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含参数不等式恒成立问题中参数范围的确定
1 分离参数法

? 1 ? 2 x ? ? ? ?n ? 1?x ? n x a ? 例 1: 设 f ? x ? ? lg ? 其中 a 是实数, n 是任意给定的自然数且 n≥2, 若 f ?x ? ?, n ? ? 1 当 x ? ?? ?,1? 时有意义, 求 a 的取值范围。 a> ?1 ?

n ? 2 例 2: 已知定义在 R 上函数 f(x)为奇函数,且在 ?0,??? 上是增函数,对于任意 x ? R 求实数 m 范围,使

?

?

f ?cos2? ? 3? ? f ?4m ? 2m cos? ? ? 0 恒成立。 m 取(4- 2 2 ,+∞) 5 1 2 例 3: 设 0<a ? ,若满足不等式 x ? a ? b 的 一切实数 x,亦满足不等式 x ? a ? 求正实数 b 的取值 4 2 ? 3? 范围。b 取 ? 0, ? ? 16 ?
2 主参换位法 例 4:若对于任意 a ? ?? 1,1? ,函数

f ?x ? ? x 2 ?a ? 4?x ? 4 ? 2a 的值恒大于 0,求 x 的取值范围。
1 2

x ? 1或 x ? 2 或 x ? 3
例 5: 对于 (0, 3) 上的一切实数 x,不等式 ?x ? 2?m ? 2 x ? 1 恒成立, 求实数 m 的取值范围。 ? m ? 5 3 构建函数法 (1) 构造一次函数

例 6: 若对一切 p ? 2 , 不等式 ?log2 x? ? p log2 x ? 1 ? 2 log2 x ? p 恒成立, 求实数 x 的取值范围。
2

x 取 ? 0, ? ? ?8,??? (2) 造二次函数 例 7: 对于 ? ? ?0, ? , cos ? ? 2m sin ? ? 2m ? 2 ? 0 恒成立,求实数 m 的范围。 m 取 ? ? ,?? ? ? 2? ? 2 ? 4 数形结合法
2

? ?

1? 2?

? ??

? 1

?

例 8、已知对于一切 x,y∈R,不等式 x ?
2

范围。解 a 取 (??,6]

81 18 ? 2 xy ? 2 ? y 2 ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值 2 x x
a 取 ? ,1? ? 27 ?

例 9:若不等式 3x 2 ? loga x ? 0 在 x ? ? 0, ? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。解: 5. 观察.试探.猜想.证明法
4

? 1? ? 3?

?1

?

例 10: 已知对一切实数 ? ,不等式 a?4 ? sin ? ? ? cos2 ? ? 3 ? a ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。

a?

3 82

含参数不等式恒成立问题中参数范围的确定
确定恒成立不等式中参数的取值范围需灵活应用函数与不等式的基础知识,并时常要在两者间进行 合理的交汇,因此此类问题属学习的重点;然而,怎样确定其取值范围呢?课本中却从未论及,但它已 成为近年来命题测试中的常见题型,因此此类问题又属学习的热点;在确定恒成立不等式中参数的取值 范围时,需要在函数思想的指引下,灵活地进行代数变形、综合地运用多科知识,方可取得较好的效益, 因此此类问题的求解当属学习过程中的难点.基于此,下文试对此类问题的求解策略与方法作一提炼总 结. 1 分离参数法 例 1: 设 f ? x ? ? lg ?

? 1 ? 2 x ? ? ? ?n ? 1?x ? n x a n ?

?

?? 其中 a 是实数, n 是任意给定的自然数且 n≥2, 若 f ?x ? ?,
?

当 x ? ?? ?,1? 时有意义, 求 a 的取值范围。 该题题型新颖,许多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围茫然不知所措。因为这类问题涉及 到高中数学的各个分支,在代数,三角,几何,解析几何等的知识,而且这类问题思维要求高,解法也较 灵活, 故学生难以掌握。 但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征, 其实这类题目的规律性是较强的。 下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法: 例如上面的这道高考题,我们根据其特征可以用分离参数法来解决。所谓分离参数法也就是将参数与 未知量分离于表达式的两边,然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可避免分类讨论 的麻烦,使问题得到简单明快的解决。我们来分析一下这道题的特征: 因为分母 n 是正数, 要使得 f ?x ? 当 x ? ?? ?,1? 有意义,分子 1 ? 2 x ? ? ? ?n ? 1? ? n x a 就必须
x

?

?

也是正数。并容易看出,可以将 a 分离出来。 分析:
x

当 x ? ?? ?,1? 时, f ?x ? 有意义,故有
x x

x ?? 1 ? x ? 2 ? x ? 1? ? 1 ? 2 ? ? ? ?n ? 1? ? n a ? 0 ? a ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? n? ? ?? n ? ? n ? ? ?

令 ? ?x ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ?

?? 1 ? x ? 2 ? x ? ?? n ? ? n ?

? ?

1? ? n?

x

? ? ,只要对 ? ?x ? 在 ?? ?,1?上的最大值,此不等式成立即可。故我 ? ?

们可以利用函数的最值分离出参数 a。 解: 由 x ? ?? ?,1? 时, f ?x ? 有意义得:
x ?? 1 ? x ? 2 ? x ? 1? ? 由指数函数单调性知 1 ? 2 ? ? ? ?n ? 1? ? n a ? 0 ? a ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? , ? n? ? ?? n ? ? n ? ? ?

x

x

x

上 式 右 边 的 函 数

? ?x ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ?

?? 1 ? x ?? n ? ?

?2? ?n?

x

? ?

x 1? ? n? ? ?

的 最 大 值 是

? ?1? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
故 a>

?? 1 ? ? 2 ? ?? n ? ? n ?

? n ? 1 ?? 1 ?? = ?1 ? n ? ? n ?? 2

1 ?1 ? n ? 2

一般地,利用最值分离参数法来确定不等式 f ?x, ? ? ? 0 , ( x ? D ? 为实参数)恒成立中参数取值范 围的基本步骤: (1) 将参数与变量分离,即化为 f1 ?? ? ? f 2 ?x ??或f 2 ?? ? ? f 2 ?x ??的形式; (2) 求 f 2 ? x ? 在 x ?D 时的最大(或最小)值; (3) 解不等式 f1 ?? ? ? f 2 max ?x??或 ? f 2 min ?x?? 得 ? 的取值范围。 思想方法: 把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。 适用题型: (1) 参数与变量能分离; (2) 函数的最值易求出。 利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题,还可以用来证明一些不等式。 例 2: 已知定义在 R 上函数 f(x)为奇函数,且在 ?0,??? 上是增函数,对于任意 x ? R 求实数 m 范围,使

f ?cos2? ? 3? ? f ?4m ? 2m cos? ? ? 0 恒成立。
解: ∵ f(x)在 R 上为奇函数,且在 ?0,??? 上是增函数,

∴ f(x)在 ?? ?,??? 上为增函数 又 ∵

f ?c o 2 s? ? 3? ? f ?4m ? 2m c o ? s?? 0

∴ f ?cos2? ? 3? >- f ?4m ? 2m cos? ? = f ?2m cos? ? 4m? ∴ cos 2? ? 3 ? 2m cos ? ? 4m 即 2m?2 ? cos? ? ? 3 ? cos2? ∵ 2- cos ? ? ?1,3? , 2m ?



3 ? cos 2? 4 ? 2 cos2 ? ? 2 ? cos? 2 ? cos?

2 ? cos2 ? 2 ? 2 ? cos? ? ∴ m> 2 ? cos? 2 ? cos?
? 4 ? [2 ? cos ? ? 2 ] 2 ? cos ?

1,3? 令 2- cos? ? t , t ? ?
∴ m>4- ? t ?

? ?

2? ? t?

2 在 t ? ?1,3?上恒成立 t 2 即求 g ?t ? ? t ? 在 t ? ?1,3?上的最小值 t
即 4-m< t ?

∵ g ?t ? ? t ? ∴ ∴ ∴

2 2 ≥2 2 等号成立条件 t= ,即 t ? 2 ? ? 1,3? 成立 t t

g ?t ?m i n? 2 2
4-m< 2 2 即 m>4- 2 2 m 的取值范围为(4- 2 2 ,+∞)

例 3: 设 0<a ?

5 ,若满足不等式 x ? a ? b 的 一切实数 x,亦满足不等式 4 1 x ? a 2 ? 求正实数 b 的取值范围。 2
设集合 A= x | x ? a ? b? ? ?a ? b, a ? b? , B= ? x | x ? a 2 ?

简析略解:此例看不出明显的恒成立问题,我们可以设法转化:

?

? ?

1? ? 2 1 2 1 ? ? ? ?a ? ,a ? ? 2? ? 2 2?
a ? b ? a2 ? 1 2

由题设知 A ? B,则:

于是得不等式组:

1 2 1 b ? ?a 2 ? a ? 2 1 b ? a2 ? a ? 2 a ? b ? a2 ?
2

(0 ? a ?

5 ) 4



1 3 1? 3 ? ? a ? a ? ? ? ? a ? ? ? ,最小值为 ; 2 16 2? 4 ?
2

1 ? 1? 1 a ? a ? ? ?a ? ? ? , 2 ? 2? 4
2

2

最小值为

1 ; 4



b?

3 , 16

即 :b 的取值范围是 ? 0,

? 3? ? 16 ? ?

2 主参换位法 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但 函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会 取得出奇制胜的效果。 例 4:若对于任意 a ? ?? 1,1? ,函数

f ?x ? ? x 2 ?a ? 4?x ? 4 ? 2a 的

值恒大于 0,求 x 的取值范围。 分析:此题若把它看成 x 的二次函数,由于 a, x 都要变,则函数的最小值 很难求出,思路受阻。若视 a 为主元,则给解题带来转机。 解: 设 g ?a ? ? ?x ? 2?a ? x ? 4 x ? 4 ,把它看成关于 a 的直线,
2

由题意知,直线恒在横轴下方。 所以

g ?? 1? ? 0 g ?1? ? 0
解得:

x ? 1或 x ? 2 或 x ? 3

例 5: 对于(0,3)上的一切实数 x,不等式 ?x ? 2?m ? 2 x ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范围。 分析: 一般的思路是求 x 的表达式,利用条件求 m 的取值范围。但求 x 的表达式时,两边必须除以有 关 m 的式子,涉及对 m 讨论,显得麻烦。 解: 若设 f ?x? ? ?x ? 2?m ? ?2 x ? 1? ? ?m ? 2?x ? ?1 ? 2m? ,把它看成是关于 x 的直线,由题意知直 线恒在 x 的轴的下方。所以

f ?0? ? 0
f ?3? ? 0
解得:

1 ?m?5 2

3 构建函数法 当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时,可以通过构建函数来解决。我们知 道,函数概念是高中数学的一个很重要的概念,其思想和方法已渗透到数学的各个分支。在某些数学问 题中,通过数式类比,构造适当的函数模型,然后利用函数的有关性质结论解题,往往收到意想不到的 效果。这里,我们主要介绍如何通过构造一次函数,二次函数模型,并利用它们的性质来确定参数的取 值范围。 (1) 构造一次函数 例 6: 若对一切 p ? 2 , 不等式 ?log2 x? ? p log2 x ? 1 ? 2 log2 x ? p 恒成立, 求实数 x 的取值范围。
2

解:

原不等式变形为 p?log2 x ? 1? ? ?log2 x? ? 2 log2 x ? 1 ? 0 ,
2

现在考虑 p 的一次函数:

f ? p? ? p?l o g 2 x ? 1? ? ?l o g 2 x? ? 2 l o g 2 x ?1
2



f ? p ? ? 0 在 p ? ?? 2,2?上恒成立

f ?? 2? ? ?2?log2 x ? 1? ? ?log2 x? ? 2 log2 x ? 1 ? 0
2



f ?2? ? 2?log2 x ? 1? ? ?log2 x? ? 2 log2 x ? 1 ? 0
2

解得: x ? 8 或 0 ? x ?

1 2



x 的取值范围为 ? 0, ? ? ?8,???

? ?

1? 2?

注: 本题对于一切 p ? 2 不等式恒成立,因此应视 p 为主元,视 x 为参数,把不等式左边变成关于 p 的一次函数型。

(2) 造二次函数 例 7: 对于 ? ? ?0, ? , cos ? ? 2m sin ? ? 2m ? 2 ? 0 恒成立,求实数 m 的范围。 ? 2?
2

? ??

解:

原不等式变形为: ? sin ? ? 2m sin ? ? 2m ? 1 ? 0
2



2 sin ? ? 2m s i n ? ? 2m ? 1 ? 0

令 sin ? ? t , t ? ?0,1? ∴ t ? 2m t ? 2m ? 1 ? 0
2

令 f ?t ? = t ? 2mt ? 2m ? 1
2

∴ 题意为 f ?t ? >0 在 t ? ?0,1? 上恒成立。

?


? 2m ?0 2 ?1

f ?0? ? 2m ? 1 ? 0
0?? ? 2m ?1 2 ?1



? = ?? 2m?2 -4×1×( 2m ? 1 )<0

?


? 2m ?1 2 ?1

g ?1? ? 1 ? 2m ? 2m ? 1 >0
1 ? m ? 0 或 0 ? m ? 1或 m ? 1 2
1 ? 1 ? ,即 m 的取值范围为: ? ? ,?? ? 2 ? 2 ?

解得 : ?



m??

4 数形结合法 某些含参不等式恒成立问题,既不能分离参数求解,又不能转化为某个变量的一次或二次函数时, 则可采用数形结合法。因为辨正唯物主义认为:万物皆有形。所以从宏观上讲,抽象的数学问题必存在 着形象的直观模型,这是因为数学问题本身就是客观世界事物的抽象。我们在解题时,可以有意识地去 认识,挖掘和创造抽象的直观形象,变抽象为直观,充分运用直感,由数思形,以形辅数。数形结合往 往能迅速而简捷地找到解题途径。对于解含参不等式恒成立问题,我们可以先把不等式(或经过变形后 的不等式)两端的式子分别看成两个函数,且画出两函数的图象,然后通过观察两图象(特别是交点时) 的位置关系,从而列出关于含参数的不等式。 例 8、已知对于一切 x,y∈R,不等式 x ?
2

81 18 ? 2 xy ? 2 ? y 2 ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范 2 x x

围。

81 18 81 18 ? 2 xy ? 2 ? y 2 ? a ? 0 ? a ? x 2 ? 2 ? 2 xy ? 2 ? y 2 要使原不等式恒成立 2 x x x x 81 18 ? a ? {x 2 ? 2 ? 2 xy ? 2 ? y 2 }min ,又 x x
解: x ?
2

9 9 x 2 ? 2 xy ? y 2 ? [( ) 2 ? 2( ) 2 2 ? y 2 ? 2 ? y 2 ] ? 2 x x
= (x ? y ) ? (
2

9 9 ? 2 ? y 2 ) 2 ? 2 ,考虑到点 M(x, ) , x x
y

2 N(y,- 2 ? y )则点 M 在曲线 C1:xy=9 上,点 N 在曲线 C2:x2+y2=2(y

≤0)上。显然|MN|min= 3 2 ? 2 ? 2 2 ,此时 a ? 6 .故满足条件的 a 的取 值范围为 (??,6] 评析:对一些不等式两边的式子,函数模型较明显、函数图象较容易作出 的,可以考虑作出函数图象,用函数图像的直观性解决不等式或方程的恒成立 的问题,也非常容易得到意想不到的效果。 例 9:若不等式 3x 2 ? loga x ? 0 在 x ? ? 0, ? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。 O x

? 1? ? 3?

解:

由题意知 : 3x 2 ? loga x 在 x ? ? 0, ? 内恒成立。 在同一坐标系内分别作出 y ? 3x 2 和

? 1? ? 3?

y ?log a x 的图象

因为 x ? ? 0, ? 时, y ? loga x 的图象位于函数 y ? 3x 2 的图象上方, 当 a> 1 时,显见不成立。 故 0<a<1 ① 由图可知:

? 1? ? 3?

?1 1? y ? loga x 的图象必须过点 ? , ? ?3 3?
或在这个点的上方,则: log a ∴

1 1 ? 3 3 1 ? a ?1 27
∴ a 的取值范围为 ? ,1? ? 27 ?

a?

1 27



由 ①,② 知 :

?1

?

5. 观察.试探.猜想.证明法 当前面的方法都难以解决问题时,我们可以考虑从特殊到一般的思想,先考虑一些变量的特殊值, 找出相应的满足题设的参数的取值,然后猜想出参数的取值范围,并将问题转化为:在已知参数取值范 围的情况下,证明所给问题恒成立。 例 10: 已知对一切实数 ? ,不等式 a?4 ? sin ? ? ? cos2 ? ? 3 ? a ? 0 恒
4

成立,试求实数 a 的取值范围。 分析: 取 ? =

? , 2

3 ?? ? ? 则由 a? 4 ? sin ? ? cos2 ? 3 ? a ? 0 解得: a> 82 2? 2 ?
又取 ? =0, ? 时均得: a ? 由此猜想: a ? 由于当 ∵ ∴ 故

4

3 , 257

3 , 82

a?

3 时,对一切 ? ? R 82

co2 s ? ? 0 , 4 ? sin ? ? 3
4

a?4 ? s i n ?? ?c o 2 s? ? 3 ? a ? a ? 34 ? 0 ? 3 ? a ? 0 恒成立
a? 3 为所求。 82

数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化,参数问题形式多样,方法灵活多变,技巧性较强。这就 要求我们要以变应变,在解题过程中,要根据具体的题设条件,认真观察题目中不等式的结构特征,从不 同的角度,不同的方向,加以分析探讨,从而选择适当方法快速而准确地解出。当然除了以上的方法外, 还有许多其它的方法,值得一提的是,各种方法之间并不是彼此孤立的。因此,系统地掌握参数问题的解 题方法,无疑会对学生今后学习及培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助。



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