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湖北省襄阳五中、宜昌一中、龙泉中学2016届高三上学期10月联考数学文试卷



襄阳五中、钟祥一中、夷陵中学 2016 届高三十月联考
文科数学
命题学校:夷陵中学 命题人:夏咏芳 审题人:赵婧 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.设集合U ? ? , 1,2,3,4?错误!未找到引用源。, M ? x x 2 ? 5 x ? p ? 0 错误!未找到引用源。 若 C

U M ? ?2,3? A.-6 ,则实数 p 的值为( 错误!未找到引用源。 B.-4 C.4 ) D.6 ( )

?

?

2.若复数 z 与其共轭复数 z 满足: z ? z ? 2i ,则复数 z 的虚部为 A.1

B. i C .2 D.-1 2? 3.已知 e1 , e2 是夹角为 的两个单位向量,若向量 a ? 3e1 ? 2e2 ,则 a ? e1 ? ( 3 A.2 B.4 C .5 D.7

)

4.教师想从 52 个学生中,利用简单随机抽样的方法,抽取 10 名谈谈学习社会主义核心价值 观的体会, 一小孩在旁边随手拿了两个号签, 教师没在意, 在余下的 50 个号签中抽了 10 名 学生,则其中的李明同学的签被小孩拿去和被教师抽到的概率分别为 ( )

1 1 A. , 26 5
A.命题“ ?x ? R, x
2

1 5 B. , 26 26

1 C. ,0 26
(
2

1 1 D. , 25 5
)

5.下列选项中,说法正确的是

? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 0 ” B.命题“ p ? q 错误!未找到引用源。为真”是命题“ p ? q 为真” 的充分不必要条件 2 2 C.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”是假命题 ? 1 D.命题“在 ?ABC 错误!未找到引用源。中,若 sin A ? ,则 A ? ”的逆否命题为真 6 2
命题 6. 如图, 四面体 ABCD 的四个顶点是由长方体的四个顶点 (长方体是虚拟图形, 起辅助作用) , 则四面体 ABCD 的三视图是(用①、②、③、④、⑤、⑥代表图形) ( )

(第 6 题图)

7.下列命题中,错误的是 A.平行于同一平面的两个不同平面平行

(

)

B.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交 C.如果两个平面不垂直,那么其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直 D.若直线不平行于平面,则此直线与这个平面内的直线都不平行 8.定义某种运算 S ? a ? b ,运算原理如图所示,则式 子: sin A. 3 B. 2 3 C. 3 D.4 9.将函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )( ? ? 是 输出 a ? (b ? 1)

5π 1 1 ?1 ? ln ? ( ) 2 ? lg100 的值是 ( 3 e 3

开始 ) 输入数 a,b

a?b
否 输出 a ? (b ? 1)

?
2

) 的图象向左平移

结束 )

? ? ?? 个单位长度后,所得函数 g ( x) 为奇函数,则函数 f ( x ) 在 ?0, ? 上的最小值( 6 ? 2? 3 3 1 1 A. ? B. ? C. D. 2 2 2 2
项和 S9 = A.9 ( B.10 ) C.18 D.27
[来源:gkstk]

10.已知数列 {an } ,若点 (n, an )(n ? N * ) 在经过点(5,3)的定直线 l 上,则数列 {an } 的前 9

11.一天,小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯,桶子和玻璃杯的形状都是圆 柱形,桶口的半径是杯口半径的 2 倍, 其主视图如左图所示.小亮决定做个试验:把塑料 桶和玻璃杯看作一个容器,对准杯口匀速注水,注水过程中杯子始终竖直放置,则下列能 反映容器最高水位 h 与注水时间 t 之间关系的大致图象是 ( )

A.

B.

C.

D.

12.若以曲线 y ? f ( x) 上任意一点 M1 ( x1 , y1 ) 为切点作切线 l1 ,曲线上总存在异于 M 的点

N ( x2 , y2 ) ,以点 N 为切点做切线 l 2 ,且 l1 // l2 ,则称曲线 y ? f ( x) 具有“可平行性”, 现有下列命题: ①偶函数的图象都具有“可平行性”; ②函数 y ? sin x 的图象具有“可平
行性”;③三次函数 f ( x) ? x ? x ? ax ? b 具有“可平行性”,且对应的两切点 1 ? 2 x? ( x ? m) 的 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 的横坐标满足 x1 ? x2 ? ;④要使得分段函数 f ( x) ? ? x ? 3 ?e x ? 1 ( x ? 0) ?
3 2

图象具有“可平行性”,当且仅当实数 m ? 1 .

以上四个命题真命题的个数是 A.1 B.2

( C .3

) D.4
源:

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.不等式 log 1 (2 ? x) ? 2 的解集为
2

.

? x ? y ? 8, ?2 y ? x ? 4, ? 14. 若变量 x, y 满足约束条件 ? 且 z ? 5 y ? x 的最大值为 a ,最小值为 b ,则 a ? b 的 ? x ? 0, ? ? y ? 0,
. x 15. 已知偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 0 , 且当 x ? [0,1] 时,f ( x) ? x ? e , 若在区间 [ ?1,3] 内 , 函 数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? 2k 有 且 仅 有 3 个 零 点 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 16.在正项等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a4 ? 1 ,若集合 是 . 值是

? ? A ? ?t ? ?

? 1? ? 1? ? a1 ? ? ? ? a2 ? ? ? a1 ? ? a2 ? ?

? ? 1? ? ? ? at ? ? ? 0, t ? N ? ? ,则 A 中元素个数为 at ? ? ? ?



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别是 a , b, c ,已知

3cos B cosC ? 2 ? 3sin B sinC? 2cos2 A . (1)求角 A 的大小;
(2)已知

b c ? ? 4 ,求 sin B sin C 的值. c b

18.已知正项数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足 an ? (1)求证: { Sn } 为等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {

Sn ? Sn?1 (n ? 2) .

1 } 的前 n 项和为 Tn ,若对任意的 n ? N * ,不等式 4Tn ? a 2 ? a 恒成立,求 an an ?1

实数 a 的取值范围.

19 .如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? 平面

PAD , AB // CD , PD ? AD , E 是 PB 的中点,
F 是 DC 上的点且 DF ?
上的高. (1)证明: PH ⊥平面 ABCD ; ( 2 ) 若 PH ? 1 , AD ? 2 , FC ? 1 , 求 三 棱 锥

1 AB ,PH 为 ?PAD 边 2

E ? BCF 的体积;
(3)证明: EF ⊥平面 PAB .

20.已知以点 A(?1,2) 为圆心的圆与直线 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切,过点 B(?2,0) 的动直线 l 与 圆 A 相交于 M , N 两点, Q 是 MN 的中点,直线 l 与 l1 相交于点 P . (1)求圆 A 的方程; (2)当 MN ? 2 19 时,求直线 l 的方程; (3) BP ? BQ 是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.

21.已知函数 f ( x) ? x ? ae ( a ? R, e 为自然对数的底数).
x

(1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若 f ( x) ? e 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围;
2x

(3)若函数 f ( x) 有两个不同的零点 x1 , x2 ,求证 x1 ? x2 ? 2 .

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。请答题时写 清题号 22.如图,圆 O 的直径 AB ? 10 ,P 是 AB 延长线上一点,BP=2 , 割线 PCD 交圆 O 于点 C,D,过点 P 作 AP 的垂线,交直线 AC 于点 E,交直线 AD 于点 F. (1)当 ?PEC =75 时,求 ?PDF 的度数; (2)求 PE ? PF 的值.

23.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲 线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos(? ? (1)求曲线 C1 的参数方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (2)记曲线 C1 与曲线 C2 交于 M、N 两点,求线段 MN 的长度.

?

4

)?2 2

24.已知函数 f ? x ? ? 1 ? 2x ? 1 ? x (1)解不等式 f ? x ? ? 4 ;

(2)若关于 x 的不等式 a2 ? 2a ? 1 ? x ? f ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围.

文科数学参考答案和评分标准
一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 B 5 C 6 B 7 D 8 A 9 A 10 D 11 C 12 B

二、填空题 13. ?

?e e? ?7 ? , 2 ? ; 14. 24; 15. ? , ? ; 16.7 ?4 ? ?5 3?
2

三、解答题 17.解:(I)由 3cos B cosC ? 2 ? 3sin B sinC? 2cos A ,得

2cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,即 (2cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 ……………………2 分 1 解得 cos A ? 或 cos A ? ?2(舍去) …………………… ……………4 分 2
因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?

3

……………………………………… ……6 分

b c b 2 ? c 2 b 2 ? 2bc cos B (II)? ? ? ? ?4 c b bc bc
由正弦定理可得

?A?

?
3

? a 2 ? 3bc

-------8 分

sin 2 A ? 3 sin B sin C

------10 分

1 ----------12 分 3 4 18.解: (1)? 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 , ?A? ? sin B sin C ?

?

? Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ,即 Sn ? Sn ?1 ? 1,

………2分 ………4分

所以数列 { Sn } 是首项为1,公差为1的等差数列,故 Sn ? n ,

故 an ? Sn ? Sn ?1 ? n ? (n ? 1) ? 2n ? 1 ( n ? 2 ) ,当 n ? 1 时也成立; 因此 an ? 2n ? 1 (2)? ………6分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,……… an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

8分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? (1 ? ) ? ,……… ? Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2
2 又? 4Tn ? a ? a ,? 2 ? a ? a ,解得 a ? ?1 或 a ? 2 ,
2

8分

即所求实数 a 的取值范围为 a ? ?1 或 a ? 2 .

…………………12分

19.解:? PH ? AD ,又 AB ? 平面 PAD , PH ? 平面 PAD ,? AB ? PH 又

PH ? AD ? H ,? PH ? 平面

ABCD

………

3分

(2)? E 是 PB 的中点,? E 到平面 BCF 的距离 d 等于点 P 到平面 E ? BCF 距离的一半, 即d =

1 1 2 2 ,又因为 S ?BCF ? AD ? CF ? ,所以三棱锥 VE ? BCF ? ;……… 2 2 2 12

7分

(3)取 PA 的中点 Q ,连接 EQ 、 DQ ,则因为 E 是 PB 的中点,所以 EQ // AB ,且

EQ ?

1 1 AB ,又因为 DF ? AB 且 DF // AB ,所以 EQ // DF 且 EQ ? DF ,所以四边形 2 2

EQDF 是平行四边形,所以 EF // DQ ,由(1)知 AB ? 平面 PAD ,所以 AB ? DQ ,又因
为 PD ? AD ,所以 DQ ? PA ,因为 PA ? AB ? A ,所以 DQ ? 平面 PAB ,因为 ED//DQ, 所以 EF ? 面 PAB .……… 12 分

20.解:(1)设圆 A 的半径为 R ,由于圆 A 与直线 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切, ∴R?

?1 ? 4 ? 7 5

?2 5
2

………
2

2分

∴圆 A 的方程为 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 20 ……3 分 (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x ? ?2 符合题意;……… 4分 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? k ?x ? 2? 即 kx ? y ? 2k ? 0 连接 AQ ,则 AQ ? MN ∵ MN ? 2 19 则由 AQ ? ∴ AQ ? 1

? k ? 2 ? 2k k ?1
2

? 1 ,得 k ?

3 ……… 4

6分

∴直线 l : 3x ? 4 y ? 6 ? 0 故直线 l 的方程为 x ? 2 ? 0 或 3x ? 4 y ? 6 ? 0 ……… 7分

(3)? AQ ? BP ,∴ BQ? BP ? (BA ? AQ) ? BP ? BA? BP

…8 分

当 l 与 x 轴垂直时,易得 P? ? 2,? ? ,则 BP ? ? 0,? ? ,又 BA ? (1,2) ,

? ?

5? 2?

? ?

5? 2?

∴ BQ ? BP ? BA? BP ? ?5 ……………………………………9 分

②当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

则由 ?

? y ? k ( x ? 2) ? 4 k ? 7 ? 5k ? 5 ? 5k , , ) ,得 P ( ),则 BP ? ( 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k ?x ? 2 y ? 7 ? 0
?5 ? 10 k ? ? ?5 1 ? 2k 1 ? 2k
…………11 分

…………10 分

∴ BQ ? BP ? BA ? BP ?

综上所述, BQ ? BP ? BA? BP ? ?5 是定值.

…………………12 分

21. (1) f ?( x) ? 1 ? ae

x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是 (??,??) 上的单调递增函数; 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ? ln a ,所以函数 f ( x) 是 (??,? ln a) 上的单调递增函数,函 数 f ( x) 是 (? ln a,??) 上的单调递减函数. (2)设 f ( x) ? e ……… 3分

2x

?a?

x x 1 ? e2x ? x x x ? g ( x ) ? ? e ? e g ( x ) ? ,设 ,则 , ex ex ex

2x 当 x ? 0 时, 1 ? e ? 0 , g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (??,0) 上单调递增, 2x 当 x ? 0 时, 1 ? e ? 0 , g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (??,0) 上单调递减,

所以,所以 g ( x) max ? g (0) ? ?1, 所以 a ? ?1 .

………
x

7分
x2

( 3 ) 函 数 f ( x) 有 两 个 不 同 的 零 点 x1 , x 2 , 所 以 x1 ? ae 1 , x2 ? ae

,因此

x1 ? x2 ? a(e x1 ? e x2 ) ,即 a ?

x1 ? x 2 e x1 ? e x2
x1 x2

e x1 ? e x2 ? 2 , …9 分 要证明 x1 ? x2 ? 2 ,只要证明 a(e ? e ) ? 2 ,即证 ( x1 ? x 2 ) x e 1 ? e x2
不妨设 x1 ? x 2 ,记 t ? x1 ? x2 ,则 t ? 0, e ? 1 ,.
t

因此只要证明 t ?

et ? 1 ? 2 ,即 (t ? 2)e t ? t ? 2 ? 0 即可 t e ?1

………

10 分

记 h(t ) ? (t ? 2)e t ? t ? 2(t ? 0) ,则 h?(t ) ? (t ? 1)e t ? 1, 记 m(t ) ? (t ? 1)e t ? 1,则 m?(t ) ? te t ,当 t ? 0 时, m?(t ) ? 0 ,所以 m(t ) ? m(0) ? ?1 , 即 t ? 0 时, (t ? 1)e t ? ?1 , h?(t ) ? 0 ,所以 h(t ) ? h(0) ? 0 , 即 (t ? 2)e t ? t ? 2 ? 0 成立,所以 x1 ? x2 ? 2 .……… 12 分 (5 分)

22.解:(Ⅰ) 连 BC, ?ACB=90 , ?PDF ? ?CBA ? ?AEF =75 ; (Ⅱ) 由△ PEC △ PDF 和相交弦定理

知 PE PF ? PC PD ? PB PA ? 24 . 23.解 : (1)

(10 分)

? ? 4 cos? ? ? 2 ? 4? cos? , 故 曲 线 C1 的 方 程 为 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , 即 ? x ? 2 ? 2 cos? ( ? 为参数) ;因为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 。 故 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ? ? y ? 2 sin ?

? 2 ? cos( ? ? ) ? 2 2 , 故 (? c o s ? ? ? s i n? ) ? 2 2 , 即 曲 线 C2 的 直 角 坐 标 方 程 为 4 2 x? y?4 ?0 ?x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ?x ? 1 ?x ? 2 (2)由 ? ,解得 ? 或? ,故 MN ? 2 2 y ? 0 y ? ? 2 x ? y ? 4 ? 0 ? ? ?
24.



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