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一道课本习题的拓展探究



4  0

数 学通报 

21 0 2年  第 5 l卷  第 4期 



道课 本 习题 的拓 展探 究 
杨 红 霞 
( 京市第十三中学 南

徐成 中  
2 00 ) 10 6 

200) ( 京市中华中学 10 8  南

苏教 版选修 2 1 3 — 第 7页 有这 样一道 习题 :  
例 1 在 △ ABC 中 , 一 6 0 , ( , ) 直 线  B( , ) C 6 O ,

所以忌 . P一 o一   . 十 3 1一z 一 _i P 足  二3 1 半 2    z   A 月 X 2  XO

A A B, C的斜率之积是÷ , 求顶点 A 的轨迹方程.  
通 过 计 算很 容 易得 到顶 点 A 的轨 迹 方 程 是 
2  


6 一 ) (   6   手    )   (   一

2  

彘一   ≠ )   ( 0  y一   ?
我 们知 道 圆上 直 径所 对 的 圆周 角 为 直 角 , 从  而相应 两条 弦所 在直 线斜 率 的乘 积 为常数 一 1 若  (
斜 率 均 存 在 ) 反 过 来 一 动 点 与 圆 上 两 定 点 的 连 线  .

的斜 率为 一 1 则 动 点 的轨 迹 为 圆( , 除去 出现 斜率 
不存 在 的点 ) 若 将 这 一结 论 推 广 到 圆锥 曲线 , . 结  论是 否都 成立 呢 ?下面 以椭 圆为对 象进 行探 究 :   探 究 1 点 A, 是关 于原 点对 称 的 两 个 定    B

点 , P 是 椭 圆 上 异 于 A, 的点 , 直 线 P   点 B 若 A, P 的斜率 之 积 是 不 等 于 一 1的负 常数 , 点 P B 则  
在 一个 定椭 圆上 .  
证 明  设 A( , 1 , 一z1 一 Y ) P(  ) xl Y ) B( , 1 , x,  
忌 P ?志 一 一  . B 融  

且 P P 的斜 率 之 积 为 m( A, B m< 0且 m≠ 一 1 , ) 
则 k 一   
Z  -_  』1

,船 一 k  
』  l l 1   』    

由 kA . 船 一 m 得 , P k  
+—   一 1  ,

31 3 1 1 2  2      

.  

一m, 即 

二 
—— m  

Yl一mxi 。  

所 以若 一l <m<O 则 点 P 在 焦点 在 z轴 上 的 一  ,

一 。/ 1一, l  ≥ l 22   kY 一  Bl p1 所, (_ ?  一一    以/ l z M 1 忌 ) 一 . x
Yl

个定 椭 圆上 ; m< - 1 则 点 P在 焦 点 在  轴 上  若 ,
的一 个 定 椭 圆 上 .  


2  



2  

探究 2 点 A, B是椭 圆山 十 0 一1 n >  a 一    ( >6   。
0 上关 于 中 心 对 称 的 两 点 , P 是 椭 圆上 异 于  ) 点 探 究 3 已知 点 P(。  ) 椭 圆  +  一    z - ,。 为

A, 的点 , P PB斜 率 均 存 在 , 直 线 P   B 若 A, 则 A,
L2  

P 的斜 率之 积是 定值 一  . B  
“ 

证 明  设 A( , ) B( z , zl 1 , 一 1 一 1 P( 。  ), z ,


) 则 k 一  ,  

, P一  kB

,  
~  

b 2


得 忌  ̄一一  2 P b


所 以直 线 P 的方程 为  一 M  

2l 0 2年  第 5 卷  z  4期  1 第
一 一    
,  

数 学通报 
志 a 。     b 一 a。   2 m ab k  

4  1

Y 一 意( — z。 z )+ y   0
,  

k z — z )+ y , 由 £  y 一 1 ( 。 。   A   或 
,  ., .. .. ... .. ,   . .. .. .,.  . ,

解 得 

k 。 m   b 上 a2 ’    上 m 0   kb a。



n 

  。 。 6 

 

①若 一 k 。一 m, 直 线 MN 方 程 为 z 一  则
一 五a - a 2 m at b -

k a。2 一 2 a。 0一 b zo       一 ao一 k      
y 

m…   直 M 点 m4b0  a   线 N (m3a,;  0故 \— D ) 一 a 2, a      一 -


  一
6 愚  

②若 ~k≠ m, 直线 M』 的斜率 为    则 \ ,
, ●● ● ●  、 ,● l  

b  上 k    a


2 km a   b

2 a  k b

M 点 坐 标 为 
k2 。 n zo一 2 a o— b z0 b yo— k2  Y k  Y 2     a o一 2 b zo k    一   b  + k。   a2 ’   b  + 忌 口。    

k2。。。。。 — b + 志 a 。。’+。。。 2 。。‘。 。。     。。‘。。。。 。b’。m。。 。。。。。。— 。2 。 2 。。 。 a   
k ab 。  一 m 。   ab a。  一 k 。  a 

k b + m       a


b + kn 。   

+ 

  一 ≯ 
一  

类似 方 法可 得 N 点坐 标为  z  

 ̄ k b(     一2 a 。是 b+m a ) / 2 ma   6 +k 口 ) k b ( 。     ]  

( 。 一(b 。 z 一  。 一2  - 等) z所  )   。   抖(   一 n 等)  。 b-一   。 (  。即 为  2 (筹) ~ 一   y o 2 等) (   一 n 筹)  
以 


厂 是 a 。 m  。 (  (  b 一 n ) 6 +k a ) ( b 一 k n ) 忌 b 。  一 a 。   。 ( 。 
+  a )     ]

k b r m— k ) 。 a  (   b 一m ( m— k ) 。   a]
(  一 m  a b 足 ) 。 
一  



所 以直线 MN 方 程 为 

,一

 

  6+  口 一生 + 二 0 /  墨   ( 垒 。  \   十  na     : )  一a2 k2       b-  ̄a k   k  


k o  

1化简  ,

(— o k  Z’ 一a ̄ o x k   a ̄ o Z  2一   — 2y b   x


bY + 尼 Y + 2 bx 、   0   0 k z 0 

6+忌a    。  

/  ’

因此 点 M 与 点 ~ 恒 关 于 原 点 对 称 , 以 直 线  所 MN 恒 过坐标 原 点 o.   探 究 4 已知 点 A 为椭 圆  +  一1 n >    ( >6
a  D。  

得    一
综 上, 得  

(  3 b, 以 线 zm  ̄ e 所 直   +a a)
直 线  MN  恒 过 定 

M 恒 定 (m Do N 过 点一 一2) \7+b ,  a       a,. a n 可  
点 一a   ,. (m3a 0    b )  ̄2  
例 3 ( 锡市 2 1   无 0 0年秋 学 期 高 三期 末 考 试 
第 1 8题 改 编 ) 已知 椭 圆 2 +  一 1的 左 顶 点 为 

0 的左 顶 点 , M、 为该 椭 圆 上 的 动 点 , ) 点 N 且  kM ? A 一  ( 为 常 数 且 m≠  ) 则 直 线 MN  a 忌 ̄ m ,

恒 定 (m-b ) 过 点一  2 . a a,    o a k
证 明  设 直 线 AM 斜 率 为 k, 由题 知 直 线  则
AN 的 斜 率 为  ,由   总 
得 
a 

A, A 作 两条 互 相 垂直 的弦 AM 、 过 AN 交椭 圆于 
M 、 两 点. N 当直线 AM 的 斜率 变 化 时 , 线 MN  直

+ 

是否 过 z轴 上 的一 定 点 , 过 定 点 , 给 出证 明 , 若 请   并求 出该 定 点 , 不 过定点 , 说 明理 由. 若 请  
证 明  由题 知 , 线 A 、 直 M AN 的斜 率 之 积 为 


即 

+ 

k z+ 口)  (  
b  

1,再 由 探 究

4 可 知 直 线 M N 必 过 定 

0 即得  一 一n或 z一  ,

, 代人  一是 z+  (

点f  , 。 —6o  1
、   0  ,  


V 

a分 得 。   磐, 理 由 ) 别  一 ,  一   ,  同
m  

  。 \  ~
A\   O   l    
、 、 、
, 一  





仁 ,   
,k2 、  a ) 2b   丽 

Fj    B)

所以可以得到 M(     

例 4 ( 0 0江 苏卷 第 1 21 8题 改 编 ) 平 面 直  在

角 标 O 中如 ,知 圆 + ‘ 的 坐 系x ,图已 椭 等 等 1  y 一

4  2
左 、 J 点 为 A 、 . 过 点   。9   ) 直 线 石 贝   议 』( , 的

数 学 通报 
』 、 A  

21 0 2年  第 5 1卷  第 4期 

直线 MN 必 经过 点 ( ,) 1O.   定值 、 点 问题 一 直是 高 考 江 苏 卷 中解 析 几  定 何 考查 的热点 、 难点 . 但是 由前面 的探究 我们 可 以  发 现 , 实这 些热 点 、 点 问题都是 由课 本 习题 演  其 难 化 而成 , 正所 谓 : 于课 本 , 于课本 . 们在 平 时  源 高 我

T B与 椭 圆分 别 交 于 点 M 、 , 中  > 0 求 证 : N 其 ,  
直 线 MN 必 过 z轴上 的一定 点.  

证 明  直 线 NT 方 程 为 : - O一 两 3 I  B   y x - ! p



詈  3 与 圆c  一 联 方 组解 ( ) 椭 可 y 1 立 程 ,  一. a Z z   T

的教学 、 习 中 , 能 仅 仅满 足 于 完 成 习题 , 到  学 不 得
结果, 而更要 对条件 和 结论 多反思 反思 , 看是 否 有 

共 经 不 得N   , : 车 一 ) 以 线 N   通 性 、 性 的知 识 隐 藏在 里 面 . 常 这 样 做 , 仅  (   . 直 A斜 所

率为志N 0 又直线A A一; ,   M斜率忌M   ,   A=1 所以  
最M.   一一  为 定 值 , 以 由探 究 4可 以得 到  A 是 所

可 以提 高学 生 的数 学 能 力 , 可 以 提 高教 师 的 教  也
学 水平 .  

( 接第 3 上 9页 )  

尼 +咒 其 中 l 2 a <n < 口 , 盘 > n+ 对    , <n < 3 4 5 且     1

弧 和一 段半 圆弧 组成 的 曲线 .   通 过这 样 的指 导 , 生 不 仅 仅 局 限 于解 决 了  学 本题 , 对这 一类 问题 乃 至 一般 性 的解 题 策 略都 有 
了清 晰感 受和认 识 . 以 , 了防止讲 评课 松 、 、 所 为 散  

≥ 8恒成立 , 实数 h的取 值范 围是  则

.  

总之 , 对试 卷讲 评 的定 位 , 教师应 该树 立 学生  错误 是重要 课 程 资 源 的 理念 , 试 卷 分 析作 为 了  把
解 学 生 、 入 认 识 学 生 学 习 状 况 的重 要 契 机 , 卷   深 试

乱 , 师应 该 以 目标 、 生 困难 、 决 策 略等 为 线  教 学 解
索 , 纳一 类题 的解 题规 律. 归   3 讲 评后 要指 导学 生 自我建 构  试卷 讲评 结束 后 首先 要 引 导 学 生 回归 知识 ,  

讲评 不 仅 是 讲 与 评 , 该 是 说—— 评—— 讲 ~ ~  应
练—— 悟 的 五程 序 , 是 评 的起 点—— 让 学 生 说  说
想法 , 说原 理 , 露思 维 过 程 ; 师 既 可 以凭 借 个  暴 教

体 经验 去分 析 现象 后 的原 因 , 可 以通 过 访 谈 寻  也 找 本质 原 因 ; 是 讲 的基 础—— 一 针 见 血 地 评 价  评 学 生答 案 , 要准 确 , 不准 确 , 就难 以 到位 ; 评 评 讲 讲  是 评 的升华—— 讲 要透 彻 , 学生 高屋 建瓴 , 让 有柳 
暗 花 明 又 一 村 的 感 觉 才 算 到 位 ; 是 讲 的 反  练

对知识 从 多个 侧面 、 多个 角度 建构 , 一步提 高 建  进
构层 次 , 提高 经验化 的水准 , 断把零 散 的体 验 系  不

统化 、 模块 化 、 结构 化. 次 , 其 数学 能力 的一个 主 要  方 面是学 生在 具体 题境 中正 确运 用知识 分 析 问题  解决 问题 的 能力 , 了及 时校 验试 卷讲 评 的质 量 , 为  
及 时巩 固试卷 讲 评 的成 果 , 师需 要 在 试 卷 试 题  教 的基 础上 , 过 相关 主题 的正 变 式 训 练 与负 变 式  通 训练 , 时跟 进 、 化训 练. 过题 组训 练 , 相 关  及 强 通 将 知识 、 质放 在 一 起 , 立 知识 点 联 系 , 成 主 题  性 建 形 式 块状 知 识 , 成 优 化 的 程 序 性 知 识 和 策 略 性  形
知 识.  

馈 —— 适 当的变式 训 练 可 以检 测 讲 评 的 效果 , 通  过 练 , 次让 学生感 悟 、 再 体验 , 成经验 ; 是练 的  形 悟 目的—— 让 学生 在操 作 的基 础 上 , 高对 概 念 的  提
理 解水 平 , 高知 识结 构 的层 次 化水平 . 提   总之 , 一堂好 的试 卷 讲 评课 既 能 帮助 学 生 梳  理 前 一阶段 存在 的知 识 网络 、 清盲 区误 区 , 扫 又能 

高屋 建瓴 地对 前 一 阶段 知识 进 行 归 纳 总结 , 帮助 
学生 提升 知识 网络 建 构 的层 次 , 能 为 下一 阶段  更

如 本节 课结 束时 , 该教 师 为 了巩 固第 1 题 的  4 讲 评效 果 , 就布 置 了如下 的一组 试题 :  
变 式 1 将 原 题 中通 项 公 式 换 成 “  一 一  : 口   是 ” 则实数 是的取值 范 围是  n, .  

的教 学提 供真 实 的依 据 .  
参 考 文献 

变 式 2 已 知 数 列 {  的 通 项 公 式 为 n : a}  一 

l 中 华 人 民共 和 国教 育 部 . 通 高 中 数 学 课 程 标 准 ( 验 ) M]   普 实 [ .  
北 京 : 民教 育 出版 社 ,0 3 4 人 2 0 , 

n 一是 且 该数 列为 递增数 列 ,    , 则实 数 是的取值 范 
围是
.  
— —

2 韩 立 福 主 编. 当代 国 际 教 育 理 论 基 础 导 读 [ . 京 : 都 师  M] 北 首
范 大 学 出版 社 , 0 6 2 0 

变式 3 已 知 数 列 {  的通 项 公 式 为 。   : 口}  =



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