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2.2.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 椭圆方程及性质的应用


第2课时 椭圆方程及性质的应用

B2 y

A2 y F2 F2 A2 x B1 F· 1 O A1 B2 x





A1

· F
1

O B1

方 范

程 围

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

?a ? b ? 0 ?

y2 x2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 a b

|x|? a |y|? b (c,0)、(?c,0)
(?a,0)、(0,?b)

|x|? b

|y|? a

对称性 焦 点

关于x轴、y轴、原点对称

(0,c)、(0,?c)
(?b,0)、(0,?a)





离心率

c e= ( 0 < e < 1 ) a

1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单 性质.(重点)

2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.(重点)
3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.(难点)

探究点1 利用椭圆的简单几何性质求椭圆的方程
例 1 如图,一种电影放映灯泡的反 射镜是旋转椭圆面 (椭圆绕其对称 轴旋转一周形成的曲面 )的一部分. 过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部 分, 灯丝位于椭圆的一个焦点 F1上, 片 门位于另一个焦点 F2上.由椭圆一个 焦点 F1发出的光线, 经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2 . 已知 BC ? F1 F2 ,| F1 B |? 2.8 cm ,| F1 F2 |? 4.5 cm .试建立适当的坐标 系, 求截口BAC 所在的椭圆方程(精确到 . 0.1 cm)

解: 建立如题干图所示的直角坐标系,设所求椭圆方程为

x y + 2 = 1. 2 a b 在RtΔBF1F2中,

2

2

|F2 B|= |F1B|2 +|F1F2 |2 = 2.8 2 + 4.5 2 .

由 椭圆 的性 质 知, |F1B|+|F2B|= 2a,所以

1 1 2 2 a = (| F1B | + | F2B |) = 2.8 + 2.8 + 4.5 ≈ 4.1; 2 2
b ? a 2 ? c 2 ? 4.1 2 ? 2.25 2 ? 3.4 .

?

?

x y 所以 , 所求的椭圆方程为 2 + 2 = 1. 4.1 3.4

2

2

25 例 2 点 M ( x , y )与定点 F (4, 0)的距离和它到直线 l : x ? 的 4 4 距离的比是常数 ,求点 M 的轨迹 . 5 y 25 设d是点M到直线l : x ? 的距离, 解: l M 4 d H 根据题意,点M的轨迹就是集合

? MF 4 ? ? ? P ? ?M ? ?, d 5? ? ? ?
( x ? 4)2 ? y 2 4 由此得 ? . 25 5 ?x 4

O

F

.

x

将 上 式 两 边 平 方 , 并 化 简 , 得 9 x 2 ? 25 y 2 ? 225,

x2 y2 即 ? ? 1. 25 9
所以,点M的轨迹是长轴, 短轴长分别为10, 6的椭圆. 【提升总结】 已知椭圆的几何性质,求其标准方程的方法步骤:

(1)确定焦点所在的位置,以确定椭圆方程的形式;
(2)确立关于a,b,c的方程(组),求出参数a,b,c; (3)写出标准方程.

探究点2 直线与椭圆的位置关系 问题1:直线与圆的位置关系有哪几种?

问题2:怎么判断它们之间的位置关系? 几何法: d>r
代数法: ?<0

d=r
?=0

d<r ?>0

问题3:直线与椭圆有什么样的位置关系呢?

种类:

相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)

问题4:直线与椭圆的位置关系如何判定? 代数方法,联立方程
? Ax ? By ? C ? 0 ? 2 2 2 ? m x ? n x ? p ? 0(m ? 0 ) 由方程得 ? x y ? 2 ? 2 ?1 b ?a

△ = n2 ? 4m p

△?0

方程组有两解 方程组有一解

两个交点 一个交点 无交点

相交 相切 相离

△= 0
△?0

方程组无解

【提升总结】 直线与椭圆的位置关系: 1.位置关系:相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程, 通法

消元得到一元二次方程(当二次项系数不为0时)
(1)△>0?直线与椭圆相交?有两个公共点;

(2)△=0 ?直线与椭圆相切?有且只有一个
公共点; (3)△<0 ?直线与椭圆相离?无公共点.

x2 y2 ? ? 1 , 直线 l: 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 , 椭 例 3 已知椭圆 25 9 圆上是否存在一点 , 到直线 l 的距离最小 ? 最小距离是多 少?

分析:作出直线l及椭圆(如图).
l

观察图形,可以发现,利用平行于
m

y
m

直线l且与椭圆只有一个交点的

直线,可以求得相应的最小距离.

· o F1

· F2

x

解:由直线l的方程与椭圆的方程可以知道,直线l与椭

圆不相交(为什么?).设直线m平行于直线l,则直线m
的方程可以写成 4 x ? 5 y ? k ? 0.



? 4 x ? 5 y ? k ? 0, ? 2 组 由方程 ? x y2 ? 1, ? ? ? 25 9

消去 y,得 25 x ? 8kx ? k - 225 ? 0,
2 2



令方程②的根的判别式△=0,得

64 k ? 4 ? 25 ( k ? 225 ) ? 0 .
2 2



解方程③,得

k 1 ? 25 , 或 k 2 ? ? 25 .
由 图 可 知 ,当 k =25 时 ,直 线 m 与 椭 圆 的 交 点 到 直 线 l 的 距 离 最 近 , 此 时 直 线 m 的 方 程 为 4 x -5 y +25=0.
直线 m 与直线 l间的距离

15 d? ? 41 最大距离是 2 2 41 4 ? (-5) 40多少? ? 25 65 15 d ? ? 41 max 所以,最小距离是 41. 2 2 41 4 ? ( ? 5) 41

| 40 ? 25 |

1. 某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆, 近地点 A 距地面 m 千米,远地点 B 距离地面 n 千米, 地球半径为 k 千米,则飞船运行轨道的短轴长为( A ) A.2 (m+k)(n+k) C. m · n B. (m+k)(n+k) D.2mn

2.若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形, 则其离心率为
1 . 2

x2 y2 ? ? 1 的左焦点 3.(2012·四川高考)椭圆 4 3

为F,直线

x ? m 与椭圆相交于点A,B,当 ? F A B

3 的周长最大时,? F A B 的面积是___________.
6 4.椭圆过(3,0)点,离心率e= ,求椭圆的标准方程. 3

[解析]

(1)当椭圆的焦点在 x 轴上时,

c 6 因为 a=3, = ,所以 c= 6,所以 b2=a2-c2=3. a 3
所以椭圆方程为 + =1. 9 3 当椭圆的焦点在 y 轴上时,

x2 y2

c 6 a2-b2 6 因为 b=3, = ,所以 = ,所以 a2=27. a 3 a 3
故椭圆的方程为 + =1. 9 27 2 2 2 2 x y x y 所以所求椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 9 3 9 27

x2

y2

1.利用椭圆的定义、性质、方程解决相关问题;
2.由椭圆的简单几何性质求椭圆方程;

3.直线与椭圆的位置关系及判定.

阻止你前行的,不是人生道路上的一百 块石头,而是你鞋子里的那一颗石子.



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