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2013届武汉市高三4月调考题数学试卷(文科)详细解析



武汉市 2013 届高中毕业生四月调研测试 文 科 数 学

2013.4.23 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是矩形},C={x|x 是正方形},D={x|x 是 菱形},则 A.A?B B.C?B C.D?C

D.A?D 答案:B 考点:子集的概念. 分析:正确理解四种特殊四边形的定义及区别 解答:正方形是邻边相等的矩形,矩形是有一个为直角的平行四边形,菱形是四边相等的平 行四边形 故答案为 B. 备注:考点:子集的概念.难度 A. 2.命题“若 a,b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的否命题是 A.若 a,b 都是偶数,则 a+b 不是偶数 B.若 a,b 都不是偶数,则 a+b 不是偶数 C.若 a,b 不都是偶数,则 a+b 不是偶数 D.若 a,b 不都是偶数,则 a+b 是偶数 答案:C 考点:四种命题间的关系. 分析:掌握原命题与否命题间的关系 解答:否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定 则命题“若 a,b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的否命题就是 若 a,b 不都是偶数,则 a+b 不是偶数 故答案为 C. 备注:考点:四种命题间的关系.难度 A. 3.已知{an}是等差数列,a1+a7=-2,a3=2,则{an}的公差 d= A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 答案:C 考点:等差数列的首项,公差与通项. 分析:根据题设条件给出的 a1+a7=-2,a3=2,写出首项 a1,和公差 d 的关系式,联立求 解即可 解答:由 a1+a7=-2 可得 2 a1+6d=-2 由 a3=2 可得 a1+2d=2 联立解得 d=-3 故答案为 C. 备注:考点:等差数列的首项,公差与通项.难度 A.

4.已知向量 a=(-3,2),b=(-1,0),若 λa+b 与 a-2b 垂直,则实数 λ 的值为 1 A.- 7 1 B. 7 1 C.- 6 1 D. 6

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答案:A 考点:向量点乘的坐标表示,向量垂直,模. 分析:根据 λa+b 与 a-2b 垂直,得出一个关系式, (λa+b)(a-2b)=0.然后求解出其中 · 的 λ 即可 解答:由于 λa+b 与 a-2b 垂直,则 (λa+b)(a-2b)=0. · 即 λ a -2 b -2λa b+a b=0
2 2

又 a=(-3,2),b=(-1,0) 1

a = 13 , b =1.代入解得 λ=-7
故答案为 A. 备注:考点:向量点乘的坐标表示,向量垂直.难度 A. 1 2 5 5.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计, 2 0 2 3 3 得到样本的茎叶图(如图所示) ,则该样本的中位 3 1 2 4 4 8 9 数、众数、极差分别是 4 5 5 5 7 7 8 8 9 A.46,45,56 5 0 0 1 1 4 7 9 B.46,45,53 6 1 7 8 C.47,45,56 D.45,47,53 答案:A 考点:中位数、众数、极差的概念. 分析:正确理解茎叶图。根据茎叶图的数据。分析出中位数、众数、极差 解答:中位数:中间位置的一个数,或者中间位置两个数的平均值 众数:出现最多的数 极差:最大的数-最小的数 故答案为 A. 备注:考点:中位数、众数、极差的概念.难度 A. 6.设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”是“函数 g(x)=logax 在(0,+ ∞)上是减函数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 考点:充要条件. 分析:将题设条件转化成两个 a 的取值范围的问题 解答:函数 f(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数,则 a ? 2; 函数 g(x)=logax 在(0,+∞)上是减函数 0 ? a ? 1 故答案为 B. 备注:考点:充要条件.难度 A. 4sin3α-2cosα 7.已知 tanα=2,则 = 5cosα+3sinα 2 A. 5 5 B. 11 3 C. 5 7 D. 11

答案:A 考点:齐次式正切化与 1 代换.
数学(文科)试卷 第 2 页(共 11 页)

分析:根据齐次正切化的思想,分式的分子分母同除 cos ? . 4sin3α-2cosα 4sin 2 ? ? tan ? ? 2 8sin 2 ? ? 2 .= 解答: = 5cosα+3sinα 5 ? 3tan ? 11 又因为 tanα=2. sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 得 sin 2 ? = 2 代入得 5 故答案为 A. 备注:考点:齐次式正切化与 1 代换.难度 B.

4 5

? x ? y ? 3 ? 0, ? 8.若函数 y=2 上存在点(x,y)满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则实数 m 的最大值为 ? x ? m, ?
x

A.

1 2

B.1

3 C. 2

D.2

答案:B 考点:线性规划. 分析:根据约束条件做出图形,再根据题设条件进行转化求解 解答:根据 x ? y ? 3 ? 0 得, y ? ? x ? 3 根据 x ? 2 y ? 3 ? 0 得 y ?

1 3 x? 2 2

结合 y=2x 和 x ? m 作图可以分析出 m ? 1 故答案为 B. 备注:考点:线性规划.难度 B. 9.过抛物线 x2=2py(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 30° 的直线,与抛物线分别交于 A、B 两 |AF| 点(点 A 在 y 轴左侧) ,则 = |FB| 1 A. 3 2 B. 5 1 C. 2 3 D. 5

答案:A 考点:抛物线的定义. 分析:正确理解四种特殊四边形的定义及区别

解答:如图所示,由抛物线定义知 |AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|, 又已知 AB 的倾斜角为 30° ∴|BB1|-|AA1|=

1 1 |AB|= (|AF|+|BF|) , 2 2
1 (|AF|+|BF|) , 2
AF BF

∴|BF|-|AF|=

整理得|BF|=3|AF|,∴

=

1 .故答案为 A. 3

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备注:考点:抛物线的定义.难度 B.

? y , x ? y, ? x? y ? ? 2 10. 定义运算 M: 若函数 y ? f ?x ? ? c ? x, x ? y. 设函数 f ?x? ? x ? 3 ? ?x ? 1? , ?

?

?

的恰有两个公共零点,则实数 c 的取值范围是 A. ?? 3,?2? C. ?? 2,2? B. ?? 3,?2? ? ?3,??? D. ?? 3,?2? ? ?2,???

答案:D 考点:新定义题,分段函数,函数的零点. 分析:正确理解新定义,并将其转化成常规函数题型,再根据零点的概念进行求解

? x ? 1, ( x ? 2), ? 解答:由题 f ?x? ? x ? 3 ? ?x ? 1? = ? ?1 ? x, ( x ? ?1). ? x 2 ? 3, (?1 ? x ? 2) ?

?

2

?

做出函数图像。再根据 y ? f ?x ? ? c 不难分析出 c 的取值范围 ?? 3,?2? ? ?2,??? 故答案为 D. 备注:考点:新定义题,分段函数,函数的零点.难度 C.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 ....... 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.复数 7+i 的共轭复数是 3+4i .

答案:1+i 考点:共轭复数的定义,分母实数化. 分析:先根据分母实数化,算出复数的最简式,再根据共轭复数的定义即得。 解答:

7?i (7 ? i)(3 ? 4i) 25 ? 25i ? ? ? 1? i 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 25 则共轭复数为 1+i .

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故答案为 1+i. 备注:考点:共轭复数的定义,分母实数化.难度 A. y2 x2 12.双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为 16 9



答案:3 考点:点到直线的距离公式,双曲线的性质. 分析:先根据双曲线写出焦点坐标,和渐近线。再根据点到直线的距离公式求解 y2 x2 解答:由 - =1 可得,焦点(0,5)或(0,-5). 16 9 渐近线为 y ? ?

4 x. 3

由点到直线的距离公式可求 d=3 故答案为 3. 备注:考点:点到直线的距离公式,双曲线的性质.难度 A.

13.不等式|x-1|+|x+2|≥5 的解集是 答案: (-?,-3] ? [2,+?)



考点:绝对值不等式的解法. 分析:利用零点分区间,在各个区间内利用 x 的取值范围去绝对值,求解出 x 的范围。 解答:根据题设条件可知 当 x <-2 时, 1 ? x ? x ? 2 ? 5 当 ?2 ? x ? 1 时, 1 ? x ? x ? 2 ? 5 当 x ? 1 时, x ? 1 ? x ? 2 ? 5 解得 x ? ?3或x ? 2 原不等式为故答案为(-∞,-3]∪[2,+∞) . 备注:考点:绝对值不等式的解法.难度 A.

14.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 1 答案: 120 考点:程序框图. 分析: 根据题设程序框图进行循环运算,直到 i=6,得出



T?

1 结束循环. 120

解答:T,i 关系如下图: T i 1 2
1 2 1 6 1 24 1 120

3

4

5

6

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. 1 故答案为 . 120 备注:考点:程序框图.难度 A.

15.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 . 答案:38+2π 考点:三视图,空间几何体的表面积. 分析: 根据三视图分析出组合体是由一个圆柱和一个长方体构成。 算出两个几何体的表面积, 再减去 2 倍的圆柱的下底面积即得 解答:根据三视图可得长方体的长宽高分别为 4,3,1.圆柱的半径为 1,高为 1. 则长方体表面积=2x(4x3+4x1+3x1)=38 圆柱的表面积=2π+2π 所以组合体的表面积=38+2π+2π-2π=38+2π. 故答案为 38+2π. 备注:考点:三视图,空间几何体的表面积.难度 A. 2 1 16.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=- ,满足 Sn+ +2=an(n≥2) .则 3 Sn (Ⅰ)S3= (Ⅱ)Sn= ; .

n+1 4 答案: (Ⅰ)S3=- ; (Ⅱ)Sn=- 5 n+2 考点:当 n ? 2 时, a n =sn -sn-1 . 1 分析:当 n ? 2 时, a n =sn -sn-1 结合 Sn+ +2=an Sn 得出 sn 与 s n-1 的关系 解答:当 n ? 2 时, a n =sn -sn-1 . 1 又 Sn+ +2=an Sn

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1 联立可得 +2= s n-1 Sn 分别代入 n=2,n=3 可求得 S2,S3 即可得解. n+1 4 故答案为(Ⅰ)S3=- ; (Ⅱ)Sn=- 5 n+2 .

备注:考点:当 n ? 2 时, a n =s n -s n-1 .难度 B. 17.已知函数 f ′(x)、g′(x)分别是二次函数 f(x)和三次函数 g(x)的导函数,它们在同一坐标系 内的图象如图所示. (Ⅰ)若 f(1)=1,则 f(-1)= ; (Ⅱ)设函数 h(x)=f(x)-g(x),则 h(-1),h(0),h(1)的 大小关系为 . (用“<”连接) 答案: (Ⅰ)1; (Ⅱ)h(0)<h(1)<h(-1) 考点:偶函数的性质,函数与导数. 分析:先根据题设条件,设出二次函数 f(x)和三次函数 g(x)的 解析式,然后作差得出 h(x)。再求出 h(-1),h(0),h(1) 比较大小即可

y
g ?( x) f ?( x)
1

?1

O 1
?1

x

1 2 1 3 解答:由题可设 f ( x) ? x ? m, g ( x) ? x ? n 2 3 1 2 1 3 x ? x ? m ? n, 则 h(x)= 2 3 5 1 则 h(1) ? ? m ? n, h(0) ? m ? n, h( ?1) ? ? m ? n 6 6
故答案为(Ⅰ)1; (Ⅱ)h(0)<h(1)<h(-1) 备注:考点:偶函数的性质,函数与导数.难度 B.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 acosB-bsinB=c. π (Ⅰ)若 B= ,求 A; 6 (Ⅱ)求 sinA+sinB 的取值范围. 解: (Ⅰ)由已知条件及正弦定理,得 sinAcosB-sin2B=sinC, ∵sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B), ∴sinAcosB-sin2B=sin(A+B), 即 sinAcosB-sin2B=sinAcosB+cosAsinB, ∴cosAsinB=-sin2B, ∵sinB≠0, π 1 ∴cosA=-sinB=-sin =- , 6 2 2π ∵0<A<π,∴A= . 3 (Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 cosA=-sinB, π ∴sinA+sinB=sinA-cosA= 2sin(A- ). 4
数学(文科)试卷 第 7 页(共 11 页)

?????????????6 分

π π 又由 cosA=-sinB=cos( +B),得 A= +B, 2 2 ∵A+B<π, π 3π ∴ <A< , 2 4 π π π ∴ <A- < , 4 4 2 ∴ 2 π <sin(A- )<1, 2 4 ?????????????12 分

π ∴1< 2sin(A- )< 2. 4

故 sinA+sinB 的取值范围为(1, 2). 备注:考点:正弦定理,两角和与差的正弦,三角函数的值域。 难度 A 19. (本小题满分 12 分) 如图, MA ⊥平面 ABCD , 四边形 ABCD 是菱形,且 四边形 ADNM 是平行四边形. (Ⅰ)求证: AC ⊥ BN ; (Ⅱ)当点 E 在 AB 的什么位置时,使得 AN // 平面 MEC ,并加以证明. 解: (Ⅰ)连结 BD ,则 AC ? BD . 由已知 DN ? 平面 ABCD , 因为 DN ? DB ? D , 所以 AC ? 平面 NDB . 又因为 BN ? 平面 NDB , 所以 AC ? BN . ????????6 分 A E B N M

D

C

N (Ⅱ)当 E 为 AB 的中点时,有 AN // 平面 MEC . 设 CM 与 BN 交于 F ,连结 EF . M BCNM 是平行四边形, 由已知可得四边形 F 所以 F 是 BN 的中点, 因为 E 是 AB 的中点, D 所以 AN // EF . 又 EF ? 平面 MEC , A B E AN ? 平面 MEC , 所以 AN // 平面 MEC . ?????????????12 分 备注:考点:异面直线垂直,线面平行。 难度 B

C

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20. (本小题满分 13 分) 某市拟举行一项庆典活动. 新闻媒体对此进行了网上调查, 所有参与调查的人中, 持“支 持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示: 支持 20 岁以下 20 岁以上(含 20 岁) 800 100 保留 450 150 不支持 200 300

(Ⅰ)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从“支持”态度的 人中抽取了 45 人,求 n 的值; (Ⅱ)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人看成一个总体,从这 5 人中任意选取 2 人,求至少有 1 人 20 岁以下的概率. 解: (Ⅰ)由题意得

800 ? 100 800 ? 450 ? 200 ? 100 ? 150 ? 300 ? , 45 n
200 m ? ,解得 m=2. 200 ? 300 5

解得 n=100.?????????????5 分 (Ⅱ)设所选取的人中,有 m 人 20 岁以下,则

即从 20 岁以下抽取 2 人,另一部分抽取 3 人,分别记作 A1,A2;B1,B2,B3, 则从中任取 2 人的所有基本事件为 (A1,B1), 1, B2), 1, B3), 2 ,B1), 2 ,B2), (A (A (A (A (A2 ,B3),(A1, A2),(B1 ,B2),(B2 ,B3),(B1 ,B3)共 10 个. 其中至少有 1 人 20 岁以下的基本事件有 7 个: 1, B1), 1, B2), 1, B3), 2 ,B1), (A (A (A (A (A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2), 所以从中任意抽取 2 人,至少有 1 人 20 岁以下的概率为 备注:考点:分层抽样,列举法解决古典概型问题。 难度 A

7 . 10

???13 分

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f(x)=x2-2x+1+alnx 有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; 1-2ln2 (Ⅱ)证明:f(x2)> . 4 解: (Ⅰ)由题设知,f(x)的定义域为(0,+∞).
2 a 2x -2x+a 求导数,得 f ′(x)=2x-2+ = , x x

∵f(x)有两个极值点 x1,x2, ∴f ′(x)=0 有两个不同的根 x1,x2, 1 故 2x2-2x+a=0 的判别式△=4-8a>0,即 a< , 2 1- 1-2a 1+ 1-2a 且 x1= ,x2= . 2 2 又 x1 ? x2 ? 1, x1 ? x 2 ? 所以 a>0. 1 所以 a 的取值范围为(0, ).?????????????7 分 2 (Ⅱ)? 0 ? x1 ? x2 ,且 x1 ? x2 ? 1, ①

a ? 0, 2

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?

1 ? x 2 ? 1 ,a=2x2-2x2, 2 2

∴f(x2)=x2-2x2+1+(2x2-2x2)lnx2. 2 2 1 令 g(t)=t2-2t+1+(2t-2t2)lnt,其中 <t<1, 2 则 g′(t)=2(1-2t)lnt. 1 当 t∈( ,1)时,g′(t)>0, 2 1 ∴g(t)在( ,1)上是增函数. 2 1 1-2ln2 ∴g(t)>g( )= . 2 4 1-2ln2 故 f(x2)=g(x2)> .?????????????14 分 4 备注:考点:利用函数的性质求参数取值,利用导数证明不等式。 难度 C

22. (本小题满分 14 分) x2 y2 过椭圆 Γ: 2+ 2=1 (a>b>0) 右焦点 F2 的直线交椭圆于 A, 两点, 1 为其左焦点, B F a b 已知△AF1B 的周长为 8,椭圆的离心率为 3 . 2

(Ⅰ)求椭圆 Γ 的方程; (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 Γ 恒有两个交点 P, → → Q,且OP⊥OQ?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.

?4a=8, ? 解: (Ⅰ)由已知,得?c 3 ?a= 2 . ? ?a=2, 解得? ?c= 3.
∴b2=a2-c2=1. x2 故椭圆 Γ 的方程为 +y2=1.?????????????5 分 4 (Ⅱ)假设满足条件的圆存在,其方程为 x2+y2=r2(0<r<1) . 当直线 PQ 的斜率存在时,设其方程为 y=kx+t,

?y=kx+t, ? 由?x2 2 ? ? 4 +y =1.
消去 y 并整理,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 4t2-4 8kt x1+x2=- ,x1x2= . 1+4k2 1+4k2 ①

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→ → ∵OP⊥OQ, ∴x1x2+y1y2=0, 又 y1=kx1+t,y2=kx2+t, ∴x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0, 即(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0. 将①代入②,得 (1+k2)(4t2-4) 8k2t2 - +t2=0, 1+4k2 1+4k2 4 即 t2= (1+k2). 5 ∵直线 PQ 与圆 x2+y2=r2 相切, ∴r= = 1+k2 |t| 4 (1+k2) 5 2 5 2 = 5 ∈(0,1), 1+k



4 ∴存在圆 x2+y2= 满足条件. 5 4 2 当直线 PQ 的斜率不存在时,易得 x1=x2= , 2 5 4 → → 2 代入椭圆 Γ 的方程,得 y1=y2= ,显然OP⊥OQ. 2 5 4 综上所述,存在圆心在原点的圆 x2+y2= 满足条件.????????14 分 5 备注:考点:椭圆的标准方程,直线与椭圆相交,直线与圆相切。 难度 C

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