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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固:第4章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数


第四章

第一节

一、选择题 9π 1.下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( 4 A.2kπ+45° (k∈Z) C.k· 360° -315° (k∈Z) [答案] C [解析] 9π 9 与 的终边相同的角可以写成 2kπ+ π(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用, 4 4 )

9 B.k· 360° + π(k∈Z) 4 5π D.kπ+ (k∈Z) 4

所以只有答案 C 正确. α α |sin | |cos | 2 2 2.若 α 是第三象限角,则 y= + 的值为( α α sin cos 2 2 A.0 C.-2 [答案] A α [解析] ∵α 是第三象限角,∴ 是第二或第四象限角. 2 α 当 为第二象限角时,y=1+(-1)=0; 2 α 当 为第四象限角时,y=-1+1=0.∴y=0. 2 3.(文)若 α 的终边过点 P(2sin30° ,-2cos30° ),则 sinα 的值为( 1 A. 2 C.- 3 2 1 B.- 2 D.- 3 3 ) B.2 D.2 或-2

)

[答案] C [解析] P(2sin30° ,-2cos30° )即 P(1,- 3), ∴r=2,故 sinα=- 3 ,故选 C. 2 ) B.第二象限 D.第四象限

(理)点 P(tan2 015° ,cos2 015° )位于( A.第一象限 C.第三象限

-1-

[答案] D [解析] ∵2 015° =5×360° +215° , ∴2 015° 的角的终边在第三象限. ∴tan2 015° >0,cos2 015° <0,∴点 P 在第四象限. 4.与 610° 角终边相同的角可表示为( A.k· 360° +230° ,k∈Z C.k· 360° +70° ,k∈Z [答案] B [解析] 由于 610° =360° +250° , 所以 610° 与 250° 角的终边相同. 1 5.(文)若 α 是第三象限的角,则 π- α 是( 2 A.第一或第二象限的角 B.第一或第三象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 [答案] B 3 [解析] 由已知,得 2kπ+π<α<2kπ+ π(k∈Z) 2 π α π ∴-kπ+ <π- <-kπ+ (k∈Z). 4 2 2 α ∴π- 是第一或第三象限的角. 2 3π x y (理)若 <α<2π,则直线 + =1 必不经过( 2 cosθ sinα A.第一象限 C.第三象限 [答案] B [解析] 判断 cosα>0,sinα<0,数形结合. 4 6.已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin30° ),且 cosα=- ,则 m 的值为( 5 1 A.- 2 C.- 3 2 1 B. 2 D. 3 2 ) ) ) ) B.k· 360° +250° ,k∈Z D.k· 360° +270° ,k∈Z

B.第二象限 D.第四象限

[答案] B [解析] r= 64m2+9,

-2-

∴cosα= ∴

4 =- ,∴m>0. 5 64m +9
2

-8m

4m 2 1 1 1 = ,∴m=± .∵m>0,∴m= . 2 2 64m2+9 25

二、填空题 |sinα| |cosα| 7.已知角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0),则 - =________. sinα cosα [答案] 2 [解析] 因为角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0)上, 所以角 α 是第二象限角, 因此 sinα>0, |sinα| |cosα| sinα -cosα cosα<0,故 - = - =1+1=2. sinα cosα sinα cosα 8.函数 y= sinx+ 1 -cosx的定义域是________. 2

π [答案] [x| +2kπ,π+2kπ](k∈Z) 3 sinx≥0, sinx≥0, ? ? ? ? [解析] 由题意知?1 即? 1 ?2-cosx≥0. ? ? ?cosx≤2. π ∴x 的取值范围为{x| +2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z}. 3 9.(2014· 昆明模拟)已知 α 的顶点在原点,始边与 x 轴非负半轴重合,点 P(-4m,3m)(m>0) 是 α 终边上一点,则 2sinα+cosα=________. [答案] 2 5

3 4 2 [解析] 由条件可求得 r=5m,所以 sinα= ,cosα=- ,所以 2sinα+cosα= . 5 5 5 三、解答题 10.(1)设 90° <α<180° .角 α 的终边上一点为 P(x, 5),且 cosα= 值; (2)已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tanθ=-x,求 sinθ,cosθ. [解析] (1)∵r= x2+5,cosα= 从而 x . x +5
2

2 x,求 sinα 与 tanα 的 4

2 x x= 2 ,解得 x=0 或 x=± 3. 4 x +5

∵90° <α<180° ,∴x<0,因此 x=- 3. 5 10 故 r=2 2,sinα= = , 4 2 2

-3-

5 15 tanα= =- . 3 - 3 1 (2)∵θ 的终边过点(x,-1),∴tanθ=- , x 又∴tanθ=-x,∴x2=1,∴x=± 1. 当 x=1 时,sinθ=- 2 2 ,cosθ= ; 2 2 2 2 ,cosθ=- . 2 2

当 x=-1 时,sinθ=-

一、选择题 1.(文)已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为(sin 5π A. 6 5π C. 3 [答案] D 2π 3 [解析] 由题意知点 P 在第四象限,根据三角函数的定义得 cosα=sin = ,故 α=2kπ 3 2 π 11π - (k∈Z),所以 α 的最小正值为 . 6 6 (理)已知锐角 α 终边上一点 P 的坐标是(2sin2,-2cos2),则 α 等于( A.2 π C.2- 2 [答案] C [解析] 点 P 位于第一象限,且 π ? ? π? tanα=-cot2=-tan? ?2-2?=tan?2-2?, π π π 0, ?,∴α=2- . ∵2- ∈? 2 ? 2? 2 2.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所对的弧长是( A.2 2 C. sin1 [答案] C 1 [解析] 由已知可得该圆的半径为 . sin1 B.sin2 D.2sin1 ) B.-2 π D. -2 2 ) 2π 2π ,cos ),则角 α 的最小正值为( 3 3 )

2π B. 3 11π D. 6

-4-

1 2 ∴2 弧度的圆心角所对的弧长为 2× = . sin1 sin1 二、填空题 3.若角 α 的终边与直线 y=3x 重合且 sinα<0,又 P(m,n)是 α 终边上一点,且|OP|= 10, 则 m-n 等于________. [答案] 2
? ?n=3m, [解析] 依题意:? 2 2 ?m +n =10. ?

解得:m=1,n=3 或 m=-1,n=-3, 又 sinα<0,∴α 的终边落在第三象限,∴n<0, ∴m=-1,n=-3,∴m-n=2. 4.若角 α 与 β 的终边在一条直线上,则 α 与 β 的关系是________. [答案] β=α+kπ,k∈Z [解析] 当 α、β 的终边重合时,β=α+k·2π,k∈Z. 当 α、β 的终边互为反向延长线时, β=π+α+k·2π=α+(2k+1)π,k∈Z. 综上,β=α+kπ,k∈Z. 三、解答题 5.已知扇形的面积为 S,当扇形的中心角为多少弧度时,扇形的周长最小?并求出此最 小值. 1 [解析] 解法 1:设 l 为扇形的弧长,由 S= l· r 2 2S 2S 得 l= ,故扇形的周长 C=2r+ . r r 即 2r2-C· r+2S=0.由于 r 存在,故方程有解, 因此有 Δ=C2-16S≥0,即 C≥4 S. C± Δ ∴周长 C 的最小值为 4 S.此时,r= = S, 2×2 2S 中心角 α= 2 =2rad r 所以当扇形的中心角为 2rad 时,扇形的周长最小,最小值为 4 S. 1 2S 解法 2:设 l 为扇形的弧长,由 S= l· r 得 l= , 2 r 2S 故扇形的周长 C=2r+ ≥2 r 2S 2r· =4 S. r

2S 当且仅当 2r= ,即 S=r2 时取“=”, r

-5-

l 2S 2r2 此时,α= = 2 = 2 =2raD. r r r 所以当扇形的中心角为 2rad 时,扇形的周长最小,最小值为 4 S. 6.(2014· 绍兴月考)角 α 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称(a>0),角 β 终边上的点 Q 与 A 关于直线 y=x 对称,求 sinα· cosα+sinβ· cosβ+tanα· tanβ 的值. [解析] 由题意得,点 P 的坐标为(a,-2a),点 Q 的坐标为(2a,a). 所以,sinα= cosα= -2a
2

a +?-2a?

2=-

2 , 5

a 1 , 2= 5 a +?-2a?
2

-2a tanα= =-2, a sinβ= cosβ= a 1 , 2 2= 5 ?2a? +a 2a 2 , 2 2= 5 ?2a? +a

a 1 tanβ= = , 2a 2 故有 sinα· cosα+sinβ· cosβ+tanα· tanβ = -2 1 1 2 1 × + × +(-2)× =-1. 2 5 5 5 5

-6-


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