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高中数学竞赛平面几何讲座(非常详细)



第一讲

注意添加平行线证题

在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非 常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能 使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁

内角互补. 利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例 1 、设 P、Q 为线段 BC 上两点,且 BP=CQ,A 为 BC 外一动点(如图 1).当点 A 运动到 A D 使 ∠BAP=∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形?试证明你的结论. 答: 当点 A 运动到使∠BAP=∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明:如图 1,分别过点 P、B 作 AC、AQ 的平行线得交点 D.连结 DA. 在△DBP=∠AQC 中,显然∠DBP=∠AQC,∠DPB=∠C. 由 BP=CQ,可知△DBP≌△AQC.有 DP=AC,∠BDP=∠QAC. 于是,DA∥BP,∠BAP=∠BDP.则 A、D、B、P 四点共圆,且四边形 ADBP 为等腰梯形. 故 AB=DP.所以 AB=AC. 这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠BDP 的位置.由于 A、D、B、P 四点共圆, 使证明很顺畅. 例 2、如图 2,四边形 ABCD 为平行四边形,∠BAF=∠BCE.求证:∠EBA=∠ADE. 证明:如图 2,分别过点 A、B 作 ED、EC 的平行线,得交点 P,连 PE. 由 AB ∥ = CD,易知△PBA≌△ECD.有 PA=ED,PB=EC. 显然,四边形 PBCE、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE=∠BPE,∠APE=∠ADE.由∠BAF=∠BCE,可知
P E A B G F D C
B P 图1 Q C

图2 ∠BAF=∠BPE.有 P、B、A、E 四点共圆.于是,∠EBA=∠APE.所以,∠EBA =∠ADE.

这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过 P、B、A、E 四点共圆,紧密联 系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2、欲“送”线段到当处 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添 加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题. 例 3、在△ABC 中,BD、CE 为角平分线,P 为 ED 上任意一点.过 P 分别作 AC、AB、BC 的垂线,M、N、Q 为垂足.求证:PM+PN=PQ. 证明:如图 3,过点 P 作 AB 的平行线交 BD 于 F,过点 F 作 BC 的 平行线分别交 PQ、AC 于 K、G,连 PG. 由 BD 平行∠ABC,可知点 F 到 AB、BC
B E F A N P K Q 图3 M D G C

1

两边距离相等.有 KQ=PN. 显然,

EP EF CG = = ,可知 PG∥EC. PD FD GD

由 CE 平分∠BCA,知 GP 平分∠FGA.有 PK=PM.于是,PM+PN=PK+KQ=PQ. 这里,通过添加平行线,将 PQ“掐开”成两段,证得 PM=PK,就有 PM+PN=PQ.证 法非常简捷. 3 、为了线段比的转化 由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中, 可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例 4 设 M1、M2 是△ABC 的 BC 边上的点,且 BM1=CM2.任作一直线分别交 AB、AC、AM1、AM2 于 P、Q、N1、N2.试证:

AM 2 AC AM1 AB + = + . AP AQ AN1 AN2
P N1

A

证明:如图 4,若 PQ∥BC,易证结论成立. 若 PQ 与 BC 不平行, 设 PQ 交直线 BC 于 D.过点 A 作 PQ 的平行线交直线 BC 于 E. 由 BM1=CM2,可知 BE+CE=M1E+M2E, 易知 则
B

Q N2 M1 M2 C D 图4

E

M E AM 2 M E AB BE AC CE AM1 = , = , = 1 , = 2 . AP DE AQ DE AN1 DE AN2 DE

AM1 AM 2 M E ? M2E AC BE ? CE AB + = = 1 = + . AP DE DE AQ AN1 AN2 AM 2 AC AM1 AB + = + . AP AQ AN1 AN2

所以,

这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为 DE,于 是问题迎刃而解. 例 5、 AD 是△ABC 的高线,K 为 AD 上一点,BK 交 AC 于 E,CK 交 AB 于 F.求证: ∠FDA=∠EDA. 证明:如图 5,过点 A 作 BC 的平行线,分别交直线 DE、DF、 BE、CF 于 Q、P、N、M.
M P F A K Q E N

BD KD DC 显然, = = .有 BD·AM=DC·AN. AN KA AM BD · AM AP AF AM 由 = = ,有 AP= . BD FB BC BC AQ AE AN DC · AN 由 = = ,有 AQ= . EC BC BC DC
对比(1)、(2)、(3)有 AP=AQ.

(1) (2) (3)
B D 图5 C

显然 AD 为 PQ 的中垂线,故 AD 平分∠PDQ.所以,∠FDA=∠EDA. 这里,原题并未涉及线段比,添加 BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比 例式,就使 AP 与 AQ 的相等关系显现出来. 4、为了线段相等的传递
2

当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段 相等的关系传递开去. 例6 在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,点 M 在 AB 边上,点 N 在 AC 边上,并且 ∠MDN=90°.如果 BM2+CN2=DM2+DN2,求证:AD2= 证明:如图 6,过点 B 作 AC 的平行线交 ND 延长线于 E.连 ME. 由 BD=DC,可知 ED=DN.有△BED≌△CND. 于是,BE=NC . B 显然,MD 为 EN 的中垂线.有 EM=MN.
E

1 (AB2+AC2). 4
M D

A N C

图6 由 BM2+BE2=BM2+NC2=MD2+DN2=MN2=EM2,可知△BEM 为直角三角

形,∠MBE=90°.有∠ABC+∠ACB =∠ABC+∠EBC=90°.于是,∠BAC=90°.

1 ?1 ? 所以,AD = ? BC ? = (AB2+AC2). 4 ?2 ?
2

2

这里,添加 AC 的平行线,将 BC 的以 D 为中点的性质传递给 EN,使解题找到出路. 例 7、如图 7,AB 为半圆直径,D 为 AB 上一点,分别在半圆上取点 E、F,使 EA=DA,FB= DB.过 D 作 AB 的垂线,交半圆于 C.求证:CD 平分 EF. 证明:如图 7,分别过点 E、F 作 AB 的垂线,G、H 为垂足,连 FA、EB. 易知 DB2=FB2=AB·HB,AD2=AE2=AG·AB.
2 2

C E

F

A

二式相减,得 DB -AD =AB·(HB-AG),或 (DB-AD)·AB=AB·(HB -AG). 图7 于是,DB-AD=HB-AG,或 DB-HB=AD-AG. 就是 DH=GD.显然,EG∥CD∥FH.故 CD 平分 EF. 这里,为证明 CD 平分 EF,想到可先证 CD 平分 GH.为此添加 CD 的两条平行线 EG、 FH,从而得到 G、H 两点.证明很精彩. 经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该 直线的平行直线上截得的线段也相等. 如图 8,三直线 AB、AN、AC 构成一组直线束,DE 是与 BC 平 行的直线.于是,有

G

D O H

B

ME ME DM AM DM BN DM = = ,即 = 或 = . BN AN BN ME NC NC NC 此式表明,DM=ME 的充要条件是 BN=NC.
利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例8 如图 9,ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点 E、F,对角线 BD∥EF,AC 的延长线交 EF 于 G.求证:EG=GF.

A D M B N 图8 C E

A

证明:如图 9,过 C 作 EF 的平行线分别交 AE、AF 于 M、N.由 BD∥EF, 可知 MN∥BD.易知 S△BEF=S△DEF.有 S△BEC=S△ⅡKG- *5ⅡDFC. 可得 MC=CN. 所以,EG=GF. 例9
E M B C F G BC 图9 、CA、AB D N

如图 10,⊙O 是△ABC 的边 BC 外的旁切圆,D、E、F 分别为⊙O 与
3

的切点.若 OD 与 EF 相交于 K,求证:AK 平分 BC. 证明:如图 10,过点 K 作 BC 的行平线分别交直线 AB、AC 于 Q、P 两点,连 OP、OQ、OE、OF. 由 OD⊥BC,可知 OK⊥PQ. 由 OF⊥AB,可知 O、K、F、Q 四点共圆,有∠FOQ=∠FKQ. 由 OE⊥AC,可知 O、K、P、E 四点共圆.有∠EOP=∠EKP.
Q F B K O

A C P E

图10

显然,∠FKQ=∠EKP,可知∠FOQ=∠EOP.由 OF=OE,可知 Rt△OFQ≌Rt△OEP. 则 OQ=OP.于是,OK 为 PQ 的中垂线,故 QK=KP.所以,AK 平分 BC. 综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时