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二轮复习:2.3-函数与导数的应用专项练ppt课件(含答案)


2.3 函数与导数的应用专项练

-2-

1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导 数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f'(x0),相应的切线方程 是y-y0=f'(x0)(x-x0). 注意:在某点处的切线只有一条,但过某点的切线不一定只有一 条. 2.常用的求导方法 (1)(xm)'=mxm-1,(sin x)'=cos x, (cos x)'=-sin x ,(ex)'=ex,
(ln x)'= ,(ax)'=axln a,(logax)'=
1 1 ln

.

(2)[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x); [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
() ()

'=

'() ()- () '() 2 ( )

[g(x) ≠0].

-3一、选择题 二、填空题

1.函数f(x)=excos x在点(0,f(0))处的切线斜率为(

C

)

A.0

B.-1

C.1

D.

2 2

解析: f'(x)=excos x-exsin x,∴k=f'(0)=e0(cos 0-sin 0)=1.

-4一、选择题 二、填空题

2.(2017山东烟台一模,文9)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示, 则下列结论成立的是( C ) A.a>0,b>0,c>0,d<0 B.a>0,b>0,c<0,d<0 C.a<0,b<0,c>0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d>0 解析:由函数的图象可知f(0)=d>0,排除选项A,B; f'(x)=3ax2+2bx+c, 且由图象知(-∞,x1),(x2,+∞)是函数的减区间,可知a<0,排除D.故选C.

-5一、选择题 二、填空题

3.与直线2x-6y+1=0垂直,且与曲线f(x)=x3+3x2-1相切的直线方程是 ( A ) A.3x+y+2=0 B.3x-y+2=0 C.x+3y+2=0 D.x-3y-2=0
2 解析:设切点坐标为(x0,y0),由f'(x)=3x2+6x得f'(x0)=3 0 +6x0=-3,解得 x0=-1,即切点坐标为(-1,1).从而切线方程为y-1=-3(x+1), 即3x+y+2=0,故选A.

-6一、选择题 二、填空题

4.(2017 辽宁大连一模,文

e 8)函数 f(x)= 的图象大致为

(

B )

解析: 函数 f(x)= 的定义域为 x≠0,x∈R,当 x>0 时,函数 f'(x)=


e

e -e 2
e

,

可得函数的极值点为x=1,当x∈(0,1)时,函数是减函数,x>1时,函数

是增函数,并且 f(x)>0,选项 B,D 满足题意.当 x<0 时,函数 f(x)= <0,
选项D不正确,选项B正确.

-7一、选择题 二、填空题

5.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)内单调递增,则k的取值范围是 ( D ) A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C.[2,+∞) D.[1,+∞)

解析: 由 f'(x)=k- ,又 f(x)在(1,+∞)上单调递增,则 f'(x)≥0 在 x∈(1,+∞) 上恒成立 ,即 k≥ 在 x∈(1,+∞)上恒成立.又当 x∈(1,+∞)时 ,0< <1,
1 1

1

故 k≥1.故选 D.

-8一、选择题 二、填空题

6.(2017河南郑州三模,文6)已知f'(x)=2x+m,且f(0)=0,函数f(x)的图

象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 3,数列 S2 017 的值为(
2 017 A. 2 018

1 ()

的前 n 项和为 Sn,则

A )

2 014 B. 2 015

2 015 C. 2 016

2 016 D. 2 017

解析:f'(x)=2x+m,可设f(x)=x2+mx+c,由f(0)=0,可得c=0. 可得函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为2+m=3,解得m=1,

即 f(x)=x2+x,则
1 2

1

则 S2 017=1- + ? +…+
2 3

( ) 1 1

=

1 2 +

= ?
1

1

1

2 017

?

+1 1

,数列 =1-

1 ( ) 1

的前 n 项和为 Sn,
2 017 2 018

2 018

2 018

=

.

-9一、选择题 二、填空题

7.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是 ( B )
A.(-∞,0) B. 0,
1 2

C.(0,1)

D.(0,+∞)

解析: ∵f(x)=x(ln x-ax), ∴f'(x)=ln x-2ax+1,由题意可知f'(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点,

令 f'(x)=0,则 2a= 设 g(x)=
ln +1

ln +1

,
-ln 2

,则 g'(x)=

,

∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
又当x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0,而g(x)max=g(1)=1, 1 ∴只需0<2a<1,即0<a< 2 .

-10一、选择题 二、填空题

8.(2017湖南衡阳三次联考,文11)已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-ln x(a>0,b∈R)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是( B ) A.ln a>b-1 B.ln a<b-1 C.ln a=b-1 D.以上都不对
解析:f'(x)=3ax -b- ,

2

1

∵x=1是函数f(x)的极值点, ∴f'(1)=3a-b-1=0,即3a-1=b.
令g(a)=ln a-(b-1)=ln a-3a+2(a>0),

则 g'(a)= -3=
1

1

1-3

,
1 3

∴g(a)在 0, 3 上递增,在
故ln a<b-1.

, + ∞ 上递减,故 g(a)max=g

1 3

=1-ln 3<0.

-11一、选择题 二、填空题

9.(2017河南濮阳一模,文12)设f'(x)是函数f(x)定义在(0,+∞)上的导 1 函数,满足xf'(x)+2f(x)= 2 ,则下列不等式一定成立的是( B )
(e) A. 2 e (2) C. 2 e

> >

(e2 ) e (e) 4
1

(2) B. < 9 (e) D. 2 < e
1

(3) 4 (3) 9

解析 :∵xf'(x)+2f(x)= 2 ,

∴x2f'(x)+2xf(x)= .

令 g(x)=x2f(x),则 g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)= >0,

1

∴函数 g(x)在 R 上单调递增. (2) (3) 2 ∴g(2)=4f(2)<g(e)=e f(e)<g(3)=9f(3),∴ 9 < 4 .故选 B.

-12一、选择题 二、填空题

10.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( A ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
解析 : 当 x>0 时 ,令 F(x)=
( )

,则 F'(x)=

'( )- ( ) 2

<0,

∴当 x>0 时,F(x)=

( )

为减函数 .

∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.
在区间(0,1)上,F(x)>0;在(1,+∞)上,F(x)<0,即当0<x<1时,f(x)>0;当 x>1时,f(x)<0. 又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0. 综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A.

-13一、选择题 二、填空题

11.(2017湖南长郡中学模拟6,文12)若函数y=2sin ωx(ω>0)在区间 π π - , 内只有一个极值点,则ω的取值范围是( B )
6 3

A.1≤ ω≤

3 2

B. <ω≤3 D. ≤ω<
2 2 3 9 2

3

C.3≤ ω<4

解析: 函数y=2sin ωx(ω>0),则y‘=2ωcos ωx.

∵x∈ - 6 , 3 ,
π

π π

∴ωx∈ - 6 , 3 .
π π

π

∵在区间 - 6 , 3 内只有一个极值点,∴-2 ≤- 6 ω< 2 ,且 2 < 3 ω≤ 2 ,
解得 -3 < ≤ 3,
3 2

π

π

π

π

π



< ≤ ,
2

9

即 <ω≤3.故选 B.
2

3

-14一、选择题 二、填空题

12.(2017 辽宁抚顺重点校一模,文 12)已知函数 f(x)=最大值为f(a),则a等于( B )
1 A. 16
3

2'(1) 3

-x2 的

B.

4 4

1 C. 4

3

D.

4 8

-15一、选择题 二、填空题

解析 :∵f'(x)=1

2 '(1) 3

·

1

2

-2x,

∴f'(1)=-3f'(1)-2,
解得 f'(1)=- ,
2 3

故 f(x)= -x2,f'(x)= 令 f'(x)>0,解得 x< 令 f'(x)<0,解得 x> 故 f(x)在 0, 即 a=
3 3 3

1-4 2 4

.

4 3 4 4

, ,
3

4

4

递增 ,在

4

4

, + ∞ 递减 ,故 f(x)的最大值是 f

3

4

4

,

4

4

.

-16一、选择题 二、填空题

13.(2017湖南邵阳一模,文15)已知函数f(x)=ln x-3x,则曲线y=f(x)在 点(1,f(1))处的切线方程是2x+y+1=0 .

解析:由函数f(x)=ln x-3x知f'(x)= -3, 把x=1代入得到切线的斜率k=-2, ∵f(1)=-3, ∴切线方程为y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0.

1

-17一、选择题 二、填空题

14.已知函数

1 2 f(x)= x +3ax-ln 2

x,若 f(x)在区间 ,2 上是增函数,则实
3

1

数 a 的取值范围为
1 1 3 8

8 ,+∞ 9
1 1 3

.

解析: 由题意知 f'(x)=x+3a- ≥0 在 ,2 上恒成立, 即 3a≥-x+ 在 又 y=-x+ 在
8 1 1 3

,2 上恒成立.
1 max

,2 上单调递减,∴ - +

= ,
3

8

∴3a≥3,即 a≥9.

-18一、选择题 二、填空题

1 1 , 15.(2017河南洛阳一模,文15)已知p:?x∈ 4 2 ,2x<m(x2+1),q:函数

f(x)=4x+2x+1+m-1存在零点,若“p且q”为真命题,则实数m的取值范
围是
4 ,1 5

.
2 2 +1

解析:由 p 得 m>
1 1 4 2

,令 g(x)=

2

当 x∈ , 时 ,g'(x)>0,则 g(x)在 , 上递增,故 g(x)≤g 故 p 为真时 m> ; 由 q 得 f(x)=(2 +1)2+m-2, 令 f(x)=0,得 2x= 2- -1,则 2- -1>0,解得 m<1. 若 “p 且 q”为真命题 ,则实数 m 的取值范围是
4 5
x

2 +1 1 1 4 2

,g'(x)=

2 2 +2-4 2 ( 2 +1)
2

=

2(1- 2 ) ( 2 +1) 1 2
2

, = ,
5 4

4 5

,1 .

-19一、选择题 二、填空题

16.(2017河北邯郸二模,文16)若函数f(x)=(x2-ax+a+1)ex(a∈N)在区 间(1,3)只有1个极值点,则曲线f(x)在点(0,f(0))处切线的方程为 x-y+6=0 . 解析:f'(x)=ex[x2+(2-a)x+1],若f(x)在(1,3)只有1个极值点, 16 则f'(1)· f'(3)<0,即(a-4)(3a-16)<0,解得4<a< 3 ,a∈N,故a=5. 故f(x)=ex(x2-5x+6),f'(x)=ex(x2-3x+1),故f(0)=6,f'(0)=1, 故切线方程是y-6=x,故答案为x-y+6=0.


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