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山东省济南第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题



济南一中 2015—2016 学年度第一学期期中质量检测

高二数学试题
说明:本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为第 1 页至第 2 页,共 12 题,第Ⅰ 卷为第 2 页至第 3 页,全卷共 22 个题。请将第Ⅱ卷答案答在答题纸相应位置,考试结束后将答题纸上交。满分 150 分,考试时间 120 分钟。

/>第Ⅰ卷(选择题,每题 5 分,共 60 分)
1.在数列 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , x , 21 , 34 , 55 中, x 等于 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

? ? 2. 在 ?ABC 中, a ? 8, B ? 60 , C ? 75 ,则 b ?

A. 4 2

B. 4 3

C. 4 6

D.

32 3

3. 已知 a , b 为非零实数,且 a ? b ? 0 ,则下列不等式不能成立的是

1 1 ? a ?b a 4. 等差数列 ?an ? 是递减数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? 48 , a2 ? a3 ? a4 ? 12 ,则数列 ?an ? 的通项公式是
A. a ? b
2 2

B.

1 1 ? a b

C. | a |?| b |

D.

A. an ? ?2n ? 10

B. an ? 2n ? 12

C. an ? 2n ? 4

D. an ? ?2n ? 12

5. 在 ?ABC 中,如果 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc,那么角 A 等于 A. 30
?

B. 60
2

?

C. 120

?

D. 150

?

6. 不等式 x ? x ? 6 的解集为 A.

? x ?2 ? x ? 3?

B. x x ? ? 2

?

?

C. x x ? ?2或x ? 3

?

?

D. x x ? 3 )

?

?

7. 已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? ( A.64 B.81 C.128

D.243
0 0

8. 如图, 要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度, 在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45 , 在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30 , 并测得水平面上的 ∠BCD= 120 ,CD=40m,则电视塔的高度为 A. 10 2 m B. 20 m C. 20 3 m D. 40 m
0

?x ? 2 ? 9. 若 ? y ? 2 ,则目标函数 z=x+2y 的取值范围是 ? x ? y ? 2, ?
A. [2,5] B. [2, 6] C. [3, 6] D. [3,5]
高二数学试题 第 1 页 共 5 页

10. 在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60°,则 BC 边上的高等于 A. 3 2 B. 3 3 2 C. 3+ 6 2 D. 3+ 39 4

11. 下列函数中最小值为 4 的是 A.

y ? x?

4 x

B.

y ? sin x ?

4 (0﹤x﹤ ? ) sin x

C.

y ? 3 x ? 4 ? 3? x

D.

y ? lg x ? 4 logx 10
? ?

? 1 ? 12. 已知函数 f(x)=x2+2bx 过点(1,2),若数列?f(n)?的前 n 项和为 Sn,则 S2015 的值为

A.

2015 2014

B.

2013 2014

C.

2016 2015

D.

2015 2016

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分,填空每题 5 分)
13. 已知△ABC 中, a ? 8, b ? 4 , S? ? 8 3 ,则 ?C 等于_______ 14. 已知 a,b ? R? , 且 a ? b ? 1,则

1 1 ? 的最小值为___________ a b

15. 2 ? 1 与 2 ? 1 这两数的等比中项是__________ 16. 已知点 ? 3,1? 和 ? ?4,6 ? 在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则实数 a 的取值范围是_________ 17. 等差数列 ?an ? 的前 3 项和为 30 ,前 6 项和为 100 ,则它的前 9 项和为___ 18. 在 ?ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是___ (1) b ? 10, A ? 45 , C ? 60 (2) a ? 14, b ? 16, A ? 45
0 0 0

__.

_(填题号)

(3) a ? 7, b ? 5, A ? 60

0

(4) a ? 6, c ? 5, B ? 60

0

19. (本题满分 15 分) 设等差数列 ?an ? 的第 10 项为 23,第 25 项为 ? 22 ,求: (1)数列 ?an ? 的通项公式; (2)求 Sn 的最大值

20. ( 本 题 满 分 15 分 ) 如 图 , 在 四 边 形 ABCD 中 , 已 知

AD ? CD, AD ? 10, AB ? 14 ,

?BDA ? 60? , ?BCD ? 135? ,
高二数学试题 第 2 页 共 5 页

求 BC 的长.

21. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? (I)求函数 f ( x ) 的最小值; (II)若不等式 f ( x) ?

9 ( x ? 3) x ?3

t ? 7 恒成立,求实数 t 的取值范围 t ?1

22. (本题满分 15 分)在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? 4 ,且对任意 n ? N ? 都有 an?2 ? 3an?1 ? 2an . (1)令 bn ? an?1 ? an ,求证数列 ?bn ? 是等比数列,并求出数列 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 sn .

高二数学试题 第 3 页 共 5 页

高二数学参考答案

CCDAB ACDBB CD
13. 60
0

14. 4

15. ? 1

16. a ? ?7或a ? 24

17. 210

18. (2)

19. 解: (1)由已知可知 a10 ? 23, a25 ? ?22 , a25 ? a10 ? 15d ? ?22 ? 23 ? 15d , 解得 d ? ?3 , ………………………3 分 ………………………6 分 ………………………7 分

a1 ? a10 ? 9d ? 50 ? an ? ?3n ? 53

(2)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,由 an ? 0, 得n ? 17

2 2 , an ? 0时, n ? 17 ,………………10 分 3 3
………………13 分 ………………15 分

所以此数列的前 17 项均为正数,从第 18 项开始均为负数,

? n ? 17时,Sn 的最大值为 S17 ? 442
或其他方法,酌情给分。 20.解:在 ?ABD 中,设 BD ? x ,则

BA2 ? BD2 ? AD2 ? 2BD ? AD ? cos?BDA ,
即 14 ? x ? 10 ? 2 ? 10x ? cos60 ,∴ x ? 10x ? 96 ? 0 ,
2 2 2 ?
2

………………………4 分

∴ x1 ? 16 , x2 ? ?6 (舍去) ,

………………………8 分

BC BD ? 由正弦定理: sin ?CDB sin ?BCD , BC ?


………………………11 分

16 ? sin 30 ? ? 8 2 ? sin 135

………………………15 分

21. 解: (I)? x ? 3,? x ? 3 ? 0 .? f ( x) ? x ? . ……4 分

9 9 9 ? x ?3? ? 3 ? 2 ( x ? 3) ? ?3? 9 x ?3 x ?3 x ?3

当且仅当 x ? 3 ?

9 2 即 ( x ? 3) ? 9 时上式取得等号, x?3
………6 分
高二数学试题 第 4 页 共 5 页

又? x ? 3,? x ? 6 ,

? 当 x ? 6 时,函数 f ( x) 的最小值是 9.

……7 分

(II)由(I)知,当 x ? 3 时, f ( x) 的最小值是 9,

t t ? 7 恒成立,只需 9 ? ?7 t ?1 t ?1 ?t ?2 t ? 0 ,解得 t ? ?2 或 t ? ?1 ? ?2?0即 t ?1 t ?1
要使不等式 f ( x) ?

…………11 分

? 实数 t 的取值范围是 (??,?2] ? (?1,??) .

…………15 分 …………3 分 …………4 分

22. 解: (1)证明:根据题意知 an?2 ? an?1 ? 2 ? an?1 ? an ? 即 bn?1 ? 2bn 且 b1 ? a2 ? a1 ? 2 所以数列 ?bn ? 是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列, 所以 bn ? b1 ? 2n?1 ? 2n (2)根据叠加法得

…… …………… …………5 分

an ? a1 ? ? an ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ?2 ? ? ? ? ? a2 ? a1 ? =bn-1 ? bn ? 2 ? ? ? b1 ? 2n ? 2
n n 所以 an ? 2 ? 2 ? 2 ? 2

? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 2 , …… …………… …………8 分
…… …………… …………10 分 …… ……………………12 分

?

?

(3)

sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ? 2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? ? n ? 1? ? 2n ? n ? 2n ?1

? sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n ?1
所以

?

2 ?1 ? 2n ? 1? 2
n?1

? n ? 2n ?1 ? ?1 ? n ? 2n ?1 ? 2

…… ……………………14 分

所以 sn ? ? n ?1? 2

?2

…… ……………………15 分

高二数学试题 第 5 页 共 5 页



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