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浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试(四)数学理试题 Word版含答案


温岭中学 2013 届高三高考提优冲刺考试(四)数学理试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2.每小题选出后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)= C k pk(1-p)n-k(k=0,1,2,?,n) n 台体的体积公式 1 V= h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3 其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

柱体的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式 1 V ? Sh 3 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式 S=4π R2 球的体积公式 4 3 V ? πR 3 其中 R 表示球的半径

选择题部分(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.集合 A ? {x | x 2 ? 2 x ? 0} , B ? {x | y ? lg(1 ? x)} ,则 A ? (?R B) 等于 A. {x |1 ? x ? 2} B. {x |1 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | 0 ? x ? 1}

2.设 i 为虚数单位,复数 A. 2 B. 1

1? i 为纯虚数,则实数 b 等于 2 ? bi
C. ?1 D. ?2

3.已知 ? , ? 是两个不同的平面, m, n 是两条不同的直线,则下列命题不正确的是 ... A.若 ? ∥ ? , m ? ? ,则 m ∥ ? C.若 m ∥? , n ∥ ? 且 ? ? ? ,则 m ? n B.若 m ? ? , n ? ? , n ? ? ,则 m ? ? D.若 ? ∥ ? , m ? ? , n ∥ ? ,则 m ? n

? ? ? 4.若将函数 y ? sin(? x ? ) (? ? 0) 的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y ? sin(? x ? ) 4 4 3
的图象重合,则 ? 的最小值为 A. 1 B. 2 C.
1 12

D.

23 3

5.已知某三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球体积为

A.

32 ? 3

B. D.

8 2 ? 3 2 ? 3

4 C. ? 3

6.设 f (x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,有 f ( x ) ? ?

?log 1 ( x ? 1), x ? [0,1) ?
2

?1? | x ? 3 |, x ? [1,??). ?

,则关于 x 的函数

1 F ( x) ? f ( x) ? 的所有零点之和为 2

A. 2 ? 1

B.

2 ?1 2

C. 1 ?

2 2

D. 1 ? 2

7.为迎接新年, 帮助离退休教师打扫卫生, 校团委招募了 20 名志愿者, 他们的编号分别是 1 号,2 号,? ,
19 号, 20 号.若要从这些志愿者中任意挑选 4 人再按编号大小分成两组去做一些准备工作,其中两个编

号较小的人在一组,另两个编号较大的人在另一组,那么确保 5 号与 14 号入选并被分配到同一组的选法种 数为 A. 16 B. 21 C. 24 D. 90

8.在等差数列 {an } 中,若 A. 1

a11 ? ?1 ,且它的前 n 项和 Sn 有最大值,那么当 Sn 取最小正值时, n ? a10

B. 10

C. 19

D. 20

? 4 x ? 3 y ? 12 ? 0, ? ( t ? 0) ;命题 q :实数 x,y 满足 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 25( x, y ? R) , 9.设命题 p :实数 x,y 满足 ? x ? t ? 0, ? x ? 3 y ? 12, ?

若 p 是 q 的充分不必要条件,则 t 的取值范围是为

A. (0,3]

B. (0,5]

C. (0, 6]

D. (1, 6]

10.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F ,点 A 是两曲线的一个交 a 2 b2

点,且 AF ? x 轴,若 l 为双曲线的一条渐近线,则 l 的倾斜角所在的区间可能是 A. (0, ) 6

?

B. ( , ) 6 4

? ?

C. ( , ) 4 3

? ?

D. ( , ) 3 2

? ?

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.二项式 (2 x ?
1 x )6 展开式中含 x2 项的系数为



12.若直线 ax ? by ? 2 ? 0 (a ? 0, b ? 0) 和函数 y ? logc (x ? 2) ? 2 (c ? 0 且 c ? 1) 的图象恒过同一个定点,则
1 1 ? 的最小值为 a b

. .

13.执行如下图的程序框图,那么输出 S 的值是
开始
S ? 2, k ? 0

k ? 2013

否 输出 S 结束

1 3 9 ? 5 7 11 13 15 17


1 S? 1? S

19 21 23 25 27 29 31

k ? k ?1

(15 题图) (13 题图)

?? ??? ??? ? ? ? ? 14.在 ?ABC 中, D 是 BC 边上一点, BD ? 3DC ,若 P 是 AD 边上一动点,且 AD ? 2 ,则 PA ?PB ? 3 ) ( PC
的最小值为 . . .

15.将正奇数按上图所示的规律排列,则第 21 行从左向右的第 5 个数为

a ?1 1 1 16.已知数列 {an } ,{bn } 满足:a1 ? 2 ,an ?1 ? (an ? ) ,bn ? n ,则数列 {bn } 的通项公式为 2 an an ? 1

17.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , F1 , F2 为其左、右焦点, Q 为椭圆 C 上任意一点, ?F1QF2 的重 a 2 b2


心为 G ,内心为 I ,直线 IG 与 x 轴平行,则椭圆 C 的离心率是

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 2 3sin 2 (? x ? ) ? 2cos2 ? x(? ? 0) 在区间 [? , ? ] 上既有最大值也有最 4 小值,且 ? ? ? 的最小值为

?

? . 2

(1)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (2)若 ?ABC 的面积为 圆的半径.

3 , a , b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 f (C) ? 3 ? 3 , c ? 1 ,试求 ?ABC 的内切 2

19. (本题满分 14 分)一箱子中有若干个大小形状完全相同的球,球的颜色有四种,分别是红色、黄色、 蓝色、白色.从中任意摸出一个球,记录下颜色后放回,这样的一个过程称为摸一次球.现在已知摸一次 2 2 球摸到的是红球的概率为 .连续摸三次球,红、黄、蓝三种颜色的球都被摸到的概率为 ,红、黄、 5 15 1 蓝三种颜色的球都没有被摸到的概率为 ,且黄球被摸到的概率大于蓝球被摸到的概率. 10 (1)求摸一次球时,摸到的球是黄球和蓝球的概率; (2)连续摸三次球,摸出的球的颜色是红、黄、蓝色球的总的个数记为 X ,求 X 的分布列及其数学期望.

20. (本题满分 14 分)已知四棱锥 P ? ABCD 底面 ABCD 是直角梯形, AB ? AD ,且 AD 与 BC 平行, AD ? 2 AB ? 2 BC ? 2 , ?PAD 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形,且二面角 P ? AD ? C 为直二面角. (1)求证: PD ? 平面 PAB ; (2)求平面 PAC 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值.

21. (本题满分 15 分)已知椭圆 的面积为 4 3 . (1)求椭圆的方程; (2)过点 (m , 0) (m ?
2

6 x2 y 2 ,连接椭圆的四个顶点得到的四边形 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b

6 ) 且斜率为 ?

3 的直线 l 交椭圆于 C , D 两点, F 为椭圆的右焦点,如 果 3

CD ? 4 FC ? FD,求 ?CFD 的大小.

22. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? kx ? k , k ? R . (1)讨论函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) 的图象交点的个数; (2)若 f ( x) ? g ( x) 在 x ? (0, ??) 上恒成立,令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,对于任意的 0 ? a ? b ,证明:

F (b) ? F ( a ) 1 ? 》 b?a a (1 ? a )

数学(理科)测试卷(四)答案
1.A.提示:因为 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | x ? 1} , ?R B ? {x | x ? 1} ,故 A ? (?R B) ? {x | 1 ? x ? 2} . 2.D.提示:由于
1? i (1 ? i )(2 ? bi) (2 ? b) ? (2 ? b)i ? ? 2 ? bi (2 ? bi )(2 ? bi) 4 ? b2

为纯虚数,所以 2 ? b ? 0 ,故 b ? ?2 .

3.C.提示:依次判断各选项,选项 C 中的 m, n 可能平行、相交、异面.

5.C.提示:该几何体是一个底面为直角三角形,顶点在底面的射影为斜边中点 的三棱锥,此几何体的外 接球半径为 1 ,故外接球体积为 4 ? .
3

6.D.提示:根据分段函数的解析式和奇函数的对称性作出函数 f (x) 在 R 上的图 象和 y ? 1 的图象如下图,
2

由图象可知函数 F ( x) ? f ( x) ? 1 共有 5 个零点,其中最左边两个零点 x1 ? x2 ? ?6 ,最
2

右边两个零点 x4 ? x5
? 6 ,中间一个零点 x3 是方程 log2 (1 ? x) ?

1 的根,解得 x3 ? 1 ? 2 ,故所有零点之和为 2

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5
?1? 2 .

7.B.提示:对“ 5 号与 14 号入选并被分配到同一组”是属于编号较小的一组还

是编号较大的一组进行分 类:第一类,“ 5 号与 14 号入选并被分配到同一组”是属于编号较小的一组, 则另一组的两人只能从编 号为 15 到 20 的这 6 个人中若任选 2 人组成一组,相应的选法共有 C62 ? 15 种,第 二类,“ 5 号与 14 号入 选并被分配到同一组”是属于编号较大的一组,则另一组的两人只能从编号 为 1 到 4 的这 4 个人中若任选 2 人组成一组,相应的选法共有 C42 ? 6 种.由加法原理可得,满足题意的选法 共有 21 种. 8.C. 提示: 设等差数列的公差为 d , 显然 d ? 0 , 由 故 S20
? 20(a1 ? a20 ) 19(a1 ? a19 ) ? 10(a10 ? a11 ) ? 0 , S19 ? ? 19a10 ? 0 ,因 a10 ? a11 ? 0 ,得 2a1 ? 19d ? 0 , 2 2
a11 ? ?1 知 a10 ? 0, a11 ? 0 , a1 1? a ? 0 , 且0 1 a10


S19 ? S1 ? 19a1 ? 19 ?18 d ? a1 ? 9(2a1 ? 19d ) ? 0 ,所以 n ? 19 . 2

9.C. 提示: 由题意得,p 所表示的区域在 q 所表示的区域的内部, 数形结合可知, 只需满足条件: t ? 0 且
?t ? 0, 4 点 (t , 4 ? t ) 在 q 所表示的区域的内部,即 ? ,解得 0 ? t ? 6 . 16 ? 2 2 3 ? (t ? 3) ? 9 (3 ? t ) ? 25, ?

10.D.提示:由于抛物线与双曲线有相同的焦点 F ,所以 p ? c ,又因为 AF ? x 轴,
2

设 A(c, 2c) ,代入 x2 ? y2
a b
k?

2

2

? 1 消去 c 得 4a2 (a2 ? b2 ) ? b4 ,两边同除以 a 4 ,得

b ? 2 ? 2 2 ? 3 ,则 l 的倾斜角所在的 a 3 2

区间可能是 (? , ? ) .

11. ?192 .提示:因为 Tr ?1 ? C6r (2 求系数为
1 ?25 C6 ? ?192 .

x )6 ? r (?

1 x

) r ? (?1) r 26 ? r C6r x 3? r ,令 3 ? r ? 2 ,则 r ? 1 ,故所

12. 3 ?
2

2 .提示:因为函数 y ? logc ( x ? 2) ? 2 (c ? 0 且 c ? 1) 的图象恒过一个定点 (?1, 2) ,

所以 ?a ? 2b ? 2 ? 0 , 即 1 a ? b ? 1,又因为 a ? 0, b ? 0 ,所以 1 ? 1 ? ( 1 a ? b)( 1 ? 1 ) ?
2

a

b

2

a

b

3 b a 3 ? ? ? ? 2 ,当且仅 2 a 2b 2

当a ?

2b

时,取等号.
k k S 13. 2 .提示: 经过多次循环, 发现 S ? 2 时, ? 0,3, 6,9,?, 2010 ; ? ?1 时, ? 1, 4,5,?, 2011 ;

S?

1 时, 2
k ? 2,5,8,? , 2012 ,当 S ? 2 时, k ? 2013 ,不满足条件,终止循环,输出 S ? 2 .

14. ?4 .提示:由于 PA?(PB ? 3PC) ? PA? PB ? 3(PD ? DC)] ? PA? PB ? 3DC) ? 3PD] ,因为 [ [(
BD ? 3DC ,

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ???? ?

??? ??? ? ?

????

??? ?

所以 PB ? 3DC ? PB ? BD ? PD ,故 PA?(PB ? 3PC) ? 4PA?PD ,令 | PA |? t ,则 PA?(PB ? 3PC)
? 4 ? t ? (2 ? t ) ? cos180? ? 4[(t ? 1)2 ? 1] ? ?4 .

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

15. 809 .提示: 20 行共有正奇数 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 39 ? 400 个, 前 则第 21 行从左向右的第 5 个 数是第 405 个 正奇数,所以这个正奇数是 2 ? 405 ? 1 ? 809 . 16. 32 .提示:因为 bn +1
n?1

1 1 (an ? ) ? 1 a ?1 2 an (a ? 1)2 ? n +1 = = n ? bn 2 ,所以 lg bn +1 ? 2lg bn ,又因为 an +1 ? 1 1 (a ? 1 ) ? 1 (an ? 1)2 n 2 an

bn ?

an ? 1 ? 1, an ? 1

所以 lg bn ? 0 ,故 故 lg bn =lg3 ? 2n?1 , 所以 bn ? 32 .
n?1

lg bn +1 ? 2 .故数列 {bn } 是以 lg 3 为首项,以 2 为公比的等比数列, lg bn

17. 1 .提示:设 Q( x0 , y0 ) ,由 G 是 ?F1QF2 的重心, IG 与 x 轴平行,得 G 和 I 的纵坐
2

标均为 1 | y0 | ,故 ?F1QF2
3

的 内 切 圆 半 径 为 r ? 1 | y0 | , 所 以 S?F QF
3
1

2

?

1 1 , | F1F2 | ? | y0 | ? ( |Q F |? |Q F |? F F | )r 即 1 2 1 2 2 2

1 ? 2c? | y0 | 2 1 1 c 1 ? ? (2a ? 2c) ? ( | y0 |) ,所以 a ? 2c 故 e ? ? . a 2 2 3

19.解:(Ⅰ)摸一次球时,摸到的球分别是黄球和蓝球的概率分别为 x, y ,依题意
2 ?2 ? 5 xy ? 15 得: ? ? ? 3 (1 ? x)(1 ? y ) ? 1 ?5 10 ? 2 ? ?x ? 3 ? 因为 x ? y ,解得 ? ,所以摸到的球分别是黄球和蓝球的概率分别为 2 和 1 . 3 2 ?y ? 1 ? 2 ?

(Ⅱ)依题意 X

1 ; P( X ? 3) ? 2 ; 10 15 2 2 1 2 2 1 2 2 1 11 P( X ? 1) ? (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ; 5 3 2 5 3 2 5 3 2 30 12 2 P( X ? 2) ? 1 ? [ P( x ? 0) ? P( x ? 1) ? P( x ? 3)] ? ? 30 5
? 0,1, 2,3 ,因为 P( X ? 0) ?

故所求 X 的分布列为: X 0 1 2 3
2 2 5 15 1 11 所以 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 37 . 10 30 5 15 30

P

P

1 10

11 30

N

Q

O

A B
C

D

20.解:(Ⅰ)由 AB ? AD ,且 P ? AD ? C 为直二面 角, M 所以 AB ? 平面 PAD ,又 PD ? 平面 PAD , 所以 AB ? PD ,而 PD ? PA , 因此 PD 与平面 PAB 内的两条相交直线垂直, 从而 PD ? 平面 PAB . (Ⅱ)延长 DC 与 AB 交于点 M ,则由题意知, B, C 分别为 AM 与 DM 的中点,且平 面 PCD ? 平面 由 知 且 所以平面 PDM ? 平面 PAB , PAB ? PM , (1) PD ? 平面 PAB , PD ? 平面 PDM , 过 A作 则 过点 N 作 NQ ? PC 交 PC 于 Q , 连接 AQ , PC ? 则 PM 的垂线 AN , AN ? 平面 PMD , 平面 ANQ , 所以 ?AQN 为平面 PAC 与平面 PCD 所成锐二面角的平面角. 由(Ⅰ)知 PAM 为直角 三角形,从而由
PA ? 2, AM ? 2 得 PM ? 6 ,所以在直角三角形 PAM 中, AN ?
6 2 3 ,且 PN ? 3 3

,过

点P作
PO ? AD 交 AD 于 O

点,则 O 为 AD 的中点,连接 OC ,则 OC ? 1 ,由 P ? AD ? C 为直

二面角知 PO ? 平面 ABCD , 因为 BC 与 AO 平行且相等, 所以 OC 与 AB 平行且相等, PO ? OC ? 1 , 即 所以 PC ? 2 , 又 MC ? CD ? 此在 Rt ?ANQ
1 ,所以平面 3 1 PAC 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为 . 3
NQ ?2 2

2 , PM ? 6 ,因此可得 ?MPC ? 30? ,所以在 Rt ?PNQ 中, NQ ?

6 ,因 6

中, tan ?AQN ? AN

,即 cos ?AQN

?

z

P

方法二: (Ⅰ)过点 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O 点, O 为 AD 则
O

A B
x
C

D

y

的中点, 连接 OC ,则 OC ? 1 ,由 P ? AD ? C 为直二面角知 PO ? 平面 ABCD ,因为 BC 与 AO 平行且相等,所以 OC 与 AB 平行且相等, ??? ???? ??? ? ? 即 PO ? OC ? 1 ,所以,以 O 为原点, OC, OD, OP 的方向分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 由 AD ? 2 AB ? 2 BC ? 2 可得 A(0, ?1,0), B(1, ?1,0), C (1,0,0), D(0,1,0), P(0,0,1) , ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 AB ? (1,0,0), AP ? (0,1,1) , PD ? (0,1, ?1) ,因此 AB ? PD ? 0 , ??? ??? ? ? AP ? PD ? 0 ,由于 AB, AP 为平面 ABP 内的两相交直线, 所以 PD ? 平面 PAB . ??? ? ??? ? ?? CP ? (?1,0,1), CD ? (?1,1,0) ,设平面 ABP 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 x ? 0 , y ? z ? 0 ,所 以可取 ?? ?? ? n1 ? (0, ?1,1) ,设平面 PCD 的法向量为 n2 ? (a, b, c) ,则 ?a ? c ? 0, ?a ? b ? 0 ,所以可取 ?? ? n2 ? (1,1,1), ?? ?? ? 由 n1 ? n2 ? 0 得平面 PAB ? 平面 PCD . ??? ? ???? ?? (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, CP ? ( ?1, 0,1),CD ? (? 1,1, 0) ,设平面 PCD 的法向量为 n1 ? ( a, b, c) ,则 ?a ? c ? 0 , ?? ??? ? ??? ? ?a ? b ? 0 ,所以可取 n1 ? (1,1,1) ,又由(1)知 AC ? (1,1, 0), AP ? (0,1,1),设平面 PAC 的 法向量为 ?? ? ?? ? ?? ?? ? n2 ? ( x, y, z) ,则 x ? y ? 0 , y ? z ? 0 ,所以可取 n2 ? (1, ?1,1) ,设向量 n1 与 n2 的夹角为 ? , 则由
?? ?? ?? ?? ? ? n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? cos ? 得 1 ? 3 ? 3 cos? , 所以 cos? ? 1 , 即平面 PAC 与平面 PCD 所成锐二 3

面角的 余弦值为 1 .
3

21.解:(Ⅰ)因为 e ? c ?
a

1?

b2 6 ? ,所以 a ? 3b ,又连接椭圆的四个顶点得到的四 2 a 3

边形的面积为 4 所以 2ab ? 4

3,

3 ,即 ab ? 2 3 ,所以 a 2 ? 6, b2 ? 2 ,因此椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 6 2

22.解:(Ⅰ)令 h( x) ? 象与函数 g ( x) 的 增函数,因为

f ( x) ? g ( x) ? ln x ? kx ? k ,则函数 h( x) 的零点个数就是函数 f ( x) 的图

图象的交点个数.因为 h?( x) ? 1 ? kx ,当 k ? 0 时, h?( x) ? 0 ,函数 h( x) 在 (0, ??) 上为
x
1 k (k ? ) x 个;当 k ? 0 时, h?( x) ? x

h(1) ? 0 ,所以此时函数 h( x) 在 (0, ??) 的零点有

1



因此当 0 ? x ? 1 时
k
h?( x) ? 0 ,当 x ?

1 时, h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, 1 ) 上为增函数,在 ( 1 , ??) 上为减函 k k k

数,从而
1 l 1 令 ( n h( x)max ? h( ) ? ? ln k ? 1 ? k , mx) ?? x ?x ? k

, m?( x) ? x ? 1 , 0 ? x ? 1 时,m?( x) ? 0 ; 则 当
x
k h , ? 1 时, ( x)

当 x ?1
m 时, ?( x) ? 0 , 因此 m( x)
k ?0
min

? m(1) ? 0 , hx xam h( ) n? 1 ? ? 0 即 () ? 1l ? k k? k

max

?0,

且 k ? 1 时,h( x) k ? 1 时,函数 h( x)

max

?0, 因此当 k ? 1 时, 函数 h( x) 在 (0, ??) 的零点有

1 个; k ? 0 且 当

在 (0, ??) 的零点有 2 个. 综上,当 k ? 0 或 k ? 1 时,函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) 的图象的交点个数有 1 个;当 k ? 0 且 k ? 1 时,函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) 的图象的交点个数有 2 个. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 k ? 0 时, f ( x) ? g ( x) 在 x ? (0, ??) 上不恒成立; 当 k ? 0 时,要使得 f ( x) ? g ( x) 在 x ? (0, ??) 上恒成立,只需 h( x) ? ? ln k ? 1 ? k ? 0 ,但 由(Ⅰ)知 h( x) ? ? ln k ? 1 ? k ? 0 恒成立,所以 ? ln k ? 1 ? k ? 0 ,即 k ? 1 . 所以 F ( x) ? ln x ? x ? 1 ,且 x ? (0, ??) 时, ln x ? x ? 1 .
max max

F ? b ? ? F ? a ? ln t ? a ? t ? 1? ln t ? ? ?1 b?a a ? t ? 1? a ? t ? 1? ln t ln t 1 ? 1 ,得 因为 ln x ? x ? 1 ? 0 ,可得 ln t ? t ? 1 , ? , t ?1 a ? t ? 1? a

因为 0 ? a ? b ,不妨令 b ? at ?t ? 1? ,则

所以

F ?b? ? F ? a ? 1 1? a 1? a 1 ? ?1 ? ,当 a ? 1 时, ;当 0 ? a ? 1 时, ?0? b?a a a a a ?1 ? a ?

1 ? a 2 ? 1, 1? a 1 即 ;所以有 F (b) ? F (a) ? 1 . ? b?a a (1 ? a ) a a ?1 ? a ?


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