9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章 2.5



数学

北(文)

§2.5 指数与指数函数
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.分数指数幂

(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是 a =

m n

>n

am (a>0,m, 1
? m n

n∈N+,且 n>1);正数的负分数指数幂的意义是 a 分数指数幂 没有意义 .
m+n

m a =

n

(a>0,m,n∈N+,且 n>1);0 的正分数指数幂等于 0 ;0 的负 (2)幂的运算性质:aman= a 其中 a>0,b>0,m,n∈R.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
n n mn ,(am)n= a ,(ab)n= a b ,

基础知识·自主学习
要点梳理
2.指数函数的图像与性质 y=ax a>1 0<a<1
知识回顾 理清教材

图像

定义域 值域

(1) R (2) (0,+∞)

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

(3)过定点 (0,1) (4)当 x>0 时, y>1 性质 x<0 时, 0<y<1 (6)是 R 上的 增函数 ;(5)当 x>0 时, 0<y<1 ; x<0 时, y>1 (7)是 R 上的 减函数

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) × (3) × (4) × (5) × (6) √

解析

D A
(- 2,-1)∪(1, 2)
5 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 指数幂的运算
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】化简:(1)

ab
1 4 1 2

3 23 4

ab2
? 1 3 1 3

?a b ? ? a b
? 1 2

(a>0,b>0); 27 ? 2 (2)( - ) 3 + (0.002) 8




10( 5-2) 1+( 2- 3)0.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 指数幂的运算
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】化简:(1)

ab
1 4 1 2

3 23 4

ab2
? 1 3 1 3

?a b ? ? a b
? 1 2

(a>0,b>0); 27 ? 2 (2)( - ) 3 + (0.002) 8


运算中可先将根式化成分数



指数幂,再按照指数幂的运 算性质进行运算.

10( 5-2) 1+( 2- 3)0.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 指数幂的运算
思维启迪 解析
(a b a b ) ab a b
2 ? 1 3 1 3 3 2 1 3 2 1 3 2

【例 1】化简:(1)

ab
1 4 1 2

3 23 4

思维升华

ab2
? 1 3 1 3

?a b ? ? a b
? 1 2

解 =a

(1)原式=
3 1 1 ? ?1? 2 6 3

(a>0,b>0); 27 ? 2 (2)( - ) 3 + (0.002) 8


b

1 1 1? ? 2? 3 3

=ab-1.



10( 5-2) 1+( 2- 3)0.

1 ? 27 ? 2 1 (2)原式=(- 8 ) 3 +(500) 2 10 - +1 5-2
1 8 2 3 =(- ) +500 2 -10( 5+2)+1 27 4 167 =9+10 5-10 5-20+1=- 9 .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 指数幂的运算
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】化简:(1)

ab
1 4 1 2

3 23

ab2
1 ? 3 1 3

(1)指数幂的运算首先将根式、分 数指数幂统一为分数指数幂,以 便利用法则计算,但应注意: ①必须同底数幂相乘,指数才能 相加; ②运算的先后顺序.

? a b ? ?4 a b
? 1 2

(a>0,b>0); 27 ? 2 (2)( - ) 3 + (0.002) 8




10( 5-2) 1+( 2- 3)0.

(2) 当底数是负数时,先确定符 号,再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和
分数指数,也不能既有分母又含 有负指数.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)化简 16x8y4(x<0,y<0)得 4 ( D) D.-2x2y A.2x2y B.2xy C.4x2y -1 3 8 ? 4 ab ? 1 ?1 (2)( ) 2 · 1 =________. 5 4 -1 3 -3 2 ?0.1? · ?a · b ?
解析
4

(1) 16x y =(16x y )
8 4
1 4 4? 1 4

4

8 4

8 4

1 4

=[2 (-x) · (-y) ] =2

· (-x) · (-y)

1 8· 4

1 4· 4

=2(-x)2(-y)=-2x2y.
(2)原式=
基础知识

4 a b 2·

3 2

3 2

? 3 2

3 2

10 a b

3 2

?

8 = . 5
思想方法 练出高分

题型分类

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

指数函数的图像、性质
(1)函数 f(x)=ax-b 的图像如
思维启迪 解析 答案 思维升华

图所示,其中 a,b 为常数,则下列 结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)若函数 ( )

f ( x) ? e

-( x ? ? ) 2

(e 是自然

对数的底数 )的最大值是 m,且 f(x) 是偶函数,则 m+μ=________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

指数函数的图像、性质
(1)函数 f(x)=ax-b 的图像如
思维启迪 解析 答案 思维升华

图所示,其中 a,b 为常数,则下列 结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)若函数 ( )

对于和指数函数的图像、性 质有关的问题,可以通过探 求已知函数和指数函数的关 系入手.

f ( x) ? e

-( x ? ? ) 2

(e 是自然

对数的底数 )的最大值是 m,且 f(x) 是偶函数,则 m+μ=________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

指数函数的图像、性质
(1)函数 f(x)=ax-b 的图像如
思维启迪 解析 答案 思维升华

图所示,其中 a,b 为常数,则下列 结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)若函数
e
? x2

解析

(1)由 f(x)=ax-b 的图像
-b

(

)

可以观察出函数 f(x)=ax 定义域上单调递减,
所以 0<a<1.函数 f(x)=ax




-b

图像是在 f(x)=ax 的基础上向 左平移得到的,所以 b<0.
2

f ( x) ? e-( x?? ) (e 是自然

(2)由于 f(x)是偶函数, 所以 f(-x)=f(x),
?( ? x?? )2

对数的底数 )的最大值是 m,且 f(x) 是偶函数,则 m+μ=________.
基础知识 题型分类

即e

?e

?( x?? )2



思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

指数函数的图像、性质
(1)函数 f(x)=ax-b 的图像如
思维启迪 解析 答案 思维升华

图所示,其中 a,b 为常数,则下列 结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)若函数 ( )

∴(x+μ)2=(x-μ)2,∴μ=0,
∴f(x)= e
? x2

.又 y=ex 是 R 上

的增函数,而-x2≤0,

∴f(x)的最大值为 e0=1=m, ∴m+μ=1.
-( x ? ? ) 2

f ( x) ? e

(e 是自然

对数的底数 )的最大值是 m,且 f(x) 是偶函数,则 m+μ=________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

指数函数的图像、性质
(1)函数 f(x)=ax-b 的图像如
思维启迪 解析 答案 思维升华

图所示,其中 a,b 为常数,则下列 结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)若函数 ( D )

∴(x+μ)2=(x-μ)2,∴μ=0,
∴f(x)= e
? x2

.又 y=ex 是 R 上

的增函数,而-x2≤0,

∴f(x)的最大值为 e0=1=m, ∴m+μ=1.
-( x ? ? ) 2

f ( x) ? e

(e 是自然

对数的底数 )的最大值是 m,且 f(x)

1 是偶函数,则 m+μ=________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

指数函数的图像、性质
(1)函数 f(x)=ax-b 的图像如
思维启迪 解析 答案 思维升华

图所示,其中 a,b 为常数,则下列 结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)若函数 ( D )

(1) 与指数函数有关的函数的 图像的研究,往往利用相应指 数函数的图像,通过平移、对 称变换得到其图像.

(2) 对复合函数的性质进行讨
-( x ? ? ) 2

f ( x) ? e

论时,要搞清复合而成的两个
(e 是自然

对数的底数 )的最大值是 m,且 f(x)

函数,然后对两层函数分别进 行研究.
思想方法 练出高分

1 是偶函数,则 m+μ=________.
基础知识 题型分类

题型分类·深度剖析
ex+e-x 跟踪训练 2 (1)函数 y= x -x的图像大致为 e -e ( A )

解析

2 当 x>0 时,e2x-1>0,且随着 x 的增大而增大,故 y=1+ 2x >1 e -1 随着 x 的增大而减小,
即函数 y 在(0,+∞)上恒大于 1 且单调递减.又函数 y 是奇函数, 故只有 A 正确.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

ex+e x 2 (1)y= x -x=1+ 2x , e -e e -1


题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (2)若函数 f(x)=ax-1(a>0 且 a≠1)的定义域和值

3 域都是[0,2],则实数 a=________.
解析 (2)当 a>1 时,x∈[0,2] ,y∈[ 0,a2-1] ,
∴a2-1=2,即 a= 3.

当 0<a<1 时,x∈[0,2] ,y∈[ a2-1,0] ,此时定义域与值域不 一致,无解.
综上,a= 3.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的应用
(1)k 为何值时,方程|3
x

【例 3】 解?

思维启迪

解析

思维升华

- 1| = k 无 解 ? 有 一 解 ? 有 两 (2)已知定义在 R 上的函数 f(x)= 1 x 2 - |x|. 2 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 ② 若 2tf(2t) + mf(t)≥0 对 于 t∈[1,2]恒成立, 求实数 m 的取值 范围.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的应用
(1)k 为何值时,方程|3
x

【例 3】 解?

思维启迪

解析

思维升华

- 1| = k 无 解 ? 有 一 解 ? 有 两

方程的解的问题可转为函数 图像的交点问题;恒成立可以 通过分离参数求最值或值域 来解决.

(2)已知定义在 R 上的函数 f(x)= 1 x 2 - |x|. 2 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 ② 若 2tf(2t) + mf(t)≥0 对 于 t∈[1,2]恒成立, 求实数 m 的取值 范围.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的应用
(1)k 为何值时,方程|3
x

【例 3】 解?

思维启迪

解析

思维升华

- 1| = k 无 解 ? 有 一 解 ? 有 两 解

(1)函数 y=|3x-1|的图像是

由函数 y=3x 的图像向下平移一

(2)已知定义在 R 上的函数 f(x)= 个单位后,再把位于 x 轴下方的 1 x 图像沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到 2 - |x|. 2 的,函数图像如图所示. 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 ② 若 2tf(2t) + mf(t)≥0 对 于 t∈[1,2]恒成立, 求实数 m 的取值 范围.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的应用
(1)k 为何值时,方程|3
x

【例 3】 解?

思维启迪

解析

思维升华

- 1| = k 无 解 ? 有 一 解 ? 有 两

当 k<0 时,直线 y=k 与函数 y =|3x-1|的图像无交点,即方程

无解; (2)已知定义在 R 上的函数 f(x)= 当 k=0 或 k≥1 时, 直线 y=k 与 1 2x- |x|. 2 函数 y=|3x-1|的图像有唯一的 3 交点,所以方程有一解; ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 当 0<k<1 时,直线 y=k 与函数 t ② 若 2 f(2t) + mf(t)≥0 对 于 y = |3x - 1|的图像有两个不同的 t∈[1,2]恒成立, 求实数 m 的取值 交点,所以方程有两解. 范围.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的应用
(1)k 为何值时,方程|3
x

【例 3】 解?

思维启迪

解析

思维升华

- 1| = k 无 解 ? 有 一 解 ? 有 两 (2)①当 x<0 时,f(x)=0,无解; (2)已知定义在 R 上的函数 f(x)= 1 3 x 由 2 -2x=2, 1 x 2 - |x|. 2 2x x 得 2· 2 - 3· 2 -2=0, 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 看成关于 2x 的一元二次方程,解 ② 若 2tf(2t) + mf(t)≥0 对 于 1 x 得 2 =2 或- , 2 t∈[1,2]恒成立, 求实数 m 的取值 范围.
基础知识 题型分类

1 当 x≥0 时,f(x)=2 -2x,
x

∵2x>0,∴x=1.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的应用
(1)k 为何值时,方程|3
x

【例 3】

思维启迪

解析

思维升华

- 1| = k 无 解 ? 有 一 解 ? 有 两 ②当 t∈[1,2]时, ? ? 1? 1? t t? 2 t 解? 2 2 -22t?+m?2 -2t?≥0, ? ? ? ? (2)已知定义在 R 上的函数 f(x)= 2t 4t 即 m (2 - 1) ≥ - (2 -1), 1 x 2 - |x|. 2 ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1), 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; ∵t∈[1,2] , 2 ② 若 2tf(2t) + mf(t)≥0 对 于 ∴-(22t+1)∈[ -17,-5] , t∈[1,2]恒成立, 求实数 m 的取值 范围.
基础知识 题型分类

故 m 的取值范围是[-5,+∞).

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的应用
(1)k 为何值时,方程|3
x

【例 3】 解?

思维启迪

解析

思维升华

- 1| = k 无 解 ? 有 一 解 ? 有 两 (2)已知定义在 R 上的函数 f(x)= 1 x 2 - |x|. 2 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 ② 若 2 f(2t) + mf(t)≥0 对 于 t∈[1,2]恒成立, 求实数 m 的取值 范围.
基础知识 题型分类
t

对指数函数的图像进行变换 是利用图像的前提, 方程 f(x) =g(x)解的个数即为函数 y= f(x)和 y=g(x)图像交点的个 数;有关复合函数问题的关 键是通过换元得到两个新的 函数, 搞清复合函数的结构.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 设函数 f(x)=kax-a x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数.


(1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 (2)若 f(1)= , 且 g(x)=a2x+a-2x-4f(x), 求 g(x)在[1, +∞)上的最小值. 2



因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数,

所以 f(0)=0,所以 k-1=0,即 k=1.
1 (1)因为 f(1)>0,所以 a-a>0, 又 a>0 且 a≠1,所以 a>1.
因为 f′(x)=axln a+a-xln a=(ax+a-x)ln a>0,
所以 f(x)在 R 上为增函数,原不等式可化为 f(x2+2x)>f(4-x), 所以 x2+2x>4-x,即 x2+3x-4>0,
所以不等式的解集为{x|x>1 或 x<-4}.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

所以 x>1 或 x<-4.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 设函数 f(x)=kax-a x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数.


(1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 (2)若 f(1)= , 且 g(x)=a2x+a-2x-4f(x), 求 g(x)在[1, +∞)上的最小值. 2

3 1 3 (2)因为 f(1)= ,所以 a-a= , 2 2
2

1 即 2a -3a-2=0,所以 a=2 或 a=-2(舍去). 所以 g(x)=22x+2-2x-4(2x-2-x)=(2x-2-x)2-4(2x-2-x)+2.
令 t(x)=2x-2-x(x≥1),则 t(x)在(1,+∞)为增函数(由(1)可知), 3 即 t(x)≥t(1)= , 2 所以原函数为 ω(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2,
所以当 t=2 时,ω(t)min=-2,此时 x=log2(1+ 2).

即 g(x)在 x=log2(1+ 2)时取得最小值-2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列3 换元法解决与指数函数有关的值域问题
x 2 ? 2 x ?1

?1? 典例:(10 分)(1)函数 y ? ? ? 的值域是 ?2? A.(-∞,4) B.(0,+∞)
C.(0,4] D.[4,+∞)

(

)

1x 1x (2)函数 y=( ) -( ) +1 在 x∈[-3,2]上的值域是________. 4 2
解 析
温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列3 换元法解决与指数函数有关的值域问题
x 2 ? 2 x ?1

?1? 典例:(10 分)(1)函数 y ? ? ? 的值域是 ?2? A.(-∞,4) B.(0,+∞)
C.(0,4] D.[4,+∞)

(

)

1x 1x (2)函数 y=( ) -( ) +1 在 x∈[-3,2]上的值域是________. 4 2
解 析
2

温 馨 提 醒

1t (1)设 t=x +2x-1,则 y=( ) . 2 1 因为 t=(x+1)2-2≥-2,y=(2)t 为关于 t 的减函数, 1 t 1 -2 所以 0<y=(2) ≤(2) =4,
故所求函数的值域为(0,4].
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列3 换元法解决与指数函数有关的值域问题
x 2 ? 2 x ?1

?1? 典例:(10 分)(1)函数 y ? ? ? 的值域是 ?2? A.(-∞,4) B.(0,+∞)
C.(0,4] D.[4,+∞)

( C )

3 1x 1x [ ,57] . (2)函数 y=( ) -( ) +1 在 x∈[-3,2]上的值域是________ 4 4 2
解 析 温 馨 提 醒

1x 1 (2)因为 x∈[-3,2],若令 t=( ) ,则 t∈[ ,8]. 2 4 1 3 则 y=t2-t+1=(t-2)2+4. 1 3 当 t=2时,ymin=4;当 t=8 时,ymax=57. 3 ∴所求函数值域为[4,57].
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列3 换元法解决与指数函数有关的值域问题
x 2 ? 2 x ?1

?1? 典例:(10 分)(1)函数 y ? ? ? 的值域是 ?2? A.(-∞,4) B.(0,+∞)
C.(0,4] D.[4,+∞)

( C )

3 1x 1x [ ,57] . (2)函数 y=( ) -( ) +1 在 x∈[-3,2]上的值域是________ 4 4 2
解 析
温 馨 提 醒

和指数函数有关的值域或最值问题,通常利用换元法,将其 转化为两个基本初等函数的单调性或值域问题, 注意换元过 程中“元”的取值范围的变化.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

1.判断指数函数图像上底数大小的问题,可以先通过令

方 法 与 技 巧

x=1 得到底数的值再进行比较.
2.指数函数 y=ax (a>0,a≠1)的性质和 a 的取值有关, 一定要分清 a>1 与 0<a<1.

3.对和复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基 本初等函数复合而成.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区

失 误 与 防 范

别开来.
2.复合函数的问题,一定要注意函数的定义域.
3.对可化为 a2x+b· ax+c=0 或 a2x+b· ax+c≥0 (≤0) 形式的方程或不等式,常借助换元法解决,但应注 意换元后“新元”的范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1.函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图像可能是

( C )

解析 当 x=1 时,y=0,故函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1) 的图像必过点(1,0),显然只有 C 符合.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5-1 2. 已知 a= , 函数 f(x)=ax, 若实数 m、 n 满足 f(m)>f(n), 2 则 m、n 的关系为 A.m+n<0 C.m>n
解析

( D ) B.m+n>0 D.m<n

5-1 5-1 x x ∵0< <1,∴f(x)=a =( ), 2 2

且 f(x)在 R 上单调递减, 又∵f(m)>f(n),∴m<n,故选 D.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3
|2x-4|

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.若函数 f(x)=a 减区间是 A.(-∞,2]

1 (a>0,a≠1),满足 f(1)= ,则 f(x)的单调递 9 ( B ) B.[2,+∞) D.(-∞,-2]

C.[-2,+∞)

1 1 2 解析 由 f(1)= 得 a = , 9 9

解1 析 1 1 |2x-4| ∴a=3(a=-3舍去),即 f(x)=(3) .
由于 y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增, 所以 f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.故选 B.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
x

6

7

8

9

10

1 4.若存在负实数使得方程 2 -a= 成立,则实数 a 的 x-1 取值范围是 A.(2,+∞) C.(0,2)
解析

( C ) B.(0,+∞) D.(0,1)

在同一坐标系内分别 1 作出函数 y= 和 y=2x-a x-1 的图像知,当 a∈(0,2)时符合 要求.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5.已知实数 a,b 满足等式 2 014a=2 015b,下列五个关系式: ①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有 A.1 个 B. 2 个 C.3 个 D.4 个 ( B )

解析 设 2 014a=2 015b=t,如图所示,由函数图像,可得

(1)若 t>1,则有 a>b>0; (2)若 t=1,则有 a=b=0; (3)若 0<t<1,则有 a<b<0. 故①②⑤可能成立,而③④不可能成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2
? 1 2

A组
3 4


专项基础训练
5 6 7 8 9 10

6. (0.002) -10( 5-2) 1+( 2- 3)0=________. -19

解析
1 2

1 ?1 10 2 ( ) 原式= 500 - +1 5-2

= 500 -10( 5+2)+1

=10 5-10 5-20+1=-19.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

7.若指数函数 y=ax 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是 1,

5± 1 则底数 a=________. 2
解析 若 0<a<1,则 a-1-a=1,
-1+ 5 -1- 5 即 a +a-1=0,解得 a= 或 a= (舍去). 2 2
2

若 a>1,则 a-a-1=1,即 a2-a-1=0,
1+ 5 1- 5 解得 a= 2 或 a= 2 (舍去).

5± 1 综上所述 a= 2 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

8.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实

(1,+∞) . 数 a 的取值范围是___________
解析 令 ax-x-a=0 即 ax=x+a,
若 0<a<1,显然 y=ax 与 y=x+a 的图像只有一个公共点;

若 a>1,y=ax 与 y=x+a 的图像 如图所示有两个公共点.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9.已知函数 f(x)=b· ax(其中 a,b 为常量且 a>0,a≠1)的图像经过 点 A(1,6),B(3,24). (1)试确定 f(x); 1x 1x (2)若不等式(a) +(b) -m≥0 在 x∈(-∞,1]上恒成立,求实 数 m 的取值范围.

解 (1)∵f(x)=b· ax 的图像过点 A(1,6),B(3,24),
? a=6, ?b· ∴? 3 ? a =24, ?b·

① ②

②÷ ①得 a2=4,又 a>0 且 a≠1,∴a=2,b=3,
∴f(x)=3· 2x.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9.已知函数 f(x)=b· ax(其中 a,b 为常量且 a>0,a≠1)的图像经过 点 A(1,6),B(3,24). (1)试确定 f(x); 1x 1x (2)若不等式(a) +(b) -m≥0 在 x∈(-∞,1]上恒成立,求实 数 m 的取值范围. 1x 1x 解 (2) 由 (1) 知 ( a ) + ( b ) - m≥0 在 ( - ∞ , 1]上恒成立化为 1x 1x m≤( ) +( ) 在(-∞,1]上恒成立. 2 3 1x 1x 令 g(x)=(2) +(3) , 则 g(x)在(-∞,1]上单调递减, 1 1 5 ∴m≤g(x)min=g(1)=2+3=6, 5 故所求实数 m 的取值范围是(-∞,6].
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.
解 令 t=ax (a>0 且 a≠1),

则原函数化为 y=(t+1)2-2 (t>0).
①当 0<a<1 时,x∈[ -1,1] ,t=a
x

? 1? ∈?a,a?, ? ?

? 1? 此时 f(t)在?a,a?上为增函数. ? ? ?1? ?1 ? 所以 f(t)max=f?a?=?a+1?2-2=14. ? ? ? ? ?1 ? 1 1 2 所以?a+1? =16,所以 a=-5或 a=3. ? ?

1 又因为 a>0,所以 a=3.
基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.
②当 a>1 时,x∈[-1,1],t=a
?1 ? f(t)在?a,a?上为增函数. ? ?
x

?1 ? ∈?a,a?, ? ?

此时

所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,
1 解得 a=3(a=-5 舍去).综上得 a=3或 3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1 ? ? ?x>0?, x 1.设函数 f(x)=? 若 F(x)=f(x)+x,x∈R,则 F(x) x ? ?e ?x≤0?, 的值域为 A.(-∞,1] C.(-∞,1]∪[2,+∞) B.[2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞) ( C )

解析

1 当 x>0 时,F(x)=x+x≥2;

当 x≤0 时,F(x)=ex+x,根据指数函数与一次函数的单调性, F(x)是单调递增函数,F(x)≤F(0)=1,

所以 F(x)的值域为(-∞,1]∪[2,+∞).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

5 3 1 4 2 2.若关于 x 的方程|ax-1|=2a (a>0 且 a≠1)有两个不等实根,则 a
的取值范围是 A.(0,1)∪(1,+∞) C.(1,+∞)
解析

( D ) B.(0,1) ? 1? D.?0,2? ? ?

方程|ax-1|=2a (a>0 且 a≠1)有两个实数根转化为函数 y=|ax

-1|与 y=2a 有两个交点.
① 当 0<a<1 时 , 如 图 (1) , 1 ∴0<2a<1,即 0<a<2. ②当 a>1 时,如图(2),而 y=
2a>1 不符合要求. 1 综上,0<a<2.

图(1)
题型分类 思想方法

图(2)
练出高分

基础知识

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

?3? ? ?x 2+3a 3.关于 x 的方程? ? = 有负数根,则实数 2 5-a ? ? ? 2 3? ? ? - , ? 3 4? 范围为__________ ? ? .

a 的取值

解析

由题意,得 x<0,所以

?3 ? ?x 0<? ?2? <1, ? ?

2+3a 2 3 从而 0< <1,解得- <a< . 3 4 5-a

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组

专项能力提升
4 5

3 2 1 1 3 4.已知 f(x)=( x + )x (a>0 且 a≠1). a -1 2

(1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立.
解 (1)由于 ax-1≠0,则 ax≠1,得 x≠0,

所以函数 f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}.
1 1 对于定义域内的任意 x,有 f(-x)=( -x +2)(-x)3 a -1 ax 1 1 1 1 1 3 3 3 =( + )( - x ) = ( - 1 - + )( - x ) = ( + )x =f(x). 1-ax 2 ax-1 2 ax-1 2
∴f(x)是偶函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组

专项能力提升
4 5

3 2 1 1 3 4.已知 f(x)=( x + )x (a>0 且 a≠1). a -1 2

(1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立.
(2)方法一 当 a>1 时,

对 x>0,由指数函数的性质知 ax>1,
1 1 ∴ax-1>0, x + >0. a -1 2

又 x>0 时,x3>0, 1 1 ∴x3( x + )>0,即当 x>0 时,f(x)>0. a -1 2
又由(1)知,f(x)为偶函数,故 f(-x)=f(x),
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组

专项能力提升
4 5

3 2 1 1 3 4.已知 f(x)=( x + )x (a>0 且 a≠1). a -1 2

(1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立.
当 x<0 时,-x>0,有 f(x)=f(-x)>0.
综上知当 a>1 时,f(x)>0 在定义域内恒成立.
?ax+1?x3 当 0<a<1 时,f(x)= x . 2?a -1? 当 x>0 时,1>ax>0,ax+1>0, ax-1<0,x3>0,此时 f(x)<0,不满足题意;

又 f(x)为偶函数,所以当 x<0 时, -x>0,f(x)=f(-x)<0,也不满足题意. 综上可知,a 的取值范围是 a>1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组

专项能力提升
4 5

3 2 1 1 3 4.已知 f(x)=( x + )x (a>0 且 a≠1). a -1 2

(1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立.
方法二 由(1)知 f(x)为偶函数,

∴只需讨论 x>0 时的情况.
1 1 当 x>0 时,要使 f(x)>0,即( x +2)x3>0, a -1 x a +1 1 1 即 x + >0,即 x >0, a -1 2 2?a -1?
即 ax-1>0,ax>1,ax>a0. 又∵x>0,∴a>1.∴当 a>1 时,f(x)>0.

故 a 的取值范围是 a>1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 2x x∈(0,1)时,f(x)= x . 4 +1 (1)求函数 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,1)上的单调性; (3)当 λ 取何值时,方程 f(x)=λ 在(-1,1)上有实数解?
解 (1)∵f(x)是 x∈R 上的奇函数,∴f(0)=0.
设 x∈(-1,0),则-x∈(0,1),

2-x 2x f(-x)= -x = x =-f(x), 4 +1 4 +1 2x ∴f(x)=- x , 4 +1

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 2x x∈(0,1)时,f(x)= x . 4 +1 (1)求函数 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,1)上的单调性; (3)当 λ 取何值时,方程 f(x)=λ 在(-1,1)上有实数解?
2 ? - x∈?-1,0?, ? 4x+1, ? ∴f(x)=?0, x=0, ? 2x ? x , x∈?0,1?. 4 + 1 ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
x

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 2x x∈(0,1)时,f(x)= x . 4 +1 (1)求函数 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,1)上的单调性; (3)当 λ 取何值时,方程 f(x)=λ 在(-1,1)上有实数解?
(2)设 0<x1<x2<1,

(2 x1 ? 2 x2 ) ? (2 x1 ? 2 x2 ? 2 x2 ? 2 x1 ) (2 x1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ? x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? , x1 x2 x1 x2 (4 ? 1)(4 ? 1) (4 ? 1)(4 ? 1)
∵0<x1<x2<1,∴

2 x1< 2 x2 , 2 x1 ? x2 ? 20 ? 1,
题型分类 思想方法

∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在(0,1)上为减函数.
基础知识 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 2x x∈(0,1)时,f(x)= x . 4 +1 (1)求函数 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,1)上的单调性; (3)当 λ 取何值时,方程 f(x)=λ 在(-1,1)上有实数解?
21 20 2 1 (3)∵f(x)在(0,1)上为减函数, ∴ 1 <f(x)< 0 ,即 f(x)∈(5,2). 4 +1 4 +1 1 2 同理,f(x)在(-1,0)上时,f(x)∈(-2,-5).

1 2 2 1 又 f(0)=0,当 λ∈(-2,-5)∪(5,2),
或 λ=0 时,方程 f(x)=λ 在 x∈(-1,1)上有实数解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分



更多相关文章:
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章 2.1
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章 2.1_数学_高中教育_教育专区...(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数 f(g(x...
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章 2.7
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章 2.7_数学_高中教育_教育专区。...4 高考中的函数图像及应用问题 一、已知函数解析式确定函数图像 典例:(5 分)...
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第7讲 解三角形的实际应用举例
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第7讲 解三角形的实际应用举例_数学_...· cos 60° , 整理得 y2=12 900x2-42 000x+40 000(0≤x≤2.5), ...
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第四章 4.1
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第四章 4.1_数学_高中教育_教育专区...cos θ? (2)若θ 是第二象限角,则 ___0.(判断大小) cos?sin θ? 答案...
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第五章 5.3
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第五章 5.3_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 89份文档 爆笑大撞脸 超爆笑笑话 有趣及爆笑图片汇集 绝对经典搞笑照片...
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第六章 6.1
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第六章 6.1_高三数学_数学_高中教育_教育专区。§ 6.1 数列的概念及简单表示法 1. 数列的定义 按一定次序排列的一...
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.2
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.2_高三数学_数学_高中教育_教育专区。§ 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值 1. 函数的单调性 如果在...
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第十章 10.2
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第十章 10.2_数学_高中教育_教育专区...(0.02+0.04 +0.06+0.03+x)×5=1,解得 x=0.05.产品为二等品的...
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章_3.3
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章_3.3_数学_高中教育_教育专区。§ 3.3 导数的综合应用 1. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析...
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第四章 4.5
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第四章 4.5_数学_高中教育_教育专区...第一步:将 f(x)化为 asin x+bcos x 的形式. 第二步:构造 f(x)= a2...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图