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第二章 导数与微分练习题及习题详细解答


第二章 导数与微分
练习题及习题详细解答 练习题及习题详细解答
练习题 2.1
1.已知质点作直线运动的方程为 s = t + 3 ,求该质点在 t = 5 时的瞬时速度.
2

解 由引例 2.1 可知,质点在任意时刻的瞬时速度 v = 2.求曲线 y = cos x 在点 ( ,

ds = 2t .代入 t = 5 ,得 v = 10 . dt

π 3 ) 处的切线方程和法线方程. 6 2 π 3 ) 点切线的斜率 6 2

解 由导数的几何意义知,曲线 y = cos x 在 ( ,

1 k = (cos x)′ x = π = (? sin x) x = π = ? , 2 6 6
所以,切线方程为 y ?

3 1 π = ? ( x ? ) ,即 6 x + 12 y ? 6 3 ? π=0 . 2 2 6

法线方程为 y ?

3 π = 2( x ? ) ,即 12 x ? 6 y + 3 3 ? 2π=0 . 2 6

? 2, x≤0 ? 3.讨论函数 f ( x ) = ?3 x + 1, 0 < x ≤ 1 在 x = 0 和 x = 1 处的连续性与可导性. ? 3 ? x + 3, x > 1
解 在 x = 0 处, lim f ( x ) = lim 2 = 2 , lim f ( x ) = lim (3 x + 1) = 1 , ? ? + +
x →0 x →0 x →0 x →0

由于 lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) ,所以不连续,根据可导与连续的关系知,也不可导. ? +
x →0 x →0

在 x = 1 处, lim f ( x ) = lim(3 x + 1) = 4 , lim f ( x) = lim( x + 3) = 4 , f (1) = 4 , ? ? + +
3
x →1 x →1

x →1

x →1

所以连续. 又 f ?′(1) = lim?
?x → 0

f (1 + ?x) ? f (1) 3?x = lim? = 3, ?x → 0 ?x ?x

f +′(1) = lim+
?x → 0

f (1 + ?x) ? f (1) 3?x + 3(?x) 2 + (?x)3 = lim+ = 3, ?x → 0 ?x ?x

所以可导.

1

4.已知函数 f ( x ) 在点 x0 处可导,且 f ′( x0 ) = A ,求下列极限:

(1)lim
?x → 0

f ( x0 ? 5?x) ? f ( x0 ) ; ?x

(2)lim
h →0

f ( x0 + 2h) ? f ( x0 ) h

解 (1)

lim
?x → 0

f ( x0 ? 5?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? 5?x) ? f ( x0 ) = ?5lim = ?5 f ′( x0 ) = ?5 A ; ?x ?5?x ?x → 0

(2)

lim
h →0

f ( x0 + 2h) ? f ( x0 ) f ( x0 + 2h) ? f ( x0 ) = 2lim = 2 f ′( x0 ) = 2 A . h 2h h→0

5.求抛物线 y = x 2 上平行于直线 y = ?4 x + 3 的切线方程. 解 由于切线平行于 y = ?4 x + 3 ,所以斜率为 k = ?4 .又 k = y ′ = 2 x ,所以 x = ?2 . 对应于抛物线上的点为 ( ?2, 4) , 所以切线方程为 y ? 4 = ?4( x + 2) , 4 x + y + 4 = 0 . 即

练习题 2.2
1.求下列函数的导数: (1) y = (2 x ? 1)100 ; (3) y = sin(3 x + π ) ; (5) y = e 2 x sin x ; (7) y = tan 2 x ; (9) y = arctan(3 x + 1) ; (2) y = e
2 x2 + x



(4) y = cos 2 x ; (6) y = ln(1 + x 2 ) ; (8) y = cot 3 x ; (10) y = arcsin(4 x + 1) .

99 99 解 (1) y′ = 100(2 x ? 1) (2 x ? 1)′ = 200(2 x ? 1) ;

(2) y′ = e

2 x2 + x

(2 x 2 + x)′ = e 2 x

2

+x

(4 x + 1) ;

(3) y′ = cos(3 x + π ) ? (3 x + π )′ = 3cos(3 x + π ) ; (4) y′ = 2 cos x ? (cos x)′ = ?2 sin x cos x = ? sin 2 x ; (5) y′ = (e 2 x )′ sin x + e 2 x (sin x )′ = 2e 2 x sin x + e 2 x cos x = e 2 x (2sin x + cos x ) ; (6) y′ =

1 2x ? (1 + x 2 )′ = ; 2 1+ x 1 + x2

(7) y′ = sec 2 2 x ? (2 x )′ = 2sec 2 2 x ;

2 2 (8) y′ = ? csc 3 x ? (3 x)′ = ?3csc 3 x ;

2

(9) y′ =

1 3 ? (3 x + 1)′ = ; 2 1 + (3 x + 1) 1 + (3 x + 1) 2
1 1 ? (4 x + 1)
2

(10) y′ =

? (4 x + 1)′ =

4 1 ? (4 x + 1)2



2.设 y =

3

( x + 1)( x + 2) dy ,求 . ( x + 3)( x + 4) dx
3

解 对于 y =

( x + 1)( x + 2) 两边取对数,得 ( x + 3)( x + 4) ln y = 1 [ ln( x + 1) + ln( x + 2) ? ln( x + 3) ? ln( x + 4)] 3

两边对 x 求导,得

1 1 1 1 1 1 y′ = ( + ? ? ) 3 x +1 x + 2 x + 3 x + 4 y
所以

y′ =

1 ( x + 1)( x + 2) 1 1 1 1 3 ( + ? ? ) 3 ( x + 3)( x + 4) x + 1 x + 2 x + 3 x + 4

3.求曲线 ?

?x = 1+ t ?y = t
3

上,点 (1, 0) 处的切线方程.

解 点 (1, 0) 对应参数 t 的值为 0. 设 k 为曲线上对应 (1, 0) 点的切线斜率,则

dy (t 3 )′ 3t 2 k= = = dx t =0 (1 + t )′ t = 0 1
于是,所求切线方程为

= 0,
t =0

y = 0 ,即 x 轴.
4.求由方程 y 3 ? x 3 ? 3 xy = 0 所确定的隐函数的导数 解 方程两边对 x 求导,可得

dy . dx

3 y 2 y′ ? 3 x 2 ? 3( y + xy′) = 0
由上式解出 y ′ ,便得隐函数的导数为

3

y′ =
练习题 2.3
1.求下列函数的微分: (1) y = x + sin x ? 3 x + 4 ;
2 2 2 (3) y = (arccos x) ? 1 ;

x2 + y 2 ( y ? x ≠ 0) . 2 y ?x

(2) y = x ln x ? x ;
2

(4) y = x arctan x ; (6) y =

(5) y = ln tan (7) y = 2
? 1 cos x

x ; 2


sin x + x ln x + 5 x ? 7 ; x
x ?x 3

(8) y = (e + e ) .

2 2 解 (1) dy = ( x + sin x ? 3 x + 4)′dx = (2 x + sin 2 x ? 3)dx ; 2 (2) dy = ( x ln x ? x )′dx = (ln x + 1 ? 2 x )dx ;

(3) dy = ((arccos x ) ? 1)′dx = ?
2

2 arccos x 1 ? x2

dx ;

(4) dy = ( x arctan x )′dx = (arctan x +

x )dx ; 1 + x2 x 1 x 1 1 (5) dy = (ln tan )′dx = ? sec2 ? dx = dx = csc xdx ; x 2 2 2 sin x tan 2 sin x x cos x ? sin x (6) dy = ( + x ln x + 5 x ? 7)′dx = ( + ln x + 6)dx ; x x2
(7) dy = (2
?
1 cos x

)′dx = ?2


?

1 cos x

ln 2 ? sec x tan xdx ;

(8) dy = ?(e x + e ? x )3 ? dx = 3(e x + e ? x ) 2 (e x ? e ? x )dx . ? ? 2.填空. (1) 3 x 2 dx = d( (3) 2 cos 2 xdx = d( 解 (1) x + C ;
3

)

(2)

)

1 dx = d( 1 + x2 1 (4) 2 dx = d( x

) )
1 +C . x

(2) arctan x + C ; (3) sin 2x + C ; (4) ?

3.求 65 的近似值. 解 由于 65 =

64 + 1 ,故令 f ( x) = x ,并取 x0 = 64 , ?x = 1 .

4

因为

f ( x0 + ?x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )?x , f ′( x) = ( x )′ =

1 2 x



所以

65 = 64 + 1 ≈ 64 +

1 1 ×1 = 8 + = 8.0625 . 16 2 64

4.半径为 10m 的圆盘,当半径改变 1cm 时,其面积大约改变多少? 解 圆盘面积函数为 S = πR ,并取 R 0 = 10m , ?R = 1cm = 0.01m .
2

因为

S′ = 2 πR

所以面积改变量

?S ≈ dS = 2 πR ? ?R = 2 π × 10 × 0.01 = 0.2 π ≈ 0.628m 2 .

习题二
1.如果函数 f ( x ) 在点 x0 可导,求: (1) lim

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) f ( x0 + α h) ? f ( x0 ? β h) ; (2) lim . h →0 h →0 h h f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) = ? lim = ? f ′( x0 ) ; 解 (1) lim h →0 ? h →0 ?h h f ( x0 + α h) ? f ( x0 ? β h) f ( x0 + α h) ? f ( x0 ) + f ( x0 ) ? f ( x0 ? β h) (2) lim = lim h →0 h →0 h h = α lim
h →0

f ( x0 + α h) ? f ( x0 ) f ( x0 ? β h) ? f ( x0 ) + β lim = (α + β ) f ′( x0 ) h →0 αh ?β h

2.求函数 y = x 3 在点 (2,8) 处的切线方程和法线方程. 解 由导数的几何意义,得

k切 = ( x3 )′
所以,切线方程为

x=2

= 3x2

x=2

= 12 , k法 = ?

1 . 12

y ? 8 = 12( x ? 2)


12 x ? y ? 16 = 0 .
法线方程为

y ?8 = ?

1 ( x ? 2) 12

5



x + 12 y ? 98 = 0 .
3.设 f ( x) = ?

? x2 ,

x ≤1 ,试确定 a, b 的值,使 f ( x ) 在 x = 1 处可导. ?ax + b, x > 1

解 若 f ( x ) 在 x = 1 处可导,则必在 x = 1 处连续.
x →1?

lim f ( x) = 1 , lim f ( x) = a + b , +
x →1

x →1?

lim f ( x) = lim f ( x) ,即 a + b = 1 . +
x →1

又 f ?′(1) = lim ?
x →1

f ( x) ? f (1) x2 ?1 = lim = lim( x + 1) = 2 , x →1? x ? 1 x →1? x ?1

f +′(1) = lim +
x →1

f ( x) ? f (1) ax + b ? 1 a ( x ? 1) = lim = lim =a + ? x →1 x →1 x ?1 x ?1 x ?1 a = 2 , b = ?1 .

所以

4.求下列各函数的导数: (1) y = 2 x ?
2

1 + 5x + 1 ; x3

(2) y = x 2 sin x ; (4) y =

(3) y =

1 ; x + cos x
2

1 ? ln x . 1 + ln x

解 (1) y′ = (2 x ?

1 3 + 5 x + 1)′ = 4 x + 4 + 5 ; 3 x x

(2) y′ = ( x 2 sin x)′ = 2 x sin x + x 2 cos x ; (3) y′ = (

1 ( x + cos x)′ sin x ? 1 )′ = ? = ; 2 x + cos x ( x + cos x) ( x + cos x) 2

(4) y′ = (

1 ? ln x (1 ? ln x)′(1 + ln x) ? (1 ? ln x)(1 + ln x)′ )′ = 1 + ln x (1 + ln x) 2

1 1 ? (1 + ln x) ? (1 ? ln x) 2 x . = x =? 2 (1 + ln x) x(1 + ln x) 2
5.求下列函数的导数: (1) y = ( x 3 ? x ) 6 ; (2) y =

x 1 ? x2



6

(3) y = sin (2 x ? 1) ;
2

(4) y = x sin
2

1 ; x

(5) y = ln

x ; 1? x x2 + a 2 ) ;

(6) y = ln [ ln(ln x) ] ; (8) y = x arcsin

(7) y = ln( x +

x + 4 ? x2 . 2

3 5 3 3 5 2 解 (1) y′ = 6( x ? x ) ( x ? x )′ = 6( x ? x ) (3 x ? 1) ;

1 ? x2 ? x
(2) y′ =

?2 x
3

2 1 ? x 2 = (1 ? x 2 )? 2 ; 1 ? x2

(3) y′ = 2sin(2 x ? 1) ? cos(2 x ? 1) ? (2 x ? 1)′ = 2 sin(4 x ? 2) ; (4) y′ = ( x )′ sin
2

1 1 1 1 1 1 1 + x 2 (sin )′ = 2 x sin + x 2 cos ? (? 2 ) = 2 x sin ? cos ; x x x x x x x

(5)Q y = ln

x 1 ?1 1 = ln x ? ln(1 ? x) ,∴ y′ = ? = ; 1? x x 1 ? x x(1 ? x)

(6) y′ = ln [ ln(ln x ) ] ′ ? [ ln(ln x ) ]′ ? (ln x )′ =

{

}

1 ; x ln x ln(ln x)

(7) y′ =

1 x + x2 + a 2

? ( x + x 2 + a 2 )′ =

1 x + x2 + a2

? (1 +

2x 2 x2 + a 2

)=

1 x2 + a 2

;

(8) y′ = arcsin

x +x 2

1 x 1 ? ( )2 2

1 ?2 x ? + 2 2 4 ? x2

= arcsin

x x x x + ? = arcsin . 2 2 4 ? x2 4 ? x2
3

6.若以 10cm / s 的速率给一个球形气球充气,那么当气球半径为 2cm 时,它的表面 积增加的有多快? 解 设气球的体积为 V ,半径为 R ,表面积为 S ,则 V =

4 3 πR , S = 4 πR 2 . 3

Q

dV dV dR dS dS dR = ? , = ? , dt dR dt dt dR dt dS dS dV dR dV 1 2 dV ∴ = ? ? = 8πR ? ? = , 2 dt dR dt dV dt 4 πR R dt dV dS = 10cm3 / s , R = 2cm 代入得, = 10cm 2 / s . 将 dt dt

7

7.求下列函数的高阶导数:
2 (1) y = x sin 2 x ,求 y ′′′ ;

(2) y = x x 2 ? 16 ,求 y′′ x =5 .

解 (1) Q y′ = 2 x sin 2 x + 2 x 2 cos 2 x ,

y′′ = 2 sin 2 x + 4 x cos 2 x + 4 x cos 2 x ? 4 x 2 sin 2 x = 2 sin 2 x + 8 x cos 2 x ? 4 x 2 sin 2 x ,
∴ y′′′ = 4 cos 2 x + 8cos 2 x ? 16 x sin 2 x ? 8 x sin 2 x ? 8 x 2 cos 2 x = 12 cos 2 x ? 24 x sin 2 x ? 8 x 2 cos 2 x .
(2) Q y′ =

x 2 ? 16 + x

2x 2 x 2 ? 16

=

2 x 2 ? 16 x 2 ? 16



y′′ =

(2 x 2 ? 16)′ x 2 ? 16 ? (2 x 2 ? 16)( x 2 ? 16)′ x 2 ? 16
4 x x 2 ? 16 ? (2 x 2 ? 16) x
2 x ? 16 = 2 x( x ? 24) , 3 ( x 2 ? 16) 2 2

=

x ? 16
2

∴ y′′ x =5 =

10 . 27

8.求由下列方程所确定的隐函数的导数: (1) y 3 + x 3 ? 3 xy = 0 ; 解 (1)方程两边对 x 求导,得 (2) arctan

y = ln x 2 + y 2 . x

3 y 2 y′ + 3 x 2 ? 3( y + xy′) = 0 ,
从中解出 y ′ ,得

y′ =
(2)方程两边对 x 求导,得

y ? x2 . y2 ? x

1 xy′ ? y 1 2 x + 2 yy′ ? = ? 2 , y 2 x2 2 x + y2 1+ ( ) x
从中解出 y ′ ,得

8

y′ =
9.用对数求导法求下列各函数的导数: (1) y =

x+ y . x? y

(2 x + 3) 4 x ? 6 ; 3 x +1

(2) y = (sin x)

cos x

(sin x > 0) .

解 (1)方程两边取对数,得

1 1 ln y = ln(2 x + 3) + ln( x ? 6) ? ln( x + 1) , 4 3
两边对 x 求导,得

1 2 1 1 y′ = + ? , y 2 x + 3 4( x ? 6) 3( x + 1)


y′ = [

2 1 1 (2 x + 3) 4 x ? 6 + ? ] . 3 2 x + 3 4( x ? 6) 3( x + 1) x +1

(2)方程两边取对数,得

ln y = ln(sin x)cos x = cos x ? ln sin x
两边对 x 求导,得

1 1 ? cos x y′ = ? sin x ? ln sin x + cos x ? y sin x

= ? sin x ? ln sin x + cos x ? cot x ,


y′ = (sin x)cos x (? sin x ? ln sin x + cos x ? cot x) .
10.求由下列各参数方程所确定的函数 y = y ( x ) 的导数:

? x = a cos3 t ? (1) ? ; 3 ? y = b sin t ?

? x = et cos t dy ? (2) ? ,求 . t dx t = π ? y = e sin t ? 2

dy dy dt 3b sin 2 t cos t b = = = ? tan t ; 解 (1) 2 dx dx ?3a cos t sin t a dt

9

dy dy dt et (sin t + cos t ) sin t + cos t = = = (2) Q , dx dx et (cos t ? sin t ) cos t ? sin t dt


dy sin t + cos t = dx t = π cos t ? sin t
2

t=

π 2

=

1+ 0 = ?1 . 0 ?1

11.求下列函数的微分: (1) y = ln sin
x y

x ; 2

(2) y = arctan

1+ x ; 1? x

(3) e ? xy = 0 ; 解 (1) dy = (ln sin )′dx = (

(4) y 2 + ln y = x 4 .

x 1 1 x ? cos ? )dx = cot dx ; x 2 2 2 2 sin 2 1 (1 ? x) + (1 + x) 1 (2) dy = ? dx = dx 2 1+ x 2 (1 ? x) 1 + x2 1+ ( ) 1? x
(3)方程两边同时取微分,得
x y

x 2

1

d(e ) ? d( xy ) = 0 ,
e ?
整理得
x y

ydx ? xdy ? ( ydx + xdy ) = 0 , y2

dy =
(4)方程两边同时取微分,得

xy ? y 2 dx . x 2 + xy

2 ydy +
整理得

1 dy = 4 x 3 dx , y

dy =
12.利用微分求近似值: (1) sin 30 30′ ;
°

4 x3 y dx . 2 y2 +1

(2) 6 65 .
°

解 (1)设 f ( x ) = sin x ,则 x0 = 30 =

π π , ?x = 30′ = , f ′( x ) = cos x . 6 360

10

sin 30°30′ = f ( x0 + ?x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )?x

= sin
(2)设 f ( x ) =
6

π π π + cos ? ≈ 0.5076 6 6 360
1 ?5 x 6. 6

x ,则 x0 = 64 , ?x = 1 , f ′( x) =
6

65 = f ( x0 + ?x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )?x
5 ? 1 1 = 6 64 + (64) 6 ?1 = 2 + ≈ 2.0052 6 192

13.已知单摆的振动周期 T = 2π

l ,其中 g = 980cm / s 2 , l 为摆长(单位为 cm ) , g

设原摆长为 20cm ,为使周期 T 增大 0.05s ,摆长约需加长多少? 解 由 T = 2π 所以

l l gT 2 gT 可得 l = , T0 = 2 π 0 , ?T = 0.05s , l ′ = . 2 g 4π g 2π 2

?l ≈ dl = l ′ ? ?T =

gT0 ? 0.05 = 2π 2

g ? 2π

l0 g
2



? 0.05 =

gl0

π

? 0.05 =

7 ≈ 2.23cm , π

即摆长约需加长 2.23cm .

11


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