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二轮复习:2.2-函数的零点与方程专项练ppt课件(含答案)


2.2 函数的零点与方程专项练

-2-

1.零点的定义:对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的 零点. 2.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连 续曲线,且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在 c∈(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根. 3.函数的零点与方程根的关系:函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方 程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横 坐标. 4.判断函数零点个数的方法:(1)直接求零点;(2)零点存在性定 理;(3)数形结合法.

-3-

5.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法: (1)利用零点存在性定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两个熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等 式求解. (4)方程f(x)-m=0有解,m的范围就是函数y=f(x)的值域.

-4一、选择题 二、填空题

1.由表格中的数据可以判定函数f(x)=ln x-x+2的一个零点所在的区 间是(k,k+1)(k∈Z),则k的值为( C )
x ln x x-2 1 0 -1 2 0.69 0 3 1.10 1 4 1.39 2 5 1.61 3

A.1

B.2

C.3

D.4

解析: 当x取值分别是1,2,3,4,5时,f(1)=1,f(2)=0.69,f(3)=0.1,f(4)=0.61,f(5)=-1.39, ∵f(3)f(4)<0,∴函数的零点在(3,4)区间上,∴k=3,故选C.

-5一、选择题 二、填空题

2.(2017辽宁抚顺重点校一模,文5)函数f(x)=-|x|- +3的零点所在 区间为( B ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

解析:函数 f(x)=-|x|- +3 是单调减函数,∵f(1)=1>0,f(2)=1- 2<0, ∴f(1)f(2)<0,可知函数 f(x)=-|x|- +3 的零点所在区间为(1,2).

-6一、选择题 二、填空题

3.若关于x的方程4sin2x-msin x+1=0在(0,π)内有两个不同的实数根, 则实数m的取值范围是( D ) A.{x|x<-3} B.{x|x>-4} C.{x|x>5} D.{x|x>5}∪{4} 解析: 设sin x=t,则0<t≤1,则方程等价于f(t)=4t2-mt+1在(0,1]内有惟

= 2 -16 = 0, 一解,即 或f(1)=5-m<0(f(0)=1).解得m=4或m>5. 0 < < 1, 8

-7一、选择题 二、填空题

4.(2017湖北武昌1月调研,文6)已知函数f(x)=2ax-a+3,若?x0∈(1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是( A ) A.(-∞,-3)∪(1,+∞) B.(-∞,-3) C.(-3,1) D.(1,+∞) 解析: 函数f(x)=2ax-a+3,由?x0∈(-1,1),f(x0)=0,可得(-3a+3)(a+3)<0, 解得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).

5.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=ln x-1的零点依次为a,b,c,则 ( A ) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c
解析: 由f(a)=ea+a=0,得a=-ea<0;b是函数y=ln x和y=-x图象交点的 横坐标,画图(图略)可知0<b<1;由h(c)=ln c-1=0知c=e,所以a<b<c.

-8一、选择题 二、填空题

6.已知函数f(x)=ax+x-b的零点x0∈(n,n+1)(n∈Z),其中常数a,b满足 0<b<1<a,则n的值为( D ) A.2 B.1 C.-2 D.-1
解析: 由题意得函数f(x)=ax+x-b为增函数,常数a,b满足0<b<1<a,所 1 以f(-1)= -1-b<0,f(0)=1-b>0,所以函数f(x)=ax+x-b在(-1,0)内有一个 零点,故n=-1.

-9一、选择题 二、填空题

7.(2017山东潍坊一模,文10)已知函数y=f(x)满足f(2+x)+f(2-

2 -4 + 4, > 2, x)=0,g(x)= 2 若曲线 y=f(x)与 y=g(x)交于 - + 4-4, < 2, A1(x1,y 1),A2(x 2,y 2),…,An(xn,yn),则 ∑ (xi+yi)等于(
=1

B )

A.4n

B.2n

C.n

D.0

-10一、选择题 二、填空题

解析: 由题意,得f(x)的图象关于点(2,0)对称;

2 -4 + 4, > 2, 由 g(x)= 2 可得图象如下: - + 4-4, < 2, g(x)的图象也关于点(2,0)对称,即有f(x)与g(x)的交点关于点(2,0)对 称,
则 ∑ (xi+yi)= ∑ xi+ ∑ yi,即有 ∑ yi=0,
=1 i=1 =1 =1 n

-11一、选择题 二、填空题

8.(2017全国Ⅲ,文12)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点, 则a=( C )
A.1 2

B.

1 3

C.

1 2

D.1

解析: ∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1), ∴f(2-x) =(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1] =x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1) =x2-2x+a(ex-1+e-x+1), ∴f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)图象的对称轴. ∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1, 即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0, 解得a= 1 . 2

-12一、选择题 二、填空题

9.设函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,f(x)=x3,
1 3 则函数g(x)=|cos(πx)|-f(x)在区间 - 2 , 2 上的所有零点的和是(

B

)

A.2 C.-2

B.3 D.4

解析: 因为f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),所以f(-x)=f(2-x),所以f(x)的周期为2. 画出y=f(x)和y=|cos(πx)|的图象, 由图可知,g(x)共有5个零点, 其中x1+x2=0,x4=1,x3+x5=2. 所以所有零点的和为3.

-13一、选择题 二、填空题

10.设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),且
1 当x∈[-2,0]时,f(x)= 2


-1.若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)loga(x+2)=0(a>1)至少有2个不同的实数根,至多有3个不同的实数 根,则a的取值范围是( D ) A.(1,2) B.(2,+∞) 3 3 C.(1, 4) D.[ 4,2)

-14一、选择题 二、填空题

解析: ∵对任意x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),∴f(x+4)=f(x+2+2)=f(x+22)=f(x),∴f(x)是定义在R上的周期为4的函数;作函数f(x)与 y=loga(x+2)的图象如下, log (2 + 2) ≤ 3, 结合图象可知, log (2 + 6) > 3, 3 解得 4≤a<2,故选 D.

-15一、选择题 二、填空题

e2 11.已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0),若方程g(x)-f(x)=0有

两个相异实根,则m的取值范围为( A ) A.(-e2+2e+1,+∞) B.(-∞,-e2+2e+1) C.(-e2+1,2e) D.(2e-1,e2+1)

-16一、选择题 二、填空题

解析: 若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即函数y=g(x)与y=f(x)的图

象有两个不同的交点,作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象.


e2

∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,
其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2. 故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,y=g(x)与y=f(x)的图象有两个交 点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. ∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).

-17一、选择题 二、填空题

12.(2017辽宁鞍山一模,文12)已知定义域在R上的函数f(x)满足 1 f(x+1)+f(1-x)=2.当x>1时,f(x)= -1 .则关于x的方程f(x)+2a=0没有负 实根时实数a的取值范围是( A )

A.(-∞,-1]∪ - , + ∞ 2 B.(0,1) C. -1,D. -2 ,1 2 1 2

1

∪ - ,+∞ ∪ - ,0
2 2 1

1

-18一、选择题 二、填空题

解析: ∵f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2,∴f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,

当 x>1 时 f(x)=

1

-1

,画出其图象,当 x<1 时的图象由 f(x)=

1

-1

关于点

(1,1)中心对称得到, 由图可知当x<1时f(x)过点(0,1)且f(x)<2,方程f(x)+2a=0没有负实根, 即直线y=-2a与函数y=f(x)的图象的交点的横坐标不能为负,由图可 1 知,-2a≤1或-2a≥2,解得a≥- 2 或a≤-1.

-19一、选择题 二、填空题

2 , ≤ 0, 1 13.函数 f(x)= 则方程 f(-x)= 的解是- 2 或 1 . 2 log2 , > 0,

解析: 当 x>0 时,-x<0,f(-x)= ?2-x= ,解得 x=1; 当 x<0 时,-x>0,f(-x)= ?log2(-x)= ,解得 x=- 2.
2 2 1 2 1 2

1

1

-20一、选择题 二、填空题

14.(2017河北张家口4月模拟,文14)已知函数f(x)是定义在R上的奇 函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2 017x+log2 017x,则f(x)在R上的零点的 个数为3 .
解析: 当 x>0 时,f'(x)=2 017 · ln 2 017+
x

1 ln2 017

>0,

∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,
取 x=2 017
-2 017

,则 f(2 017

-2 017

)=2 017

1 2 017

-2 017<0,又 f(1)=2 017> 0,

∴f(x)在(0,+∞)上有一个零点,根据奇函数关于原点对称,f(x)在(-∞,0)
上也有一个零点, 又f(0)=0, ∴函数f(x)在R上有3个零点.

-21一、选择题 二、填空题

4, ≥ , 15.已知函数f(x)= 2 + 4-3, < , 若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个 不同的零点,则实数m的取值范围是(1,2] .
解析: ∵函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点, ∴g(x)在[m,+∞)上有一个零点, 在(-∞,m)上有两个零点,

4-2 ≥ 0, ∴ -1 < , 解得 1<m≤2. 2 + 2-3 > 0,

-22一、选择题 二、填空题

16.已知函数f(x)=ex-e-x,下列命题正确的有①②④ .(写出所有正确 命题的编号) ①f(x)是奇函数; ②f(x)在R上是单调递增函数; ③方程f(x)=x2+2x有且仅有1个实数根; ④如果对任意x∈(0,+∞),都有f(x)>kx,那么k的最大值为2.

-23一、选择题 二、填空题

解析: 对于①,f(-x)=e-x-ex=-f(x),故①正确; 对于②,f'(x)=ex+e-x>0,故f(x)在R递增,故②正确; 对于③,令g(x)=ex-e-x-x2-2x,由g(0)=0,得方程一根x=0,

又 g(1)=e- -3<0,g(5)=e5- 5-35>0,则方程有一根在(1,5)之间,故③错 误;
e e

1

1

对于④,令h(x)=ex-e-x-kx,且h(0)=0,若h(x)>0,则h'(x)=ex+e-x-k>0恒成 立,
即 k<e +e =e + 恒成立,而 x∈(0,+∞)时,e + >2,即 k 的最大值为
e e
x -x x

1

x

1

2,故④正确. 故答案为①②④.


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