?an ? , ?bn ? 的通项 an , bn 满足关系 bn ? 2a

n

,且数列

?an ? 的前 n 项和

Sn ? n2 ? 2n (n ? N? ) .
(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)求数列

?an ?的通项公式;

?bn ? 的前 n 项和 Tn .

18.已知等比数列 {an } 满足 a3 ? a1 ? 3, a1 ? a2 ? 3 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an 2 ? 1,求数列 {bn } 的前 n 项和公式.

试卷第 9 页,总 10 页

19.已知数列 ?an ? 为等差数列,且 a3 ? 7 , a7 ? 15 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 an ? log3 bn , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

试卷第 10 页,总 10 页

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参考答案 1. (Ⅰ) an ? 2n ? 1 (n ? N*) ; (Ⅱ) Tn ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则依题知 d ? 0 .由 2a3 ? a1 ? a5 ? 10 ,又 可得 a3 ? 5 . 由 a2 a4 ? 21 , 得 ( 5? d ) (? 5d ? ) , 可 得 d ? 2 . 所 以 a1 ? a3 ? 2d ? 1 . 从 而 21

4 ? (1 ? 2n ) ? 2n ? 2 ? 4 1? 2

; (Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? 2 n ?1 (n ? N * ) bn ? (2n ?1)2n ,是等比数列与等差数列对应项乘 积构成的新数列,再利用错位相减法即可求出其前 n 项和. 试题解析: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则依题知 d ? 0 . 由 2a3 ? a1 ? a5 ? 10 ,又可得 a3 ? 5 . 由 a2a4 ? 21 ,得 (5 ? d )(5 ? d ) ? 21 ,可得 d ? 2 . 所以 a1 ? a3 ? 2d ? 1.可得 an ? 2n ? 1 (n ? N*) 6分

2n ? 1 , 2n 1 3 5 2n ? 1 Tn = ? 2 ? 3 ? ? n ,① 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn = 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ,② ∴ 2 2 2 2 2n 2 1 1 2 2 2 2n ? 1 ①-②得, Tn = ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1? n 2 ? 1 ? 2n ? 1 = 3 ? 2 n ? 3 , = 1 2 2n ?1 2 2 n ?1 1? 2 2n ? 3 ∴ Tn = 3 ? . 12 分 2n
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? 考点:数列及其求和 2. (Ⅰ) an ? 3n ; (Ⅱ) (n ?1) ? 3 【解析】 试 题 分 析 :( Ⅰ ) 由 已 知 2Sn ? 3(bn ? 1) , 得 S n ?
n?1

?3
3 (bn ? 1 ), 当 n ? 2 时 , 2

3 3 bn ? Sn ? S ? ( bn 1 ? ) ? ( ?b ?1 n 1n 2 2

3 ? 1) ? 2

( bn ? ? ) bn ? 3bn?1 , ,所以 1b n

bn ? 3 (n ? 2) , bn?1

答案第 1 页,总 12 页

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利用等比数列通项公式即可写出数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ) 因为 {(2n ?1)bn } 是等比数列与 等差数列对应项乘积构成的新数列,所以利用错位相减法即可求出其前 n 项和. 试题解析: (Ⅰ)由已知 2Sn ? 3(bn ? 1) ,得 S n ?

3 (bn ? 1) 2 3 3 3 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? (bn ? 1) ? (bn ?1 ? 1) ? (bn ? bn ?1 ) , 2 2 2

所以 bn ? 3bn?1 ,

bn ? 3 (n ? 2) bn?1

又 2b1 ? 2S1 ? 3(b1 ?1) ,解得 b1 ? 3 所以数列 bn 是首项为 3,公比为 3 的等比数列, 所以 bn = 3n ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, (2n ?1)bn =(2n ?1)3n , 所以 Tn = 1? 3 ? 3 ? 3 ? 5 ? 3 ?
2 3

? ?

6分

? (2n ?1)3n ,① +(2n ? 3)3n ? (2n ?1)3n+1 ,②
3

3Tn = 1? 32 ? 3? 33 ? 5 ? 34 ?
2

①-②得, ?2Tn = 1? 3+2 ? 3 +2 ? 3 + =

+2 ? 3n ? (2n ?1) ? 3n?1

6(1 ? 3n ) ? 3 ? (2n ? 1) ? 3n ?1 = ?2(n ? 1) ? 3n?1 ? 6 , 1? 3
12 分

所以 Tn ? (n ?1) ? 3n?1 ? 3 .

考点:等比数列的定义、通项公式;错位相减法 3. (1)证明见解析; (2)-120 【解析】 试题分析: ( 1 )证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种:一是定义法:证明

?n ? 1, d为常数?;二是等差中项法,证明 2a

n

若证明一个数列不是等差数列, ? an?1 ? an?1 ,

则只需举出反例即可; (2)等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题,解决这类问 题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用; (3) 解题时要善于类比要能正确 区分等差、等比的性质,不要把两者的性质搞混了,熟记等差数列的公式和性质. 试题解析: (1)证明: an ?1 ?

9 9 ?9 ? ? ?n ? 1? ,? an?1 ? an ? ? ?n ? 1? ? ? ? n ? ? ?1 是常数, 2 2 ?2 ?

7 ??an ? 是以 为首项, ?1为公差的等差数列 2

答案第 2 页,总 12 页

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(2)由等差数列的前 n 项和公式,得 S 20 ? 20 a1 ?

20 ?19 d ? ?120 . 2

考点:1、等差数列的证明;2、等差数列前 n 项和公式. 4. (1) an ? 3 ? 2n ; (2) m ? 7 . 【解析】 试题分析: ( 1 )由等差数列 {an } ,可将 a3 ? ?3 变形为 a1 ? 2d ? ?3 再结合 a1 ? 1 即可得

d ? ?2 ,从而通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? 3 ? 2n ; (2)由(1) ,可将 Sm ? ?35 变形为与
关于 m 的方程 S m ?

(a1 ? am ) 1 ? 3 ? 2m ?m ? ? m ? ?35 ,从而解得 m ? 7 . 2 2
3 分,

(1)∵等差数列 {an } ,∴ a3 ? a1 ? 2d ? ?3 ? d ? ?2 ∴通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? 2n ; 由(1)可得 S m ? 7分

(a1 ? am ) 1 ? 3 ? 2m ?m ? ? m ? ?35 2 2
*

10 分 14 分

∴化简后得 (m ? 5)(m ? 7) ? 0 ,又∵ m ? N ,∴ m ? 7 考点:1.等差数列的通项公式;2 等差数列的前 n 项和. 5. (1)详见解析; (2) S n ? 【解析】 试题分析: (1)要证明数列 {a n - 1} 是等比数列,只需证明

2 ? 4n ?1 ? n 3

?

?

a n?1 ? 1 ? q (常数),根据已知 an ? 1

条 件 , 将 an?1 ? 4an ? 3 , 代 入 整 理 , 易 得 常 数 q ? 4 , 首 项 a1 ? 1 ? 2 , 所 以 数 列

an ? 1 ? 2 ? 4 n?1 ,从而解出 an 的通项公式;
(2) an ? 2 ? 4 n?1 ? 1 , 所以数列{ an }的前 n 项的和分别是一个等比数列加一个常数列的 和,等比数列 {2 ? 4
n?1

} 是首项为 2,公比为 4 的等比数列,常数列 {1}的前 n 项的和为 n ,

两和相加即为最后结果. (1)

an?1 ? 1 4an ? 3 ? 1 ? ?4, an ? 1 an ? 1
4分 6分

所以数列 ?an ? 1? 是以 2 为首项,以 4 为公比的等比数列, 则 an ? 1 ? 2 ? 4 n?1 ; 所以 an ? 2 ? 4n?1 ? 1.

答案第 3 页,总 12 页

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(2) Sn ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 4 ?
2

? 2 ? 4n?1 ? n ?

2 ? (1 ? 4n ) 2 ? n ? ? (4n ? 1) ? n. . 1? 4 3

12 分

考点:1.等比数列的定义;2.等式数列的前 n 项和. 6. (1) ?

?a1 ? 1 ; (2) ? 35 . ?d ? ?1

【解析】 试题分析:本题是等差数列基本量的计算问题 .(1)将题中条件用首项与公差表示,可得

?a1 ? d ? 0 ,然后求解即可; (2)由(1)中计算得的 a1 , d ,结合等差数列的前 n 项 ? ?2a1 ? 12d ? ?10
和公式 Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d 计算即可. 2

试题解析: (1)由已知得 ?

?a1 ? d ? 0 ?2a1 ? 12d ? ?10
5分

3分

所以 ?

?a1 ? 1 ?d ? ?1

(2)由等差数列前 n 项和公式可得 S10 ? 10 ? 所以数列 ?an ? 的前 10 项的和为 ? 35 考点:等差数列的通项公式及其前 n 项和. 7. (1) an ? 2n ? 1 ; (2)详见解析. 【解析】

10 ? (10 ? 1) ? (?1) ? ?35 2
10 分.

8分

试题分析: (1)求数列 ?an ? 的通项公式,因为数列 ?log2 (an ? 1)? (n ? N ? ) 为等差数列,设公 差 为 d , 由 a1 ? 3, a3 ? 9 得 2(log2 2 ? d ) ? log 2 2 ? log 2 8 即 d ? 1 , 可 写 出 数 列

? ) ?l o 2g an(? ? 1n

? 的通 (2)证明 (N ) 项 公 式 , 从 而 可 得 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 ;

? ? 1 1 1 1 ? ?…? ? 1 ,关键是求数列 ? ? 的通项公式,由( 1 )知 a2 ? a 1 a 3? a 2 an ?1 ? an ? an ?1 ? an ?
an ? 2n ? 1 ,得

? ? 1 1 1 1 1 ? n ,这样数列 ? ? 是一个以 为首项,以 为公比的等 2 2 an ?1 ? an 2 ? an ?1 ? an ?

比数列,由等比数列的前 n 项和公式,求出和即可证出. 试题解析: (1)设等差数列的公差为 d, 由 a1 ? 3, a3 ? 9 得 2(log2 2 ? d ) ? log 2 2 ? log 2 8 即 d=1; 3分

答案第 4 页,总 12 页

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所以 log2 (an ? 1) ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n 即 an ? 2n ? 1 . (2)证明:

6分 8分
1 1 1 ? n? 1 1 ? n ? 2 2 2 ?1? n ?1 1 2 2 1? 2

1 1 1 ? n?1 ? n n a n?1 ? a n 2 ?2 2

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 1? 2? 3 所以 a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an 2 2 2
考点:等差数列的通项公式,等比数列求和. 8. (1) an ? 2 ? 3 【解析】
n?1

12 分

; (2) Sn ? 3 ?1 ? n .
n 2

试题分析: (1)将题中的条件利用 a1 和公比 q 列方程组求解,进而利用等比数列通项公式 求出数列 ?an ? 的通项公式; (2)先求出数列 ?bn ? 的通项公式,然后利用分组求和法求出数 列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn . 试题解析: (1)设数列 ?an ? 的公比为 q ,由 a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 12 , 得 2q ? 2q ?12 ? 0 ,即 q ? q ? 6 ? 0 .解得 q ? 3 或 q ? ?2 ,
2 2

∵ q ? 0 ,∴ q ? ?2 不合舍去,∴ an ? 2 ? 3

n?1



(2)∵数列 ?bn ? 是首项 b1 ? 1, 公差 d ? 2 的等差数列,∴ bn ? 2n ? 1 , ∴ Sn ? ? a1 ? a2 ?

? an ? ? ? b1 ? b2 ?

? bn ? ?

2 ? 3n ? 1? 3 ?1

?

n ?1 ? 2n ? 1? ? 3n ? 1 ? n2 . 2

考点:1.等差数列与等比数列的通项公式;2.分组求和法 9.(1) an ? 2n ? 10 ; (2) ?20 ; (3) Tn ? ? 【解析】 试题分析: (1)这是等差数列的基础题型,可直接利用基本量(列出关于 a1 , d 的方程组) 求解,也可利用等差数列的性质 a3 ? a4 ? a1 ? a6 ? ?6 ,这样可先求出 a3 , a4 ,然后再求出 得通项公式; (2) 等差数列的前 n 和 Sn 是关于 n 的二次函数的形式, 故可直接求出 Sn , d , a1 , 然后利用二次函数的知识得到最小值, 当然也可根据数列的特征, 本题等差数列是首项为负 且递增的数列,故可求出符合 an ? 0 的 n 的最大值,这个最大值 n 就使得 Sn 最小(如果 ; (3)由于 ?an ? 前几项为负,后面全为正,故分类求解 an ? 0 ,则 n 和 n ? 1 都使 Sn 最小)
答案第 5 页,总 12 页

??n 2 ? 9n,1 ? n ? 5, n ? N *, ? . 2 ? ?n ? 9n ? 40, n ? 6, n ? N *,

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( 目 的 是 根 据 绝 对 值 定 义 去 掉 绝 对 值 符 号 ), 特 别 是 n ? 5 时 ,

Tn ? ?(a1 ?

?a ) 5?a ? 6

? an

? Sn ? 2S5 ,这样可利用第(2)题的结论快速得出结论.
试题解析: (1) 由 ?

?a1 ? a 6 ? ?6 ?a3 ? a 4 ? ?6 2 ,得 a3 、 a4 是方程 x ? 6 x ? 8 ? 0 的 ?? ?a 3 ? a 4 ? 8 ?a3 ? a 4 ? 8

二个根, 此等差数列为递增数列, 公差 d ? 2 , ? x1 ? ?2 ,x2 ? ?4 , ? a3 ? ?4 ,a4 ? ?2 ,

a1 ? ?8 .? an ? 2n ? 10
(2)? S n ?

4分

n(a1 ? a n ) 9 81 ? n 2 ? 9n , S n ? ( n ? ) 2 ? , 2 4 2
8分

? (S n ) min ? S 4 ? S5 ? ?20

(3)由 an ? 0 得 2n ? 10 ? 0 ,解得 n ? 5 ,此数列前四项为负的,第五项为 0,从第六项 开始为正的. 10 分

? 当 1 ? n ? 5 且 n ? N 时,

Tn ? a1 ? a2 ? ?? an ? ?(a1 ? a2 ? ?? an ) ? ?Sn ? ?n 2 ? 9n .
? 当 n ? 6 且 n ? N 时,

12 分

Tn ? a1 ? a2 ? ?? a5 ? a6 ? ?? an ? ?(a1 ? a2 ? ?? a5 ) ? (a6 ? ?? an ) ? S n ? 2S5
? n 2 ? 9n ? 40.
14 分

考点: (1)等差数列的通项公式; (2)等差数列的前 n 项和公式; (3)绝对值与分类讨论. 10. (1) an = 2n + 1 ; (2) Tn ?

4n ?1 ? 8 ? n. 3

【解析】 试题分析:本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式、数列求和 等基础知识, 考查化归与转化思想, 考查思维能力、 分析问题与解决问题的能力和计算能力. 第一问,利用等差数列的通项公式,前 n 项和公式将 S3 = a4 + 6 展开,利用等比中项得出
2 a4 ? a1 ? a13 ,再利用通项公式将其展开,两式联立解出 a1 和 d ,从而得出数列 {an } 的通项

公式;第二问,将第一问的结论代入,再利用等比数列的定义证明数列 {2 利用分组求和法,求出 Tn 的值.
答案第 6 页,总 12 页

2 n ?1

} 是等比数列,

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试题解析: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ? 0 . 因为 S3 = a4 + 6 ,所以 3a1 ?

3 ? 2d ? a1 ? 3d ? 6 . 2

① ② 4分 6分 2分

因为 a1 , a4 , a13 成等比数列,所以 a1 (a1 + 12d ) = (a1 + 3d )2 . 由①,②可得: a1 = 3, d = 2 . 所以 an = 2n + 1 . (Ⅱ)由题意 bn ? 2
2 n?1

? 1 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , cn ? 2 2n?1 ,

cn?1 2 2( n?1)?1 ? 2 n?1 ? 4 (n ? N * ) ,所以数列 {cn } 为以 8 为首项,以 4 为公比的等比数列 9 cn 2
分 所以 Tn ?

8(1 ? 4n ) 4n?1 ? 8 ?n? ? n. 1? 4 3

12 分

考点:1.等差数列的通项公式;2. 等比数列的通项公式;3. 等差数列的前 n 项和公式;4. 等比数列的前 n 项和公式;5.等比中项;6.分组求和法. 11. (1) an ? 2n ? 10 ; (2)n=11. 【解析】 试题分析: (1)由等差数列的通项公式求出首项和公差.利用通项公式写出通项.(2)通过 (1)求出的首项和公差,利用等差数列的求和公式求出 n.本题主要是对等差数列的通项和 前 n 项和公式的应用.属于基础简单题型. 试题解析: (1)由 an ? a1 ? (n ? 1)d , a10 ? 30, a20 ? 50,得方程组 ? 解得 a1 ? 12, d ? 2.

?a1 ? 9d ? 30 , a ? 19 d ? 50 ? 1

? an ? 12 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 10.
n(n ? 1) d , S n ? 242 2 n(n ? 1) ? 2 ? 242 得方程 12 n ? 2 解得 n ? 11 或 n ? ?22 (舍去)
(2)由 S n ? na1 ? 考点:1.等差数列的通项公式.2.等数列的前 n 项和公式. 12. (Ⅰ) an ? 2n ? 1; (Ⅱ) Tn ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d 和等差数列的前 n 项和公式
答案第 7 页,总 12 页

2 n (4 ? 1) ? n(n ? 1) . 3

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Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d 可求首项 a1 和公差 d ,从而求等差数列的通项 an . 2

(Ⅱ)利用数列分组求和的方法,分别求等比数列和等差数列的和,即可得数列 bn 的前 n 项和 Tn . 试题解析: (Ⅰ)设等差数列 an 的首项为 a1 ,公差为 d .因为 a3 ? 5 , S15 ? 225 ,

? ?

? ?

?a1 ? 2d ? 5 ?a ? 1 ? 所以有 ? ,故 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 . ?? 1 15 ?14 d ? 2 15 a ? d ? 225 ? 1 ? ? 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)有 an ? 2n ? 1,所以 bn ? 2 n ? 2n ? 2(2n?1) ? 2n .
a

? Tn ? (21 ? 23 ? 25 ?

? 2(2 n?1) ) ? 2(1 ? 2 ? 3 ?

? n) ?

2(1 ? 4n ) n( n ? 1) 2 n ? 2? ? (4 ? 1) ? n( n ? 1) 1? 4 2 3

考 点 : 1 、 等 差 数 列 的 通 项 公 式 an ? a1 ? (n ?1)d ; 2 、 等 差 数 列 的 前

n 项和公式

Sn ? na1 ?
和.

n(n ? 1) a (1 ? q n?1 ) d ;3、等比数列的前 n 项和为 Sn ? 1 (q ? 1) ;4、数列分组求 2 1? q

13. (1)数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1; (2)详见试题分析. 【解析】 试题分析: (1)首先设数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,由等差数列的通项公式及前 n 项 和公式,列出 a1 和 d 方程组,由这个方程组可以解得 a1 和 d ,进而可以写出等差数列 ?an ? 的通项公式; (2)由(1) ,首先可得 an ? 2n ? 1,再列出 2 n 的表达式,利用等比数列的定
a

义,只要能算出

2 an 为非零常数即可. 2 an?1

【结论】若数列 ?an ? 为等差数列,则数列 c

? ? ( c 为不等于零的常数)为等比数列;反过
an

来,若数列 ?an ? 是各项为正数的等比数列,则数列 ?log k an ? ( k ? 0 且 k ? 1 , k 为常数) 为等差数列. 试题解析: (1)设数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,由题意得:?

? ?a1 ? d ? 3 , ? ?4 ? ? 2a1 ? d ? ? 4a1 ? 6d

答案第 8 页,总 12 页

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解得: ?

? a1 ? 1, ? an ? 2n ? 1 ; ? d ? 2.

(2)由题意知:

2an 22 n?1 . . ? ? 4,? 数列 ?2 an ? 是首项为 2,公比为 4 的等比数列. 2an?1 22 n?3

考点:1.等差数列的通项公式及前 n 项和公式;2.等比数列的定义域判断方法. 14. (Ⅰ) an ? 13 ? 4n ; (Ⅱ) n ? 3 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由 a4 ? a1 ?12 可得公差 d ,再由 an ? a2 ? (n ? 2)d 便可得通项公式. (Ⅱ) 等差数列的前 n 项和为关于 n 的二次式, 所以求出前 n 项和 S n 结合二次函数图象便可 得其最大值及相应的 n 的值. 试题解析: (Ⅰ) 由 a4 ? a1 ? 3d ? ?12 ? d ? ?4 ? an ? a2 ? (n ? 2)d ? 13 ? 4n 分 (Ⅱ)因为 a 2 ? a1 ? d ? a1 ? 9, S n ? na1 ? 对称轴为 n ? 6

n(n ? 1) d ? ?2n 2 ? 11n . 2
13 分

11 ,? n ? 3 时 S n 取最大值 15. 4 考点:1、等差数列的通项及前 n 项和;2、函数的最值.
15. (1) 2 n ; (2) 2 【解析】
n ?1

? n2 ? n ? 2 .

试题分析: (1)直接利用等差数列的通项公式求出公差 d ,再写出通项公式; (2)数列 ?bn ? 可看作是由一个等差数列 ?an ? 和等比数列 {2 } 对应项相加得到的数列,其前 n 和可用分组
n

求和法求和.

?d ? 2 . 试题解析: (1)a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? 3a1 ? 3d ? 12 , 又 a1 ? 2 ,
∴ an ? 2n . 5分

(2) bn ? 2n ? 2n , ∴ Sn ? (2 ? 21 ) ? (4 ? 22 ) ?

? (2n ? 2n ) ? (2 ? 4 ?
12 分

? 2n) ? (2 ? 22 ?

? 2n )

n(2 ? 2n) 2(1 ? 2n ) ? ? ? 2n ?1 ? n2 ? n ? 2 . 2 1? 2

考点: (1)等差数列的通项公式; (2)分组求和法.

答案第 9 页,总 12 页

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16.(1) an ? 1 ? ? ? ;(2) Sn ? n ? 1 ? ? ? 【解析】 试题分析:(1)根据所给的 2an?1 ? an ? 1 将 1 拆为 2 ? 1 ,化简得到关系

?1? ?2?

n

?1? ?2?

n

an?1 ? 1 1 ? ,构造数 an ? 1 2
n ?1

1 1 1 ?1? 列 ?an ?1 证明此数列是以 ? 为首项, 为公比的等比数列, 求得 an ? 1 ? ? ? ? ? ?, 2 2 2 ?2?
n



即得 an ? 1 ? ? ? 通项与首项为

?1? ;(2)根据所求的通项公式可以把通项看做是各项均为 1 的等差数列的 ?2?
1 1 ,公比也是 的等比数列的通项的差,根据等差数列与等比数列的前 n 项 2 2
n

?1? 和公式求得 a1 ? a2 ? ... ? an ? n ? 1 ? ? ? ?2?

试题解析:(1)由 2an?1 ? an ? 1 ? 2 ?1可得,2an?1 ? 2 ? an ?1 ,即 2 ? an?1 ?1 ? ? an ? 1 分 ∴

2

an?1 ? 1 1 ? , an ? 1 2

4分

1 1 1 得, a1 ? 1 ? ? 1 ? ? , 5分 2 2 2 1 1 ∴数列 ?an ?1 ? 是以 ? 2 为首项, 2 为公比的等比数列,
由 a1 ?

6分

1 ?1? ∴ an ? 1 ? ? ? ? ? 2 ?2?
∴ an ? 1 ? ? ?

n ?1



7分

?1? ?2?

n

8分

n ? 1 ? 1 ?2 ?1? ? (2)证明:∵ a1 ? a2 ? ... ? an ? n ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ?2? ? ?2 ? 2 ? ? ?

11 分

1 1 ?1? ? ?? ? 2 2 ?2? ? n? 1 1? 2

n

13 分

?1? ? n ?1 ? ? ? ?2?

n

14 分
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考点:1 等比数列的定义;2 等比数列的前 n 项和公式;3 等差数列的前 n 项和公式 17.(Ⅰ) an ? 2n ? 3 ;(Ⅱ) Tn ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据公式 an ? ?

1 n (4 ? 1) . 6

?

S1 , n ? 1

? Sn ? Sn ?1 , n ? 2

, 先求出 n ? 1 时对应的 a1 的值, 再求出 n ? 2

时对应的 an 的值,然后将 a1 的值代入 n ? 2 时的 an 的表达式进行验证,如果符合就合成一 个公式,如果不符合就写成分段函数的形式;(Ⅱ)先根据(Ⅰ)求得的 an 的值,求出 bn 的表 达式,然后由 bn 的特点求得

bn?1 22( n?1)?3 1 ? 2n?3 ? 4 ,以此来证明数列 ?bn ? 是以 b1 ? 为首项, 2 bn 2
a1 ? S1 ? ?1 ;

4 为公比的等比数列,最后由等比数列的前 n 项和公式求解.
试题解析:(Ⅰ)当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时, 验证 1分 . 4分

2 an ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? 2n ? ? ?(n ? 1) ? 2(n ? 1) ? ? ? 2n ? 3

a1 ? ?1 ? 2 ?1 ? 3 ,所以 an ? 2n ? 3 (n ? N? ) .
bn ? 2an ,得 bn ? 22n?3 (n ? N? ) .
8分

6分

(Ⅱ)由

bn?1 22( n?1)?3 1 ? 2 n ?3 ? 4 b1 ? b ? ? b 2 2 为首项, 4 为公比的等比数列. 11 分 因为 n ,所以数列 n 是以

1 (1 ? 4n ) 1 2 Tn ? ? (4n ? 1),(n ? N? ) . 1? 4 6
18. (Ⅰ) an ? 2n?1 . (Ⅱ) bn ? 4n?1 ? 1 , S n ? 【解析】

13 分

考点:1.等差数列的通项公式;2. 等比数列的前 n 项和公式;3.等比数列的性质

1 n (4 ? 1) ? n . 3

试题分析: (Ⅰ)为求数列 {an } 的通项公式,关键是求等比数列 {an } 的公比为 q , 根据已知条件,建立 q 的方程即可得到 an ? 2n?1 . (Ⅱ)首先由(Ⅰ)得到 {bn } 的通项公式,直接运用等比数列求和公式可得. 该题突出对基础知识的考查,较为容易. 试题解析: (Ⅰ)设等比数列 {an } 的公比为 q , 由 a3 ? a1 ? 3 得 a1 (q2 ?1) ? 3 ① 2分

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由 a1 ? a2 ? 3 得 a1 (1 ? q) ? 3 ② 两式作比可得 q ? 1 ? 1 ,所以 q ? 2 , 把 q ? 2 代入②解得 a1 ? 1 , 所以 an ? 2n?1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn ? an 2 ? 1 ? 4n?1 ? 1 易得数列 {4n?1} 是公比为 4 的等比数列, 由等比数列求和公式可得

4分 5分 6分 7分 8分

Sn ?

1 ? 4n 1 ? n ? (4n ? 1) ? n . 1? 4 3
27 n 9 ?1 . 8

13 分

考点:等比数列的通项公式、求和公式 19.(1) an ? 2n ? 1 ;(2) Tn ? 【解析】 试题分析:(1)根据已知条件,结合等差数列通项公式 an ? a1 ? ? n ?1? d , 列方程组求解首 项 a1 和公差 d ,进而可写出等差数列 ?an ? 的通项公式;(2)由已知得 bn ? 3
an

?

?

? 32n?1 ,利

用等比数列的定义先证明数列 ?bn ? 为等比数列,最后利用等比数列前 n 项和的公式求数列

?bn? 的前 n 项和 Tn .
试题解析:(1)设 an ? a1 ? ? n ?1? d , 则 ?
? a1 ? 2d ? 7 , 解得 a1 ? a1 ? 6d ? 15 .

? 3, d ? 2 .

所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 3 ? 2 ? n ?1? ? 2n ? 1 . (2)依题意得 bn ? 3 为 9 的等比数列, 所以 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ?
an

? 32n?1 .因为

bn ?1 32 n ? 3 ? 2 n ?1 ? 9 , 所以 bn 3

?bn? 是首项为 b1 ? 33 ? 27 ,公比

27 ?1 ? 9n 27 n ? 9 ?1 . 1? 9 8

?

?

考点:1.等差数列通项公式及等比数列通项公式;2.等比数列前 n 项和的公式.

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