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吉林省长春市十一中2015-2016学年高一下学期期中考试 数学(理)


试 题(理)
(本试卷满分 130 分,答题时间 120 分钟) 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知数列 5,6,1,-5,?,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数 列的前 16 项之和 S16 等于( A.5 B.6 C.7 ) D.16

2.已知 a ? 0, b ? 0 ,如果不等式 A.10 B.7

2 1 m ? ? 恒成立,那么 m 的最大值等于( ) a b 2a ? b
C .8 ) D. D.9

3.在 ?ABC 中, a ? 2, A ? 30? ,C ? 45? , 则 S ?ABC =( A. 2 B. 2 2 C. 3 ? 1

1 2

?

3 ?1

?

4.一个几何体的三视图如图所示,主视图与左视图都是腰长为 5 底为 8 的等腰三角形,俯视图是边长为 8 的正方形,那么此几何体的侧面积为( ) A. 48 C. 80 B. 64 D. 120

5.下列说法中,正确的是( ) A.垂直于同一直线的两条直线互相平行 平行 C.垂直于同一平面的两个平面互相平行

B.垂直于同一平面的两条直线互相 D.平行于同一平面的两条直线互相平行

6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )

A.100 C.84

B.92 D.76

7.已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ?
-10 A. -6 1-3

4 , 则?an ?的前10项和等于 3
-10 C. 3 1-3

?

?

B.

1 ?1-3-10 ? 9

?

?

-10 D. 3 1+3

?

?
-1-

8.在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 cos2 B+cos B= 1-cos A cos C 则( A. a,b,c 成等差数列 2b, 3c 成等差数列 C. a, B. a,b,c 成等比数列 2b, 3c 成等比数列 D. a,



9.三棱锥 P-ABC 的两侧面 PAB、PBC 都是边长为 2 的正三角形, AC ? 3 ,则二面 角 A-PB-C 的大小为( )

A.60?

B.90?

C .120 ?

D.150 ?

10. 若等比数列的各项均为正数, 前 4 项的和为 9, 积为 A.

81 , 则前 4 项倒数的和为( 4

)

3 2

B.

9 4

C.1

D.2

11.定义

n 为 n 个正数 p1 , p2 ,?, pn 的“均倒数” ,若已知数列 ?an ? 的前 n 项的“均倒数” p1 ? p2 ? ? ? pn




a 1 1 1 1 ,又 bn ? n ,则 ? ??? ?( 5 b1b2 b2b3 b10b11 5n
8 17
B.

A.

9 19

C.

10 21

D.

11 23

12.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 5 ? n ,其前 n 项和为 Sn ,将数列 ?an ? 的前 4 项抽去其中一项后,剩 下三项按原来顺序恰为等比数列 ?bn ? 的前 3 项,记 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若存在 m ? N ,使对任意
*

n ? N * ,总有 Sn ? Tm ? ? 恒成立,则实数 ? 的取值范围是(
A. ? ? 2 二、填空题 B. ? ? 3 C. ? ? 3 D. ? ? 2



13.记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a6 +a10 ? a12 ? 8 , a14 ? a8 ? 4 ,

S19 =
14.在△ABC 中,A=60°,|AB|=2,且△ABC 的面积为 15.已知 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? 1 ,则 ,则|AC|=.

1 1 ? 的最小值是 2a ? 1 2b ? 1

16.将一个半径为 3 的球和四个半径为 1 的球完全装入底面边长为 6 的正四棱柱 (底面为正方形, 侧棱和底 面垂直的四棱柱的四棱柱称为正四棱柱)容器中,则正四棱柱的高的最小值是
-2-

三、解答题(解答时要写出必要的文字说明,推理过程或演算步骤) 17. (10 分)如图所示:用篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 ,假设墙有足够长. (Ⅰ) 若篱笆的总长为 30 m ,则这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大? (Ⅱ) 若菜园的面积为 32 m2 ,则这个矩形的长,宽各为多少时,篱笆的总长最短?

18. (10 分)已知△ABC 是斜三角形,内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a、b、c.若 c sin A ? 3a cos C , (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 c ?

21 ,且 sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,求△ABC 的面积.

19. (10 分)如图所示,圆柱 O1O 中,母线 AB 与底面垂直,BC 是⊙O 的直径,点 D 是⊙O 的圆周上异于 B, C 的点. (1)求证:平面 ABD⊥平面 ADC; (2)若 BD=2,CD=4,AC=6,求圆柱 O1O 的表面积.

20. (10 分)如图, AB 是圆 O 的直径, C 是圆 O 上不同于 A , B 的一点, PA ? 平面 ABC , E 是 PC 的 中点, AB ? 3 , PA ? AC ? 1 . (1)求证: AE ? PB ; (2)求二面角 A ? PB ? C 的正弦值.

21.(10 分)已知正项数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 满足: 4Sn ? (an ?1)(an ? 3) , ( n ? N ).
*

(1)求 an ; (2)若 bn ? 2n ? an , 求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn .

-3-

期中考试参考答案(理) 一、选择题 题号 答案 1 C 2 D 3 C 228 1 16 4 C 5 B 6 A 7 C 14 1 8 B 9 A 10 D 11 C 12 D

二、填空题 13 15 三、解答题

4?2 2

2 17:设这个矩形的长为 x m ,宽为 y m ,篱笆的长为 l m ,面积为 S m .

(Ⅰ) 由题知, x ? 2 y ? 40 由于 x+2y ? 2 x ? 2 y =2 2xy ,



xy ?

202 ? 200, ,当且仅当 x=2y 时等号成立. 2

-4-

由?

? x ? 2 y ? 40 ? x ? 20 ?? ?x ? 2 y ? y ? 10

故这个矩形的长为 20 m ,宽为 10 m 时,菜园的面积最大. (Ⅱ) 条件知 S=xy=32 , l=x+2y .

? x+2y ? 2 2xy=16 ,当且仅当 x=2y 时等号成立.
由?

?x ? 2 y ?x ? 8 ?? ? xy ? 32 ? y ? 4

故这个矩形的长为 8 m 、宽为 4 m 时,可使篱笆的总长最短. 18: 试题解析: (I)∵ c sin A ? 3a cos C , 由正弦定理可得 sinCsinA= 3 sinAcosC, sinA≠0, ∴ , 得 , 5分 4分

∵C∈(0,π ) ,所以 C ?

?
3



(II)∵sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,sinC=sin(A+B) ,∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=5sin2A, ∴2sinBcosA=2×5sinAcosA,∵△ABC 为斜三角形,∴cosA≠0,∴sinB=5sinA, 由正弦定理可知 b=5a (1)
2 2 由余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC,所以 21 ? a ? b ? 2ab ?
2 2 2

1 2

(2)

由(1) (2)解得 a=1,b=5,所以 . 19:证明: (1)由已知可知 AB⊥平面 BCD,CD?平面 BCD, ∴AB⊥CD ∵点 D 是⊙O 的圆周上异于异于 B,C 的点,BC 是⊙O 的直径, ∴∠BDC 是直角,即 BD⊥CD 又∵AB?平面 ABD,BD?平面 ABD,AB∩BD=B, ∴CD⊥平面 ABD, ∵CD?平面 ADC, ∴平面 ABD⊥平面 ADC. 5 分 解: (2)在 Rt△BCD 中,BD=2,CD=4,∠BDC=90°, ∴ ∴AB⊥BC,即∠ABC=90° ∴ S


10 分



由(1)知 AB⊥平面 BCD,BC?平面 BCD,

∴ 圆 柱 O1O 的 表 面 积 为 : = 2? ?
BC ? BC ? ? AB ? 2? ? ? ? = 2 ? 2 ?
2

=S .



+2S 10 分



P F E C A O

B

-5-

20:(1)证明:∵ PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , ∴ PA ? BC . 又 AB 是圆 O 的直径, C 是圆 O 上不同于 A , B 的一点, ∴ ?ACB ? 90? ,即 AC ? BC ,又 PA ? AC ? A , ∴ BC ? 平面 PAC ,又 AE ? 平面 PAC , ∴ BC ? AE . ∵ PA ? AC , E 是 PD 的中点, ∴ PC ? AE ,又 BC ? PC ? C , ∴ AE ? 平面 PBC ,又 PB ? 平面 PBC , (2)过 A 作 AF ? PB 交 PB 于 F ,连接 EF . 又由(1)得 AE ? PB , AE ? AF ? A , ∴ PB ? EF ,又 AF ? PB , ∴ PB ? 平面 AEF ,又 EF ? 平面 AEF , ∴ ?AFE 是二面角 A ? PB ? C 的平面角 8 分 ∴ AE ? PB 5分

∵在 Rt ?PAC 中, PA ? AC ? 1 ,则 PC ? 2 , AE ? 在 Rt ?PAB 中, PA ?1 , AB ? 3 ,同理得 AF ?

PA ? AC 2 ? , PC 2

3 , 2
故二面角 A ? PB ? C 的正弦值为

2 AE 6 ∴在 Rt ?AEF 中, sin ?AFE ? . ? 2 ? AF 3 3 2
20:(Ⅰ)证明:连接 EC,

6 . 10 分 3

有EC ? AB 又? PA ? PB,
? AB ? PE

? AB ? 面PEC, PC ? 面PEC
5分

? AB ? PC

(Ⅱ)连结 FH,交于 EC 于 O,连接 GO,则 FH//AB 在 ?PEC中, GO // PE. PE∩ AB ? E , GO∩ FH ? O 10 分

GO, HF ? 平面FGH ,所以平面 PAB//平面 FGH
2 21(1)∵ 4Sn ? (an ?1)(an ? 3) ? an ? 2an ? 3 ,

2 2 2 ∴当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ?1 ? 2an?1 ? 3 ,两式相减得, 4an ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,

化简得, (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,由于 ?an ?是正项数列,所以 an ? an?1 ? 0 , ∴ an ? an?1 ? 2 ? 0 ,即对任意 n ? 2 , n ? N 都有 an ? an?1 ? 2 ,
*

2 又由 4S1 ? a1 , ? 2a1 ? 3 得, a12 ? 2a1 ? 3 ? 0 ,解得 a1 ? 3 或 a1 ? ?1 (舍去)

∴ ?an ? 是首项为 3,公差为 2 的等差数列,∴ an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1 ; (2)由已知及(1)知,

bn ? (2n ? 1) ? 2n ,
-6-

Tn ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ?? (2n ?1) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ,① 2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? 7 ? 24 ? ?? (2n ?1) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ,②
②-①得, Tn ? ?3? 21 ? 2(22 ? 23 ? 24 ? ?? 2n ) ? (2n ? 1) ? 2n?1 ? ?6 ? 2 ?

4(1 ? 2n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n ?1 1? 2

? 2 ? (2n ?1) ? 2n?1 .

-7-

-8-


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