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1.3.3函数的最大(小)值与导数



函数的最大(小) 值与导数

一、复习旧知 一、函数单调性与导数关系
设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导,
f(x)为增函数 f(x)为减函数 y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x)

f '(x)<0

o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x)为常数.

二、函数的极值定义 一、复习旧知
y y

使函数取得极值的 点x0称为极值点

o

x0

x

o

x0

x

设函数f(x)在点x0附近有定义, ?如果对X0附近的所有点,都有f(x)<f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f(x0); ?如果对X0附近的所有点,都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值= f(x0); ◆函数的极大值与极小值统称 为极值.

求函数极值(极大值,极小值)的一般步骤: (1)确定函数的定义域

(2)求方程f’(x)=0的根
(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成 若干个开区间,并列成表格 (4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断 f(x)在这个根处取极值的情况

求定义域—求导—求极值点—列表—求极值

新课引入
极值是一个局部概念,极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并 不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益, 常常遇到如何能使用料最省、产量最高,效益最 大等问题,这些问题的解决常常可转化为求一个 函数的最大值和最小值问题
函数在什么条件下一定有最大、最小值?他们 与函数极值关系如何?

二、新课引入
观察右边一个定义在 区间[a,b]上的函数 y=f(x)的图象:
a x1 o

y

y=f(x)

X2

X3

b

x

f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值,_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ,最小值 大值,在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 是_______
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下,怎 样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?

二、新课引入

求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤: (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值);
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个最小值.

注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一
2.最大值一定比最小值大.

题型:求函数的最大值和最小值 例1:求函数f ( x) ? 6 ?12x ? x3在??3,上的最大值与最小值 3? .
解:f ' ? x ? ? 12 ? 3x2
'

x ???3,3?
1、求出所有导数为0的点;

令f ? x ? ? 0, 解得:x ? 2或x ? ?2
又f (2) ? 22,f (?2) ? ?10,f (3) ? 15, f (?3) ? ?3

?函数f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3在? ?3, 3? 上的 最大值为22,最小值为 ? 10.

2、计算;

3、比较确定最值。

※典型例题
例题2:已知函数f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 2 ? a在 ? ?2, 2? 上有最小值 ? 37

?1? 求实数a的值;
2

2? 上的最大值。 ? 2 ? 求f ( x)在? ?2,

解:(1 )f ?( x) ? 6x ?12x
又f (?2) ? ?40 ? a,

令f ?( x) ? 0解得x ? 0或x ? 2
f (0) ? a, f (2) ? ?8 ? a

由已知得 ? 40 ? a ? ?37解得a ? 3

(2)由 (1)知f ( x)在??2, 2?的最大值为3.
反思:本题属于逆向探究题型: 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大 小上,从而解决问题,往往伴随有分类讨论。

补充练习: 1.下列说法正确的是( ) (A)函数的极大值就是函数的最大值 (B)函数的极小值就是函数的最小值 (C)函数的最值一定是极值 (D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值. 2.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f ?( x ) ( ) (A)等于 0 (B)大于 0 (C)小于 0 (D)以上都有可能

D

A

3.函数y=x3-3x2,在[-2,4]上的最大值为( (A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20

C)

小结:
求函数最值的一般方法

一.是利用函数性质
二.是利用不等式 三.是利用导数



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