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河南省鹿邑三高10-11学年高二数学上学期(数列)期中复习试题新人教A版【会员独享】



鹿邑三高高二期中复习试题(数列)
一.选择题 (每小题5分,共 60 分) 1. 已知等差数列{an}的前 20 项的和为 100,那么 a7·a14 的最大值为 A.25 B.50 C.100 D.不存在

2. 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S7=35,则 a4= A.8 B.7 C.6 D.5

3. 等比数列 {a n } 中, a 3 ? A.64 B. ?8

1 ,a9 ? 8 ,则 a5 ? a6 ? a7 的值为 2

C.8

D. ?8

4. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列。若 a1 =1,则 s4 = A.7 B.8 C.15 D.16

5. 已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于. A.-4 B.-6 C.-8 D.-10

6. (文)设数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? n 2 ,则 a 8 的值为 A.15 B.16 C.49 D.64

7. 在等差数列 {an }中, a1 ? a4 ? q7 ? 45, a2 ? a5 ? a8 ? 29, 则a3 ? a6 ? a9 ? A.13 B.18 C.20 D.22

8. 在等差数列{an}中,若 a4+a6 =12, S n 是数列{an}的前 n 项和,则 S9 的值 为 A.48 B.54 C.60 D.66

9. 等比数列{an}中, a6 ? a2 ? 34,a6 ? a2 ? 30 ,那么 a4等于 A. 8 B. 16 C. ±8 D. ±16

1 10. (文)在等比数列 ?an ? ? n ? N ? ? 中,若 a1 ? 1, a4 ? ,则该数列的前 10 项和为 8 1 1 1 1 A. 2 ? 8 B. 2 ? 9 C. 2 ? 10 D. 2 ? 11 2 2 2 2

11. 有穷数列 1, A.3n+7

2 3, 2 6, 29, B.3n+6

…,2 3 n + 6 的项数是 C.n+3 D.n+2

12. 若 a、b、c 成等差数列,则函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点个数是 A.0 B.1 C.2
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D.不确定

二. 填空题 (每小题 5 分,共 20 分) 13. (文)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,若 a6 ? s3 ? 12 ,则
an ?

..

, 3, 14. (文)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 10n(n ? 1 2,?) ,则此数列的通项公式为

________. 15. 已知 1, x , 9 成等比数列,则 x 等于___________. 16. 设 {an } 是等比数列,若 a1 ? 1 , a4 ? 8 ,则 q ? 6 项的和 S 6 ? . ,数列 {an } 的前

三.解答题 (共 70 分) 17. 已知数列{an}满足:a1= (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n,不等式 a1·a2·……an?2·n!
3na n-1 3 ,且 an= (n ? 2,n ? N?) 2a n-1+n-1 2

[来源:高&考%资(源#网]

18. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源, 为持续利用这一资源, 需从宏观上考察 其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量, n∈N*,且 x1>0.不考虑其它因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比,死亡量与 xn2 成正比,这些比例系数依次为正常数 a,b,c. (Ⅰ)求 xn+1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且仅当 x1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持
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不变?(不要求证明) (Ⅲ)设 a=2,b=1,为保证对任意 x1∈(0,2) ,都有 xn>0,n∈N*,则捕捞强 度 b 的最大允许值是多少?证明你的结论.

19. 数列{ a n }的前 n 项和 S n 满足: Sn ? 2an ? 3n(n ? N * ) . (1)求数列{ a n }的通项公式 a n ; (2)数列{ a n }中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适 合条件的项;若不存在,请说明理由.

20. 已知等差数列{an}的公差不为零,首项 a1 ? 2 且前 n 项和 为S n 。 (I)当 S 9 ? 36 时,在数列{an}中找一项 am (m ? N ) ,使得 a3 ,a9 ,am 成为等比数 列,求 m 的值。 (II)当 a3 ? 6 时,若自然数 n1 ,n2 ,? ,nk ,? 满足 3 ? n1 ? n2 ??? nk ?? 并且
a1 ,a 3 ,a n1 ,a n2 ,? ,a nk ,? 是等比数列, 求nk 的值。

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21. 已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , S n ? (an ? 1)(n ? N ? ).
1 3

(Ⅰ)求 a1 , a 2 ; (Ⅱ)求证数列 ?a n ?是等比数列。

22. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? n 2 (n ? N * ) ,数列 {bn } 为等比数列,且满足

b1 ? a1 , 2b3 ? b4
(1)求数列 {a n } , {bn } 的通项公式; (2)求数列 {a n bn } 的前 n 项和。

鹿邑三高高二期中复习试题(数列)
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参考答案(仅供参考)
一.选择题答案 1 A 2 D 3 D 4 C 5 B 6 A 7 A 8 B 9 A 10 B 11 C 12 D

二. 填空题答案: 13. 2n 14. an ? Sn ? Sn?1 = 2n ?11 . 15. ?3 16. 2 , 63

三.解答题答案: 17. (1)将条件变为:1-
n 1 n-1 n =(- ,因此{1- }为一个等比数列, 1 ) 3 a n-1 an an

n ? 3n 1 n 1 1 1 其首项为 1- = ,公比 ,从而 1- = n ,据此得 an= n (n?1) a1 an 3 -1 3 3 3
n! (2)证:据 1?得,a1?a2?…an= 1 1 1 ( - ) 1- 2 )…( - n ) 1 ? ( 1 3 3 3

为证 a1?a2?……an?2?n!
1 1 1 1 只要证 n?N?时有 1- ) 1- 2 )…( - n ) …………2? ? ( ? ( 1 3 3 3 2

显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个 n?N?,有
1 1 1 1 1 1 ?1-( + 2 +…+ n )…………3?[来源:高&考%资 ( - ) 1- 2 )…( - n ) 1 ? ( 1 3 3 3 3 3 3

(源#网] 用数学归纳法证明 3?式: (ⅰ)n=1 时,3?式显然成立, (ⅱ)设 n=k 时,3?式成立,

1 1 1 1 1 1 即 1- ) 1- 2 )…( - k ) ?1-( + 2 +…+ k ) ( ? ( 1 3 3 3 3 3 3

则当 n=k+1 时,
1 1 1 1 1 1 1 1 ?〔1-( + 2 +…+ k ) 〕?(1- k+1 ) ( - ) 1- 2 )…( - k ) 1- k+1 ) 1 ? ( ? 1 ? ( 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 =1-( + 2 +…+ k )- k+1 + k+1 ( + 2 +…+ k ) 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 ?1-( + 2 +…+ k + k+1 )即当 n=k+1 时,3?式也成立。 3 3 3 3

故对一切 n?N?,3?式都成立。

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1 1 n 〔 -( ) 1 〕 1 1 1 1 1 1 3 利用 3?得,1- ) 1- 2 )…( - n ) ( + 2 +…+ n ) ?1- =1- 3 ( ? ( 1 1 3 3 3 3 3 3 1- 3 1 1 n 1 1 1 n 1 =1- 〔 -( ) 故 2?式成立,从而结论成立。 1 〕= + ( ) ? 2 3 2 2 3 2
18. (I)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡 量为
2 2 cxn ,因此x n ?1 ? x n ? axn ? bxn ? cxn , n ? N * .(*)

即x n ?1 ? x n (a ? b ? 1 ? cxn ), n ? N * .(**)
a ?b . c

(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1, n∈N*,从而由(*) 式得 xn (a ? b ? cxn )恒等于0, n ? N *,所以a ? b ? cx1 ? 0.即x1 ? 因为 x1>0,所以 a>b. 猜测:当且仅当 a>b,且 x1 ?
a ?b 时,每年年初鱼群的总量保持不变. c

(Ⅲ)若 b 的值使得 xn>0,n∈N*

由 xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知

0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有 0<x1<3-b. 即 0<b<3-x1. 而 x1∈(0, 2),所以 b ? (0,1] 由此猜测 b 的最大允许值是 1.

下证 当 x1∈(0, 2) ,b=1 时,都有 xn∈(0, 2), n∈N* ①当 n=1 时,结论显然成立. ②假设当 n=k 时结论成立,即 xk∈(0, 2), 则当 n=k+1 时,xk+1=xk(2-xk)>0. ≤1<2, 所以 xk+1∈(0, 2),故当 n=k+1 时结论也成立. 由①、②可知,对于任意的 n∈N*,都有 xn∈(0,2). 综上所述,为保证对任意 x1∈(0, 2), 都有 xn>0, n∈N*,则捕捞强度 b 的最大允 许值是 1. 19. (1)当 n ? N * 时有: S n ? 2a n ? 3n,? S n?1 ? 2a n?1 ? 3(n ? 1), [来源:高&考%资(源 #网] 两式相减得: an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 3,
? an?1 ? 2an ? 3 ,…………………………2’

又因为 xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1

∴ an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ,又 a1 ? S1 ? 2a1 ? 3 ,∴ a1 ? 3, a1 ? 3 ? 6 ? 0 .

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∴数列{ a n ? 3 }是首项 6,公比为 2 的等比数列. 从而 an ? 3 ? 6 ? 2n ?1 ,∴ a1 ? 3 ? 2n ? 3 .………………………………………………6’ (2)假设数列{ a n }中存在三项 a r , a s , at , (r ? s ? t ) ,它们可以构成等差数列,
a r ? a s ? at ,?只能是 ar ? at ? 2a s ,………………………………………………8’ ? (3 ? 2 r ? 3) ? (3 ? 2 t ? 3) ? 2(3 ? 2 s ? 3) ,

即 2 r ? 2t ? 2 s ?1 .∴ 1 ? 2t ?r ? 2s ?1?r.(*) ……………………………………………10’

? r ? s ? t , r 、 s 、 t 均为正整数,
∴(*)式左边为奇数右边为偶数,不可能成立. 因此数列{ a n }中不存在可以构成 等差数列的三项.…………………………………………… 12’ 20. (I)?数列{an}的公差 d ? 0,a1 ? 2,S9 ? 36
?36 ? 9 ? 2 ? 1 1 ? 9 ? 8d ,? d ? , a3 ? 3,a9 ? 6 ? 2 2

2 由 a3,a9,am 成等比数列,则 a 9 ? a 3 ? a m ,得 a m ? 12

又 12 ? 2 ? (m ? 1) ?

1 2

? m ? 21

(II)?{an } 是等差数列, a1 ? 2 ,a3 ? 6, ? d ? 2 ,? an ? 2n 又 a1 ,a 3 ,a n1 成等比数列,所以公比 q ? 3 ,? a nk ? a1 ? q k ?1 ? 2 ? 3k ?1 又 a nk 是等差数列中的项,? a nk ? 2nk , ? 2nk ? 2 ? 3k ?1 ,? nk ? 3k ?1 ( k ? N )
1 1 1 21. 解: (Ⅰ)由 S1 ? (a1 ? 1) ,得 a1 ? (a1 ? 1) ∴ a1 ? ? 3 3 2 1 1 1 又 S 2 ? (a 2 ? 1) ,即 a1 ? a 2 ? (a 2 ? 1) ,得 a 2 ? . 3 3 4 1 1 (Ⅱ)当 n>1 时, a n ? S n ? S n?1 ? (a n ? 1) ? (a n?1 ?1), 3 3



an 1 1 1 ? ? , 所以 ?a n ?是首项 ? ,公比为 ? 的等比数列. a n ?1 2 2 2

(12 分)

22. (1)由已知 S n ? n 2 ,得 a1 ? S1 ? 1 当 n ≥2 时, a n ? S n ? S n?1 ? n 2 ? (n ? 1) 2 ? 2n ? 1
用心 爱心 专心

1分 3分

所以 a n ? 2n ? 1(n ? N * ) 由已知, b1 ? a1 ? 1

5分

设等比数列 {bn } 的公比为 q ,由 2b3 ? b4 得 2q 2 ? q 3 ,所以 q ? 2 所以 bn ? 2 n ?1 8分

7分

(2)设数列 {a n bn } 的前 n 项和为 Tn , 则 Tn ? 1 ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 2 ? ... ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ,
2Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 2 3 ? ... ? (2n ? 1) ? 2 n ,

两式相减得 ? Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ... ? 2 ? 2 n?1 ? (2n ? 1) ? 2 n
? 1 ? 2(2 ? 2 2 ? ... ? 2 n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 4(2 n?1 ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 n ? ?(2n ? 3) ? 2 n ? 3

10 分

11 分 12 分 13 分

所以 Tn ? (2n ? 3)2 n ? 3

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