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1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1



1.1分类计数原理

与分步计数原理

请思考:

问题1:用一个大写的英文字母

或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共 能够编出多少种不同的号码?
问题剖析

问题1
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号

要完成

什么事情
完成这个事情有几 类方案 每类方案能否独立 完成这件事情 每类方案中分别有 几种不同的方法 完成这件事情共有 多少种不同的方法

两类 能 26种 10种

26+10=36种

假如你从平川到兰州, 可以坐直达客车或直达火车,

客车每天有3个班次,火车每天有2个班次, 请问你共有多少种不同的走法? 客车1 平川 客车2 客车3
火车1 兰州

火车2 分析:完成从平川到兰州这件事有2类方案,
所以,从平川到兰州共有3+ 2= 5种方法.

问题1:你能否发现这两个问题有什么共同特征? 1、都是要完成一件事 2、用任何一类方法都能直接完成这件事

3、都是采用加法运算

你能总结出这类问题的一般解决规律吗?

完成一件事有两类不同的方案, 在第1类方案中有m种不同的方法, 在第2类方案中有n种不同的方法, 那么完成这件事共有 N= m+ n 种不同的方法。

例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具 体情况如下: A大学 B大学
生物学 数学

化学
医学

会计学
信息技术学

物理学
工程学

法学

如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢?

变式:在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解 到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专 业,具体情况如下: C大学 A大学 B大学
生物学 数学 机械制造

化学
医学

会计学
信息技术学

建筑学
广告学 汉语言文学 韩语

物理学
工程学

法学

如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)

探究1
如果完成一件事情有3类不同方案,在第1类方 案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2 种不同的方法,在第3类方案中有m3种不同的 方法,那么完成这件事情有 N=m1+m2+m3 种不同的方法

如果完成一件事情有n类不同方案,在每一类 中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?

完成一件事有 n 类不同的方案, 在第1类方案中有 m1 种不同的方法, 在第2类方案中有 m2 种不同的方法, …… 在第n类方案中有mn种不同的方法,

那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法。

引例1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯
数字给教室里的座位编号,总共能够编出多少 种不同的号码?

变式:用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯
数字,以A1,A2,· · · ,B1,B2,· · · 的方式给教室里 的座位编号,总共能编出多少种不同的号码? 分析:完成给教室里的座位编号编号这件事 分两
步完成:第1步:先确定一个英文字母

第2步,后确定一个阿拉伯数字

字母

数字
1 2 3

得到的号码
A B C 1 F D E 1 11 A B C F D2 E 2
22

B C A F D E

4

A B C 3 F D E 3 33 A B C F D4 E 4
44

5
6

A B C 5 F D E 5 55 A B C F D6 E 6
66

7
8

A B C 7 F D E 7 77 A B C F D8 E 8
88

树形图

9

A B C 9 F D E 9 99

变式:用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉

伯数字,以A1,A2,· · · ,B1,B2,· · · 的方式给教 室里的座位编号,总共能编出多少种不同的号码?

分析:完成给教室里的座位编号这件事需要
两个步骤, 第1步,确定一个英文字母,有6种不同方法; 第2步,确定一个阿拉伯数字,有9种不同方法; 所以,编号共有6×9=54种方法.

例2、设某班有男生30名,女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不 同的选法? 例3、长征的部分电话号码是0943665××××,后面每 个数字来自0~9这10个数,问可以产生多少个不同的电 话号码? 分析:

0943665 分析:

10×10× 10× 10=104 10× 9 × 8 × 7=5040

变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?

分类加法计数原理: 完成一件事有 两类不同方案,在第 1类方案中有m种不 同的方法,在第2类 方案中有n种不同的 方法.那么完成这件 事共有 N=m+n 种不同的方法.

分步乘法计数原理: 完成一件事需 要两个步骤,做第1 步有m种不同的方法, 做第2步有n种不同 的方法.那么完成这 件事共有 N=m×n 种不同的方法.

完成一件事需要n个步骤, 做第1步有m1 种不同的方法, 做第2步有m2种不同的方法, …… 做第n步有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有

N ? m1 ? m2 ??? mn
种不同的方法。

两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数 分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘 不同点 每类方案中的每一 独立 种方法都能______ 完成这件事 依次完成 才 每步_________ 算完成这件事情 (每步中的每一种 方法不能独立完成 这件事)

注意点 类类独立 不重不漏 步步相依 步骤完整

解答计数问题的一般思维过程:
完成一件什么事

如何完成这件事

方法的分类

过程的分步

利用加法原理进行计数

利用乘法原理进行计数

例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书,第2层放 着3本不同的文艺书,第3层放着2本不同的体育书。 (1)从书架上任取1本书,有几种不同的取法? 解:从书架上任取1本书,

有三类方法:
第1类方法是从第1层取1本计算机书,有4种方法; 第2类方法是从第2层取1本文艺书,有3种方法;

第3类方法是从第3层取1本体育书,有2种方法。 根据分类加法计数原理,不同取法的种数是: N=4+3+2=9.

例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书,第2层放 着3本不同的文艺书,第3层放着2本不同的体育书。 (1)从书架上任取1本书,有几种不同的取法? (2)从书架上的第1、2、3层各取1本书,有几种不同 的取法? 解:从书架的第1,2,3层各取1本书, 可以分成三个步骤完成: 第1步:从第1层取1本计算机书,有4种方法;

第2步:从第2层取1本文艺书,有3种方法;
第3步:从第3层取1本体育书,有2种方法。

根据分步计数原理,不同取法的种数是: N=4×3×2=24.

例4 要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有 多少种不同的挂法?

解:从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙 上,可以分两个步骤完成: 第一步,从3幅画中选1幅挂在左边墙上,有3 种选法; 丙 甲 乙 第二步,从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上, 有2种选法。
根据分步计数原理,不同挂法的种数是: N=3×2=6.

思考:还有其他解答本题的方法吗?

例4 要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有 多少种不同的挂法?

解:从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙 上,可以分两个步骤完成: 第一步,从3幅画中选出2幅,有3种选法;

丙 甲 乙 (“甲、乙”,“甲、丙”,“乙、丙”) 第二步,将选出的2幅画挂好,有2中挂法
根据分步计数原理,不同挂法的种数是: N=3×2=6.

变式 要从甲、乙、丙、丁、戊5幅不同的画中 选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置, 问共有多少种不同的挂法?

解:从5幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙 上,可以分两个步骤完成: 第一步,从5幅画中选1幅挂在左边墙上,有5 种选法; 丙 甲 乙 第二步,从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上, 有4种选法。 根据分步计数原理,不同挂法的种数是: N=5×4=20.





例5. 五名学生报名参加四项体育比赛,每人限 报一项,报名方法的种数为多少?又他们争夺 这四项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少 种?
解:(1)5名学生中任一名均可报其中的任一项,因此每 个学生都有4种报名方法,5名学生都报了项目才能算完成 这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 45 种 . (2)每个项目只有一个冠军,每一名学生都可能获得 其中的一项获军,因此每个项目获冠军的可能性有5种 故有n=5×5×5×5= 54 种 .

例6.给程序模块命名,需要用3个字符,其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z,后两个要求用数字1~ 9,问最多可以给多少个程序命名?
分析:要给一个程序模块命名,可以分三个步骤:第一步, 选首字符;第二步,先中间字符;第三步,选末位字符。

解:首字符共有7+6=13种不同的选法, 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
根据分步计数原理,最多可以有13×9×9=1053种不同的选法

答:最多可以给1053个程序命名。

例7.随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有 量迅速增长,汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门 出台了一种汽车牌照组成办法,每一个汽车牌照都必 须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数 字,并且3个字母必须合成一组出现,3个数字也必 须合成一组出现,那么这种办法共能给多少辆汽车上 牌照?

练练
1.有不同的中文书9本,不同的英文书7本,不同的日 文书5本.从其中取出不是同一国文字的书2本,问有多 少种不同的取法?

2.集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4} .从A,B 中各取1个元 素作为点P(x,y) 的坐标. (1)可以得到多少个不同的点? (2)这些点中,位于第一象限的有几个?

9×7+9×5+7×5=143

3×4+4×3=24

2×2+2×2=8

3.集合A={1,2,3,4},B={5,6,7}, 从A到B的映射有多 少个?

3×3×3×3=81

4. 某电视节目中有A、B两个信箱,分别存放 着先后两次竞猜中入围的观众来信,其中A信 箱中有40封来信,B信箱中有30封来信.现由 主持人从A信箱或B信箱中抽取1名幸运观众, 再由该幸运观众从A、B两个信箱中各抽取1名 幸运伙伴,求共有多少种不同的可能结果?

40×39×30+30×40×29

4. 由数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重 复数字的三位偶数? 答:符合题意的没有重复数字的三位偶数共有 5×4+4×4+4×4=52(个)。
5. (1) 3名同学分入四个不同的班级,有几种不同的分 法? 43=64(种) (2) 4名同学分入三个不同的班级,有几种不同的分 法? 34=81(种)

6.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的 两位数共有多少个? 分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在 每一类中满足条件的两位数分别是 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 则根据加法原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个). 分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在 每一类中满足条件的两位数分别是 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 则根据加法原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (个)

7.用0, 1, 2, 3, 4, 5 可以组成多少个无重复数字的比 2 000大的 4 位偶数? 解:完成这件事可分为3类方法: 第一类是用0做结尾的比2 000大的4位偶数,它可以分三 步去完成: 第一步,选取千位上的数字,只有2, 3, 4, 5可以选择,有4种 选法; 第二步,选取百位上的数字,除0和千位上已选定的数 字以外,还有4个数字可供选择,有4种选法; 第三步,选取十位上的数字,还有3种选法. 依据分步乘法计数原理,这类数的个数有4×4×3=48(个);

第二类是用2做结尾的比2 000大的4位偶数,它可以分三 步去完成; 第一步,选取千位上的数字,除去2,1,0只有3个数字可 以选择,有3种选法; 第二步,选取百位上的数字,在去掉已经确定的首尾 两数字之后,还有4个数字可供选择,有4种选法; 第三步,选取十位上的数字,还有3种选法. 依据分步乘法计数原理,这类数的个数有3×4×3= 36(个); 第三类是用4做结尾的比2 000大的4位偶数, 其步骤同第二类,有3×4×3=36(个). 对以上三类结论用分类加法计数原理,可得所求无重 复数字的比2 000大的4位偶数有48+36+36=120(个).

探究提高
用两个计数原理解决计数问题时,关键是明确需要分类 还是分步. (1)分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类 进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数. (2) 分步要做到“步骤完整” , 只有完成了所有步骤 , 才 完成任务,根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数 相乘,得到总数. (3)对于复杂问题,可同时运用两个计数原理或借助列 表、画图的方法来帮助分析.

8.如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一
种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5 种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.

解:方法一 以S, A, B, C, D顺序分步染色. 第一步,S点染色,有5种方法; 第二步,A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法; 第三步,B点染色,与S,A分别在同一条棱上,有3种方法; 第四步,C点染色,也有3种方法,但考虑到D点与S, A ,C相邻, 需要针对A与C是否同色进行分类.当A与C同色时, D点有3种 染色方法;当A与C不同色时, 因为C与S, B也不同色, 所以C点 有2种染色方法, D点也有2种染色方法. 由分步乘法、分类加法计数原理得 不同的染色方法共有5×4×3×(1×3+2×2)=420(种).

9.同室4名学生各写一张贺卡,放在一起,然后各人从 中各拿一张,但均不能拿自己写的那张,共有多少种拿 法? 解: 第一步第一个同学从中拿一张贺卡,满足要 求的拿法有3种, 第二步考虑被第一个同学拿走贺卡的那个同学也 有3种拿法, 第三步、第四步各有一种拿法,

由分步乘法计数原理共有3×3×1×1=9种拿法。

10.如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点爬 到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?
D1 A1 B1

C1

D
A B

C

解:如图,从总体上看,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三 类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类(A—B): 第二类(A—D): 第三类(A—A1): m1 = 1×2 = 2 m2 = 1×2 = 2 m3 = 1×2 = 2 条 条 条

因此, 根据分类原理, 从顶点A到顶点C1最近路 线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。
D1 A1 D A B B1 C C1

1.本节课学习了哪些主要内容?

2.你如何来判别使用哪个计数原 理?

共同点:都是有关“完成一件事情”的所有不同方法的 种数问题。

主要不同点: 分类加法计数原理 ①完成一件事有n类不同 直 相 的方案; 达 互 ②各类方案相互独立; 目 独 ③每一类方案都能直接完 成该事件。 的 立

分步乘法计数原理

完成一件事要n个不同的 相 分 步骤;
各个步骤相互联系 ;

步 互 到 联 每一个步骤都不能直接完 达 系 成该事件,只有完成每个
步骤,才能完成这件事。

描述分类计数原理和分步计数原理的诗:

? 两大原理妙无穷, ? 解题应用各不同; ? 多思慎密最重要, ? 茫茫数理此中求。

例7.核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链,长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据,总共有4个不同的碱基,分别用A,C,G,U表 示,在一个RNA分子中,各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成,那么能有多少种不同的RNA分子?

分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链,每个位置都可以从A、 第1位 第2位 第3位 第100位 C、G、U中任选一个来占据。
……
4种 4种 4种 4种

解:100个碱基组成的长链共有100个位置,在每个位置中,从A、C、G、U 中任选一个来填入,每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理,共有
100 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 4 = 4 种不同的RNA分子. ?? ? ??? ? 100 个4

例8.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种 状态,而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采 用了每一位只有0或1两种数字的计数法,即二进制,为了使计 算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一 个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计 量单位,每个字节由8个二进制位构成,问 (1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符? (2)计算机汉字国标码(GB码)包含了6763个汉字,一个 汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用 多少个字节表示? 如00000000,10000000, 11111111.
2种 2种 2种 2种

第1位

第2位

第3位

第8位

……

例9.计算机编程人员在编 开始 写好程序以后要对程序进 行测试。程序员需要知道 到底有多少条执行路(即 子模块3 子模块2 子模块1 28条执行路径 45条执行路径 程序从开始到结束的线),18条执行路径 以便知道需要提供多少个 测试数据。一般的,一个 A 程序模块又许多子模块组 成,它的一个具有许多执 行路径的程序模块。问: 子模块5 子模块4 43条执行路径 38条执行路径 这个程序模块有多少条执 行路径?另外为了减少测 试时间,程序员需要设法 减少测试次数,你能帮助 结束 程序员设计一个测试方式, 以减少测试次数吗?

分析:整个模块的任 意一条路径都分两步 完成:第1步是从开 始执行到A点;第2步 是从A点执行到结束。 而第步可由子模块1 或子模块2或子模块3 来完成;第二步可由 子模块4或子模块5来 完成。因此,分析一 条指令在整个模块的 执行路径需要用到两 个计数原理。

开始

子模块1 18条执行路径

子模块2 45条执行路径 A

子模块3 28条执行路径

子模块4 38条执行路径

子模块5 43条执行路径

结束

2)在实际测试中,程序 开始 员总是把每一个子模块看 成一个黑箱,即通过只考 察是否执行了正确的子模 子模块3 子模块2 子模块1 块的方式来测试整个模块。 28条执行路径 45条执行路径 18条执行路径 这样,他可以先分别单独 测试5个模块,以考察每 A 个子模块的工作是否正常。 总共需要的测试次数为: 18+45+28+38+43=172。 子模块5 子模块4 43条执行路径 38条执行路径 再测试各个模块之间的信 息交流是否正常,需要测 试的次数为:3*2=6。 如果每个子模块都正常工 结束 作,并且各个子模块之间 的信息交流也正常,那么 这样,测试整个模块的次数就变为 整个程序模块就正常。 172+6=178(次)



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