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福建省福州三中2013届高三高考模拟数学(文)试题


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福州三中 2013 届高三高考模拟考 数学(文科)试卷
本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟 注意事项: (1) 答卷前,考生务必用 0.5mm 黑色签字笔将自己的班级、姓名、座号填写在试卷和答 卷的密封线外。 (2) 请考生认真审题,将试题的答案正确书写在答卷上的指定位置,并认真检查以防止 漏答、错答。 (3) 考试中不得使用计算器。 参考公式: 球的表面积公式 S ? 4? R 球的体积公式 V ?
2

棱柱的体积公式 V ? Sh

4 3 1 棱锥的体积公式 V ? Sh ?R 3 3 1 棱台的体积公式 V ? h( S1 ? S1S2 ? S2 ) 3 其中 S1 , S 2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高 其中 R 表示球的半径,其中 S 表示棱柱(锥)的底面积, h 表示棱柱(锥)的高 如果事件 A, B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? (?1, 2), 集合 B ? {x | ? x ? 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ? (
2

) D. (?1, 2)

A. (?1,1)

B. (?3, 2)

C. (?1,3) )

2.设 i 是虚数单位,则复数 z ? (

A.-1 B.1 C. ?i 2 3. 命题“ ?x ? R ,都有 ln(x +1)>0”的否定为( ) (A) ?x ? R ,都有 ln(x +1)≤0
2

1 ? i 2013 ) =( 1? i

D. i

2 (B) ?x0 ? R ,使得 ln(x0 +1)>0

(C) ?x ? R ,都有 ln(x2+l)<0

4.已知 l , m 是直线, ? 是平面,且 m ? a ,则“ l ? m ”是“ l ? ? ” 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.阅读程序框图(如右图) ,如果输出的函数值在区间[ 入的实数 x 的取值范围是( ) A. (??, ?2] B.[-2,0]

(D) ?x0 ? R ,使得 ln(x02+1)≤0

1 ,1]上,则输 4
D. [2, ??) )

C.[0,2]

2 6. 在等差数列 {a n } 中, a4 ? a7 ? 2 , 则数列 {a n } 的前 9 项和等于 (

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A.3 B. 9 C.6 D.12 7.设 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),..., ( xn , yn ) ,是变量 x 和 y 的 n 个 样本点,直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到 的线性回归方程(如图) ,以下结论中正确的是( ) A. x 和 y 正相关 B. x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C. x 和 y 的相关系数在-1 到 0 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 8. 已知函数 y=2sin2( x ? 方程是( )

?

4

) ? cos 2 x, 则函数的最小正周期 T 和它的图象的一条对称轴

3? 8 8 ? 3? C.T= ? ,一条对称轴方程为 x ? D.T= ? ,一条对称轴方程为 x ? 8 8 g ( m ) 9 . 函 数 y ? l o m x ? 1m ? 0 , ? 的1图 像 恒 过 定 点 M , 若 点 M 在 直 线 1 4 ) a x? b y 1 ( a 0 , b 上,则 ? 的最小值为( ? ? ? 0) a b A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
A. ? , T=2 一条对称轴方程为 x ? B. ? , T=2 一条对称轴方程为 x ? 10.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是( A.5 B.6 C.7 D.8 11.函数 )

?

y ? esin x ? x 的图象大致为(



12. 已知 i 是虚数单位, e ? cos ? ? i sin ? , 记 其中 e ? 2.718...,? ?R , 给出以下结论: ①e
?i

?i

?1 ? 0

②e

?? i

?

1 e? i
?

③e

?1i

? e?2i ? e(?1 ??2 )i ,则其中正确结论的个

数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在相应横线上. 13. 已知向量 a ? (e , ?1), 向量 b ? (1, x ? 1) ,设函数 f ( x) ? a ? b, 则函数 f ( x) 的零点 个数为 .
x

?

? ?

14.若圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0(m ? 3) 的一条弦 AB 的中点为 P(O,1) ,则垂直于 AB 的直径所在直线的方程为 .
2 2

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? x ? y ? 1, ? 15.若 x,y 满足 ? x ? y ? ?1,且z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,则实数 a 的 ?2 x ? y ? 2, ?
取值范围是 . 16.已知命题:在平面直角坐标系 xoy 中, ?ABC 的顶点 A(? p,0) 和 C ( p,0) ,顶点 B 在椭圆

x2 y2 sin A ? sin C 1 ? 2 ? 1(m ? n ? 0, p ? m 2 ? n 2 ) 上,则 ? (其中 e 为 2 sin B e m n

椭圆的离心率) 试将该命题类比到双曲线中, . 给出一个真命题是 . 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17 . 本 题 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? (

1 2 1 x ? x , 数 列 ? an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 点 2 2

* (n , Sn )(n? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图象上.

(I) 求数列 {an } 的通项公式 an ; (II)若 bn ?

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2n

18. 本题 12 分) ( 某市为了配合宣传新 《道路交通法》 举办有奖征答活动,随机对该市15~65 岁的人群抽样了 n 人,回答问题统计结果如图表所示.(左图是样本频率分布直方图, 右表是对样本中回答正确人数的分析统计表).

(Ⅰ)分别求出 n, a, b, x, y 的值; (Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,有奖征答活动组委会决定 在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求获得幸运奖的 2 人来自不同年龄组的 概率.

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19. (本题 12 分) 如图三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧棱与底面垂直,?ABC 是等边三角形, 点 D 是 BC 的中点. (Ⅰ)证明: A1 B / / 平面 C1 AD ; (Ⅱ)若在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 内部(含表面)随机投放一个点

P ,求点 P 落在三棱锥 C1 ? A1 AD 内部(含表面)的概率.

20.(本题 12 分) 如图所示扇形 AOB ,半径为 2 , AOB ? ?

?

3 过半径 OA 上一点 C 作 OB 的平行线,交圆弧 AB 于点 P . (Ⅰ)若 C 是 OA 的中点,求 PC 的长; (Ⅱ)设 ?COP ? ? ,求△ POC 面积的最大值及此时 ? 的值.

,

21. (本题 12 分)已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 过点 M (2,1) .

3 且经 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 设平行于 OM 的直线 l 交椭圆 E 于两个不同点 A、B ,直线 MA 与 MB 的斜率分别 为 k1 、k2 ; ① 若直线 l 过椭圆的左顶点,求 k1 、k2 的值; ② 试猜测 k1 、k2 的关系;并给出你的证明.

22. (本题 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 3x .
2

(I)求函数 f ( x) 的极值;

1 2 (Ⅲ)记函数 y= f ( x) 的图象为曲线 ? .设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 ? 上的不同两 x ? x2 点.如果在曲线 ? 上存在点 M ( x0 , y0 ) ,使得:① x0 ? 1 ;②曲线 ? 在点 M 2 处的切线平行于直线 AB ,则称函数 f ( x) 存在“中值伴随切线”,试问:函数 f ( x) 是否存在“中值伴随切线”,请说明理由.
(Ⅱ)证明:存在 m ? (1, ??) ,使得 f (m) ? f ( ) ;

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福州三中 2013 届高三高考模拟考 数学(文史类)参考答案
一.选择题:

BDDAB, CCDBC, BD
二.填空题: 13.1 14. x ? y ? 1 ? 0 15. a ? (?4, 2)

16.在平面直角坐标系 xoy 中, ?ABC 的顶点 A(? p,0) 和 C ( p,0) ,顶点 B 在双曲线

s in A ? s in C 1 x2 y2 ? (其中 e 为双曲 ? 2 ? 1(m ? n ? 0, p ? m 2 ? n 2 ) 上,则 2 s in B e m n
线的离心率) . 三.解答题: 17.(I) ?点 (n, S n )(n ? N ) 在函数 y ? f ( x) 的图象上,
*

1 2 1 n ? n, 即 2Sn ? n 2 ? n , n ? 1 时 a1 ? 1; 2 2 n ? 2 时 2Sn ?1 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ,故 2( Sn ? Sn ?1 ) ? 2n, 即 an ? n . 1 (II) ? bn ? n( )n , 2 ? Sn ?
1 1 1 1 ? 2( ) 2 ? ... ? (n ? 1)( ) n ?1 ? n( ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? Tn ? ? ( ) 2 ? 2( )3 ? ...... ? (n ? 1)( ) n ? n( ) n ?1 2 2 2 2 2 ?Tn ?

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 2 1 n 1 n ?1 2 2 ? n( 1 ) n ?1 ? 1 ? ( 1 ) n ? n( 1 ) n ?1 ? Tn ? ? ( ) ? ... ? ( ) ? n( ) ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 1 ?Tn ? 2 ? (n ? 2)( ) n 2 5 18.(Ⅰ)由第 1 组数据知该组人数为 ? 10 ,因为第 1 组的频率是 0.01?10 ? 0.1 , 0.5 10 故n ? 因为第 2 组人数为 0.02 ?10 ?100 ? 20 , a ? 2 ? 1 ? 故 ; ? 100 ; 09 8 0 . 0.1
因为第 3 组人数为 0.03?10 ?100 ? 30 ,故 x ?

27 ? 0.9 ;因为第 4 组人数为 30

0.025 ?10 ?100 ? 25 , 故 b ? 2 5 ? 0 . 3?6; 因 为 第 5 组 人 数 为 9 0.015 ?10 ?100 ? 15 ,故 y ?
3 ? 0.2 . 15

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(Ⅱ)第 2,3,4 组回答正确的人的比为 18: 27 : 9 ? 2 : 3:1 ,故这 3 组分别抽取 2 人,3 人, 1 人.设第 2 组为 A1 , A2 ,第 3 组为 B1 , B2 , B3 ,第 4 组为 C1 ;则随机抽取 2 人可能是

( A1 , A2 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1, B3 ), ( A1 , C1 ),( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ),( A2 , B3 ),( A2 , C1 ),

( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , B3 ), ( B2 , C1 ), ( B3 , C1 ) ,共 15 种.其中来自不同年龄
组的有 ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , B3 ), ( A1 , C1 ),( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ),( A2 , B3 ),( A2 , C1 ),

( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), ( B3 , C1 ) 共 11 种,
故获得幸运奖的 2 人来自不同年龄组的概率是

11 . 15

19.(Ⅰ)连接 AC ,交 AC1 于点 E ,连接 DE ,在 ? A1BC 中 DE 是中位线,故 1

DE / / A1B ,? DE ? 面C1 AD, A1B ? 面C1 AD ? A1 B / / 平面 C1 AD .
(Ⅱ)设底面边长为 a ,侧棱长为 h ,则 VABC 过 D 作 AC 的 垂 线 交 AC
? 11 ABC

1

3 2 a h ,因为点 D 是 BC 的中点, 4 3 于 F , 有 DF = a , 故 4 ?

VC1 ?

A1

? DV? A

D 1

1 ? A? 1 3

A C

3 1 ? a ,所以点 P 落在三棱锥 C1 ? A1 AD 内部(含 a h 4 2

表面)的概率

20.(Ⅰ)? CP / /OB, ?AOB ?

2? ,若 C 是 OA 的中点,则在 ?OPC 3 3 2 2 2 2 中, OP ? OC ? CP ? 2OC ? CP ? cos ?OCP, 即 4 ? 1 ? CP ? CP ,解得

1 . 6

?

,??OCP ?

CP ?

13 ? 1 . 2

(Ⅱ) 由正弦定理

OC sin( ? ? ) 3

?

?

4 3 ? OP sin( ? ? ), 所以 , OC ? 2? 3 3 sin 3

1 S?OCP ? OP ? OC ? sin ? 2 1 4 3 ? 4 3 3 1 ? ?2? sin( ? ? ) ? sin ? ? ( cos ? ? sin ? ) ? sin ? 2 3 3 3 2 2
? 2 cos ? sin ? ? 2 3 2 3 2 3 3 1 3 sin ? ? sin 2? ? (1 ? cos 2? ) ? ( sin 2? ? cos 2? ) ? 3 3 3 2 2 3

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2 3 ? 3 ? ? ? 5? 3 sin(2? ? ) ? , ? ? (0, ) ,? 2? ? ? ( , ) ? S?OPC ? (0, ) . 3 6 3 3 6 6 6 3 ? 3 当? ? 时, max S ? . 6 3 ? 2 a 2 ? b2 3 ? ( )2 ?e ? 2 x2 y 2 ? a 2 , 21. (Ⅰ)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1,依题意有: ? 2 a b ?2 ? 1 ?1 ? a 2 b2 ? ?
解得 a ? 8, b ? 2 ,所以椭圆 E 的方程为
2 2

x2 y2 ? ? 1. 8 2

(Ⅱ) ①若直线 l 过椭圆的左顶点且直线 l 平行于 OM ,则直线的方程是 l : y ?

1 x? 2 , 2

1 ? ?y ? 2 x ? 2 ? x1 ? 0 ? x ? ?2 2 ? ? ? 或? 2 联立方程组 ? 2 ,解得 ? , 2 x y ? y1 ? 2 ? y2 ? 0 ? ? ? ? ?1 ?8 2 ? 2 ?1 2 ?1 , k2 ? 故 k1 ? ? . 2 2 1 ②因为直线 l 平行于 OM ,设在 y 轴上的截距为 b ,又 kOM ? ,所以直线 l 的方程为 2 1 y ? x?b. 2 1 ? ? y ? 2 x?b ? 2 2 由 ? 2 得 x ? 2bx ? 2b ? 4 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) , 则 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ? y ?1 y ?1 x1 ? x2 ? ?2b, x1 x2 ? 2b 2 ? 4 . 又 k1 ? 1 , k2 ? 2 , x1 ? 2 x2 ? 2 y ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? 故 k1 ? k2 ? 1 . x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 1 1 又 y1 ? x1 ? b, y2 ? x2 ? b , 2 2 1 1 所以上式分子 ? ( x1 ? b ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? b ? 1)( x1 ? 2) 2 2 ? x1 x2 ? (b ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(b ? 1) ? 2b 2 ? 4 ? (b ? 2)(?2b) ? 4(b ? 1) ? 0 ,
故 k1 ? k2 ? 0 .所以直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补. 22. (I)

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f '( x) ?

1 ?4 x 2 ? 3x ? 1 ?( x ? 1)(4 x ? 1) ? 4x ? 3 ? ? ( x ? 0) , f '( x) ? 0 ? x ? 1, x x x x ? (0,1) 时 f '( x) ? 0, x ? (1, ??) 时 f '( x) ? 0, 故 x ? 1 时 f ( x) 有极大值 1,无极小值.

(Ⅱ)构造函数:

1 1 3 F ( x) ? f ( x) ? f ( ) ? ln x ? 2 x 2 ? 3x ? (? ln 2 ? ? ) ? ln x ? 2 x 2 ? 3x ? ln 2 ? 1 , 2 2 2 1 由 (I) f (1) ? f ( ) , F 1 0 , F ( ) ?? e ? e ?l2 ? e 2 ? n2 ?0 ? 知 故 ( ? 又 e , 2 23 n ( ) le 3 ) 2 1 所以函数 F ( x) 在区间 (1, e) 上存在零点.即存在 m ? (1, ??) ,使得 f (m) ? f ( ) . 2
(Ⅲ)
2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 ? 2( x12 ? x2 ) ? 3( x1 ? x2 ) ln x1 ? ln x2 ? ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 3 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x ?x 1 2 ? f '( x0 ) ? ? 4 x0 ? 3 ? ? 4 1 2 ?3, x0 x1 ? x2 2 假设存在“中值伴随切线” ,则有 k AB ? f '( x0 ) ,可得

k AB ?

x1 ?1 ln x1 ? ln x2 x1 x1 ? x2 x1 x2 2 , ? ? ln ? 2 ? ? ln ? 2 ? x1 x1 ? x2 x1 ? x2 x2 x1 ? x2 x2 ?1 x2 x t ?1 t ?1 令 1 ? t ,则 ln t ? 2 ? ,构造 g (t ) ? ln t ? 2 ? , x2 t ?1 t ?1
1 4 (t ? 1) 2 ? ? 0 恒成立,故函数 g (t ) 单调递增,无零点, t (t ? 1)2 t (t ? 1)2 所以函数 f ( x) 不存在“中值伴随切线” .
有 g '(t ) ? ?

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