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2015年江苏对口单招数学试卷和答案



江苏省 2015 年普通高校对口单招文化统考
数 学 试 卷
一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. ) 1.已知集合 M ? {?1,1, 2} , N ? {a ? 1, a 2 ? 3} 若 M ? N ? {2} ,则实数 a =( A、0 B、1 C、2 D、3 2.设复数 z 满足 iz ? 1 ? i ,则 z 的模

等于( A、1 B、 3 C、2 D、 2 ) )

3.函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

) 在区间 [0, ] 上的最小值是( 4 2
C、

?



A、 ?

2 2

B、 ?

1 2

1 2

D、

2 2


4.有 3 名女生和 5 名男生,排成一排,其中 3 名女生排在一起的所有排法是( A、2880 B、3600 C、4320 D、720 5.若 sin(? ? ? ) ?

1 1 tan ? ? ( , sin(? ? ? ) ? 则 2 3 tan ?
C、



A、

3 2

B、

2 3

3 5

D、

1 5

6. 已知函数 f ( x) ? a x?1 ? 1(a ? 0且a ? 1) 的图象恒过定点 P, 且 P 在直线 2mx ? ny ? 4 ? 0 上,则 m ? n 的值等于( ) ) A、 ?1 B、2 C、1 D、3 7.若正方体的棱长为 2,则它的外接球的半径为( A、

3 2

B、 2 3

C、 3

D、 6

?log 2 x(0 ? x ? 1) ? 8.函数 f ( x) ? ? 的值域是( 1 ( ) x ( x ? 1) ? ? 2
A、 (??, )



1 2

B、 ( , ??)

1 2

C、 (0, )

1 2

D、 (??, 0)

9.已知过点 P(2,2)的直线与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 相切,且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则

a 的值是(



A、 ?

1 2

B、 ?2

C、

1 2

D、 ?2

10.已知函数 A、

f ( x) ? lg x ,若 0 ? a ? b 且 f (a) ? f (b) ,则 2a ? b 的最小值是(
B、 2 2 C、 3 2 D、 4 2



2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.逻辑式 ABC ? ABC ? AB ? A = 12.题 12 图是一个程序框图,则输出的值是 。 。

开始

a?2



a ? 10 a ? 1

a ? 2015


输出a
结束

题 12 图 13. 14.某班级从甲、乙、丙三名同学中选一名代表在开学典礼上发言,全班同学参加了投票, 得票情况统计如题 14 表及题 14 图,则同学乙得票数为 。

15%
学生 票数 甲 12 乙 丙 6

题 14 表

题 14 图

15.在平面直角坐标系中,已知 ?ABC 的两个顶点为 A(-4,0)和 C(4,0) ,第三个顶点

sin B x2 y 2 ? ? ? 1 上,则 B 在椭圆 sin A ? sin C 25 9



三、解答题(本大题共 8 小题,共 90 分) 16. (8 分)设函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时
2 (1)求实数 m 的范围; (2)求 x ? 3x ? m ? 0 不等式的解集。 f ( x) ? 3x?1 ? ( x ?1)2 ? m ,

17.已知函数 f ( x) ? k ? loga x(a ? 0, a ? 1) 的图像过点 A(8, 2) 和点 B(1, ?1) 。 (1)求常数

1 1 1 k 和a 的值; (2)求 f (3) ? f (5) ? f (7) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 的值。 3 5 7

18.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 2 AB AC ? a2 ? (b ? c)2 ; (1) 求角 A 的大小; (2)若角 a ? 4 3, S
ABC

? 4 3 ,求角 b 和 c 。

19.盒中共装有 9 张各写一个字母的卡片,其中 4 张卡片上的字母是 x ,3 张卡片上的字母 是 y ,2 张卡片上的字母是 z ,现从中任取 3 张卡片,求下列事件的概率。 (1) A ? {3 张 卡片上的字母完全相同} ; (2) B ? {3 张卡片上的字母互不相同} ; (3) C ? {3 张卡片上 的字母不完全相同} 。 20. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且满足 an?1 ? 2Sn ? 1(n ? N ? ) 。 (1) 求数列?an ? a1 ? 1 , 的通项公式; (2)设 bn ? log3 an?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和Tn ; (3)设 cn ?

1 ,求数列 2Tn

?cn ? 的前 100 项和 R100 。
21. (10 分)某职校毕业生小李一次性支出 72 万元购厂创业,同年另需投入经费 12 万元, 以后每年比上一年多投入 4 万元, 假设每年的销售收入都是 50 万元, 用 f ( n) 表示前 n 年的 总利润。注: f ( n) =前 n 年的总收入-前 n 年的总支出-购厂支出。 (1)问:小李最短需要多 长时间才能收回成本; (2) 若干年后, 为转型升级, 进行二次创业。 现有如下两种处理方案: 方案一,年平均利润最大时,以 48 万元出售该厂;方案二,纯利润总和最大时,以 15 万元 出售该厂。问,哪个方案更好? 22. (12 分)某学校租用车辆接送 188 名师生参观爱国主义教育基地,若租车公司现有 6 辆 中巴和 8 辆大巴可用。每辆中巴可载客 18 人,大巴 40 人。已知租用一辆中巴的费用为 110 元, 大巴 250 元, 问学校应租用中巴、 大巴各多少辆, 才能使费用最少?最少费用是多少元?

x2 y 2 6 23. (14 分)在平面直角坐标系中,已知椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? , a b 3
过右焦点 F ( x, 0) ,且垂直于 x 轴的直线被椭圆 E 截得弦长为

4 3 ,设直线 y ? t (t ? 0) 与 3

椭圆 E 交于不同的两点 A、 B,以线段 AB 为直径作圆 M。 (1)求椭圆 E 的标准方程; (2) 若圆 M 与 x 轴相切,求圆 M 的方程; (3)过点 P(

3 3 , ) 作圆 M 的弦,求最短弦的长。 2 2

江苏省 2015 年普通高校对口单招文化统考
数 学答案 1.B 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.A 9.D 10.B
11.1 12.2111 13.36 14.22

15.

4 5

16.答: (1)m =-4, (2) (?1, 4) 17.答: (1) k ? ?1, a ? 2 , (2) ?6 18.答: (1) A ?

2 ? ,(2) b ? c ? 4 3

1 1 1 3 3 79 C4 ? C3 C4 C3C2 2 5 ? , ? , 19.答(1) P( A) ? (2) P( B) ? (3) P (C ) ? 1 ? P ( A) ? 3 3 84 C9 7 C9 84

20.答(1) an ? 3

n ?1

, (2) Tn ?

n( n ? 1) 100 , (3) 2 101

21.解(1) f (n) ? 50n ? [12n ?

n(n ? 1) ? 4] ? 72 ? ?2n 2 ? 40n ? 72 2

,所以,小李最短需要 2 年时间才能收回成本。 f ( n)? 0? 2? n ? 1 8

(2)方案一:年平均利润

f (n) ?2n2 ? 40n ? 72 36 ? ? 40 ? 2(n ? ) ? 40 ? 2 ? 2 ? 6 ? 16 n n n

当且仅当 n ? 元;

36 即 n ? 6 时, 年平均利润最大为 16 万元, 此时总利润为16 ? 6 ? 48 ? 144 万 n

方案二: f (n) ? ?2n2 ? 40n ? 72 ? ?2(n ?10)2 ? 128 当 n ? 10 时,纯利润总和最大 128 万元,此时总利润为128 ? 15 ? 143 万元; 因为 144>143,所以方案一更好。 22.解:设应租用中巴、大巴分别为 x , y 辆,费用为 z 则 min z ? 110 x ? 250 y

?18 x ? 40 y ? 188 ? ? 0? x?6 ? 0? y?8 ?
当 x ? 6, y ? 2 时, min z ? 1160 元

23.解: (1)

x2 y 2 ? ?1 12 4 t2 t2 ? ? 1, t ? 3 , 所以圆 M 的方程为 x2 ? ( y ? 3)2 ? 3 12 4

(2) 因为点 (t , t ) 在椭圆上, 所以

(3)因为 (

3 2 3 3 3 3 ) ?( ? 3)2 ? ? 3 ,所以点 P( , ) 在圆 M 内。 2 2 2 2 2

圆 M 的圆心为 M (0, 3) ,半径为 3 最短弦过点 P 且垂直于 MP, 弦长= 2 r ? MP ? 2 3 ? [(
2 2

3 3 ? 0)2 ? ( ? 3)2 ] ? 6 2 2



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