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2015山东春季高考数学试题(含详细答案)



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山东省 2015 年普通高校招生(春季)考试 数学试题
注意事项: 1.本试卷分卷一(选择题)和卷二(非选择题)两部分,满分 120 分,考试时间 120 分钟.考 试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 2.本次考试允许使用函数型计算器,凡使用计算器的题目,最后结果精确到 0.01. 卷一(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题

共 20 个小题,每小题 3 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中,只 有一项符合题目要求,请将符合题目要求的选项字母代号选出,填涂在答题卡上) 1.集合 A ? ?1, 2,3? , B ? ?1,3? ,则 A ? B 等于( A.{1,2,3} B.{1,3} C.{1,2} 【考查内容】集合的交集 【答案】B 2.不等式 x ? 1 ? 5 的解集是( A.( ?6 ,4) B.( ?4 ,6) D.{2} )

) D. ( ?∞, ?4) ? (6, ?∞)

C. ( ?∞, ?6) ? (4, ?∞)

【考查内容】绝对值不等式的解法 【答案】B 【解析】 x ? 1 ? 5 ? ?5 ? x ? 1 ? 5 ? ?4 ? x ? 6 . 3.函数 y ?

x ?1 ?

1 的定义域是( x



A. x x ? ?1且x ? 0

?

?

B. x x ? ?1

?

?

C. x x > ? 1且x ? 0

?

?

D. x x > ? 1

?

?

4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考查内容】充分、必要条件 【答案】C 【解析】 “圆心到直线的距离等于圆的半径”?“直线与圆相切” , “直线与圆相切” ?“圆 心到直线的距离等于圆的半径”. 5.在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 1, a4 ? 3 ,则 a6 的值是( A. ?5 B.5 C. ?9 D.9 【考查内容】等比数列的性质 【答案】D a 【解析】 q 2 ? 4 ? 3 , a6 ? a4 q 2 ? 9 . a2
??? ? ? ??? ? ? ???? ? 6.如图所示,M 是线段 OB 的中点,设向量 OA ? a, OB ? b ,则 AM 可以表示为(





? 1? A. a ? b 2

? 1? B. ?a ? b 2

? 1? C. a ? b 2

第 6 题图 ? 1? D. ?a ? b 2

15SD1

【考查内容】向量的线性运算 【答案】B ???? ? ???? ? ??? ? 1? ? 【解析】 AM ? OM ? OA ? b ? a . 2 7.终边在 y 轴的正半轴上的角的集合是( )
? ? ? ? ? ? A. ? x x ? ? 2k ?, k ? Z ? B. ? x x ? ? k ?, k ? Z ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. ? x x ? ? ? 2k ?, k ? Z ? D. ? x x ? ? ? k ?, k ? Z ? 2 2 ? ? ? ? 【考查内容】终边相同的角的集合 【答案】A ? ? ? 【解析】终边在 y 轴正半轴上的角的集合是 ? x ? 2k ?, k ? Z ? . ? 2 ?

8.关于函数 y ? ? x 2 ? 2 x ,下列叙述错误的是(



A.函数的最大值是 1 B.函数图象的对称轴是直线 x ? 1 C.函数的单调递减区间是 [?1, ?∞) D.函数的图象经过点(2,0) 【考查内容】二次函数的图象和性质 【答案】C 【解析】y ? ? x 2 ? 2 x ? ?( x ? 1) 2 ? 1 , 最大值是 1, 对称轴是直线 x ? 1 , 单调递减区间是 [1, ?∞) , (2,0)在函数图象上. 9.某值日小组共有 5 名同学,若任意安排 3 名同学负责教室内的地面卫生,其余 2 名同学负 责教师外的走廊卫生,则不同的安排方法种数是( ) A.10 B.20 C.60 D.100 【考查内容】组合数的应用 【答案】A 【解析】从 5 人中选取 3 人负责教室内的地面卫生,共有 C3 5 ? 10 种安排方法.(选取 3 人后 剩下 2 名同学干的活就定了) 10.如图所示,直线 l 的方程是(



第 10 题图 A. 3x ? y ? 3 ? 0 C. 3x ? 3 y ? 1 ? 0 B. 3x ? 2 y ? 3 ? 0 D. x ? 3 y ? 1 ? 0

15SD2

【考查内容】直线的倾斜角,直线的点斜式方程 【答案】D 【解析】 由图可得直线的倾斜角为 30°, 斜率 k ? tan 30? ? 由直线的点斜式方程可得 l: y ? 0 ?
3 , 直线 l 与 x 轴的交点为 (1,0) , 3

3 ( x ? 1) ,即 x ? 3 y ? 1 ? 0 . 3 11.对于命题 p,q,若 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,则( )

A. p,q 都是真命题 B. p,q 都是假命题 C. p,q 一个是真命题一个是假命题 D.无法判断 【考查内容】逻辑联结词 【答案】C 【解析】由 p ? q 是假命题可知 p,q 至少有一个假命题,由 p ? q 是真命题可知 p,q 至少有一 个真命题,∴p,q 一个是真命题一个是假命题. 12.已知函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 ,则 f (?1) 的值是( A. ?3 B. ?1 C.1 D.3 )

【考查内容】奇函数的性质 【答案】A 【解析】 f (?1) ? ? f (1) ? ?(12 ? 2) ? ?3 .
??? ? 13.已知点 P(m, ?2) 在函数 y ? log 1 x 的图象上,点 A 的坐标是(4,3) ,则 AP 的值是(
3



A. 10 B. 2 10 C. 6 2 D. 5 2 【考查内容】对数的运算,向量的坐标运算,向量的模 【答案】D
1 【解析】∵点 P(m, ?2) 在函数 y ? log 1 x 的图象上,∴ log 1 m ? ?2, m ? ( ) ?2 ? 9 ,∴P 点坐标为 3 3 3 ??? ? ??? ? (9, ?2) , AP ? (5, ?5), AP ? 5 2 .

14.关于 x,y 的方程 x 2 ? my 2 ? 1 ,给出下列命题: ①当 m ? 0 时,方程表示双曲线; ②当 m ? 0 时,方程表示抛物线; ③当 0 ? m ? 1 时,方程表示椭圆; ④当 m ? 1 时,方程表示等轴双曲线;

⑤当 m ? 1 时,方程表示椭圆. 其中,真命题的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,等轴双曲线的概念 【答案】B 【解析】当 m ? 0 时,方程表示双曲线;当 m ? 0 时,方程表示两条垂直于 x 轴的直线;当 0 ? m ? 1 时,方程表示焦点在 y 轴上的椭圆;当 m ? 1 时,方程表示圆;当 m ? 1 时,方程表 示焦点在 x 轴上的椭圆.①③⑤正确. 15. (1 ? x)5 的二项展开式中,所有项的二项式系数之和是( A.0 B. ?1 C. ?32 D.32 )

【考查内容】二项式定理 【答案】D
0 2 3 4 5 ? C1 【解析】所有项的二项式系数之和为 C5 5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? 32 .

?x ? y ?1 ? 0 16.不等式组 ? 表示的区域(阴影部分)是( ?x ? y ? 3 ? 0



A B C D 15SD3 15SD4 15SD5 15SD6 【考查内容】不等式组表示的区域 【答案】C 【解析】可以用特殊点(0,0)进行验证: 0 ? 0 ? 1 ? 0 , 0 ? 0 ? 3 ? 0 ,非严格不等式的边界用 虚线表示,∴该不等式组表示的区域如 C 选项中所示. 17.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览,约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选 一处,则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是( ) A.
2 9

B.

2 3

C.

1 4

D.

1 2

【考查内容】古典概率 【答案】D 【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为 2 ? 2 ? 4 ,其中甲、乙两位同学恰好选取同 一处景点的种数为 2,故所求概率为
2 1 ? . 4 2

? ? ? ?? ?? ? ? ? 18.已知向量 a ? (cos ,sin ), b ? (cos ,sin ), 则 a?b 的值等于( 12 12 12 12 1 3 B. C.1 D.0 2 2 【考查内容】余弦函数的两角差公式,向量的内积的坐标运算



A.

【答案】A

? ? ? ? ? ? ? 1 【解析】 a?b ? sin cos ? cos sin ? sin ? . 12 12 12 12 6 2 19.已知 ? , ? 表示平面,m,n 表示直线,下列命题中正确的是( ) A.若 m ? ? , m ? n ,则 n ? ? B.若 m ? ? , n ? ? , ? ? ? ,则 m ? n C.若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? D.若 m ? ? , n ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ?

【考查内容】空间直线、平面的位置关系 【答案】C 【解析】A. 若 m ? ? ,m ? n ,则 n ? ? 或 n 在 ? 内;B. 若 m ? ? ,n ? ? ,? ? ? ,则 m ? n 或 m 与 n 异面;D. 若 m ? ? , n ? ? , m ? ? , n ? ? ,且 m、n 相交才能判定 ? ? ? ;根据 两平面平行的性质可知 C 正确. 20.已知 F1 是双曲线
x2 y 2 点 P 在双曲线上, 直线 PF1 与 x 轴垂直, ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点, a 2 b2

且 PF1 ? a ,则双曲线的离心率是( A. 2 B. 3 C.2 D.3 【考查内容】双曲线的简单几何性质 【答案】A



( ?c ) 2 y 2 b2 【解析】F1 的坐标为 (?c, 0) , 设 P 点坐标为 (?c, y0 ) , 2 ? 0 解得 y0 ? , 由 PF1 ? a ? 1, 2 a a b

可得

b2 ? a ,则 a ? b ,该双曲线为等轴双曲线,离心率为 2 . a

卷二(非选择题,共 60 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分.请将答案填在答题卡相应题号的横 线上) 21.直棱柱的底面是边长为 a 的菱形,侧棱长为 h,则直棱柱的侧面积是 . 【考查内容】直棱柱的侧面积 【答案】4ah 22.在△ABC 中, ?A ? 105? , ?C ? 45? , AB ? 2 2 ,则 BC= 【考查内容】正弦定理 【答案】 2+ 6 【解析】由正弦定理可知,
AB BC AB sin A 2 2 sin105? ? ? ? 6? 2. , BC ? sin C sin A sin C 2 2

.

23.计划从 500 名学生中抽取 50 名进行问卷调查,拟采用系统抽样方法,为此将他们逐一编 号为 1-500,并对编号进行分段,若从第一个号码段中随机抽出的号码是 2 ,则从第五个号 码段中抽取的号码应是 . 【考查内容】系统抽样 【答案】42 【解析】从 500 名学生中抽取 50 名,则每两相邻号码之间的间隔是 10,第一个号码是 2, 则第五个号码段中抽取的号码应是 2 ? 4 ? 10 ? 42 . 24.已知椭圆的中心在坐标原点, 右焦点与圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 的圆心重合,长轴长等于圆的 直径,则短轴长等于 . 【考查内容】椭圆的简单几何性质

【答案】 2 7 【解析】 圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 的圆心为 (3,0) , 半径为 4, 则椭圆的长轴长为 8, 即 c ? 3, a ? 4 ,
b ? a 2 ? c 2 ? 7 ,则短轴长为 2 7 .

25.集合 M , N , S 都是非空集合,现规定如下运算:
M ? N ? S ? ? x x ? ( M ? N ) ? ( N ? S ) ? ( S ? M )? .且 x ? ( M ? N ? S ) .

若集合 A ? ? x a ? x ? b? , B ? ? x c ? x ? d ? , C ? ? x e ? x ? f ? ,其中实数 a,b,c,d,e,f,满 足 : ① ab ? 0, cd ? 0, ef ? 0 ; ② a ? b ? c ? d ? e ? f
A? B ?C ?

; ③ a?b ? c?d ? e? f

. 则

.

【考查内容】不等式的基本性质,集合的交集和并集 【答案】 ? x c ? x ? e或b ? x ? d ? 【解析】 ∵a?b ? c?d , ∴ a ?c ? d ?b ; ∵ a ?b ? c?d , ∴a?c ? b?d ; ∴b?d ? d ?b , b?d ; 同理可得 d ? f ,∴ b ? d ? f . 由①③可得 a ? c ? e ? 0 ? b ? d ? f . 则 A ? B ? ? x c ? x ? b? ,
B ? C ? ? x e ? x ? d ? , C ? A ? ? x e ? x ? b? . A ? B ? C ? ? x c ? x ? e或b ? x ? d ? .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程) 26.(本小题 6 分)某学校合唱团参加演出,需要把 120 名演员排成 5 排,并且从第二排起, 每排比前一排多 3 名,求第一排应安排多少名演员. 【考查内容】等差数列的实际应用 【解】由题意知各排人数构成等差数列 ?an ? ,设第一排人数是 a1 ,则公差 d ? 3 ,前 5 项和
S5 ? 120 ,因为 S n ? na1 ? n(n ? 1) 5? 4 d ,所以 120 ? 5a1 ? ? 3 ,解得 a1 ? 18 . 2 2 ? .函数的部分图象如图所示.求: 2

答:第一排应安排 18 名演员. 27.(本小题 8 分)已知函数 y ? 2sin(2 x ? ? ), x ? R , 0 ? ? ? (1)函数的最小正周期 T 及 ? 的值; (2)函数的单调递增区间.

15SD7 【考查内容】正弦型函数的图象和性质 【解】 ( 1)函数的最小正周期 T ?

第 27 题图

2? ,所以 2sin ? ? 1 ,即 ? ? ,因为函数的图象过点(0,1) 2

sin ? ?

1 ? ? ,又因为 0 ? ? ? ,所以 ? ? . 2 2 6

? ? (2)因为函数 y ? sin x 的单调递增区间是 [? ? 2k ?, ? 2k ?], k ? Z . 2 2 ? ? ? ? ? 所以 ? ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ? ,解得 ? ? k ? ? x ? ? k ? , 2 6 2 3 6 ? ? 所以函数的单调递增区间是 [? ? k ?, ? k ?], k ? Z . 3 6

28.(本小题 8 分)已知函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )在区间 [?2, 4] 上的最大值是 16. (1)求实数 a 的值; (2)若函数 g ( x) ? log 2 ( x 2 ? 3x ? 2a) 的定义域是 R,求满足不等式 log a (1 ? 2t ) ? 1 的实数 t 的取值 范围. 【考查内容】指数函数的单调性 【解】 (1)当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间 [?2, 4] 上是减函数, 所以当 x ? ?2 时,函数 f ( x) 取得最大值 16,即 a ?2 ? 16 ,所以 a ? 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间 [?2, 4] 上是增函数, 所以当 x ? 4 时,函数 f ( x) 取得最大值 16,即 a 4 ? 16 ,所以 a ? 2 . ( 2 ) 因 为 g ( x) ? log 2 ( x 2 ? 3x ? 2a) 的 定 义 域 是 R, 即 x 2 ? 3x ? 2a ? 0 恒 成 立 . 所 以 方 程
x 2 ? 3 x ? 2a ? 0 的判别式 ? ? 0 ,即 (?3) 2 ? 4 ? 2a ? 0 ,解得 a ?

1 . 4

9 1 ,又因为 a ? 或 a ? 2 ,所以 8 4

1 1 a ? 2 .代入不等式得 log 2 (1 ? 2t ) ? 1 ,即 0 ? 1 ? 2t ? 2 ,解得 ? ? t ? ,所以实数 t 的取值范 2 2 1 1 围是 [? , ) . 2 2

29.(本小题 9 分)如图所示,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,平面 SAD ? 平面 ABCD, SA ? SD ? 2, AB ? 3 . (1)求 SA 与 BC 所成角的余弦值; (2)求证: AB ? SD .

15SD8 第 29 题图 【考查内容】异面直线所成的角,直线与平面垂直的判定和性质 【解】 (1)因为 AD ? BC ,所以 ?SAD 即为 SA 与 BC 所成的角,在△SAD 中, SA ? SD ? 2 , 又在正方形 ABCD 中 AD ? AB ? 3 ,所以 cos ?SAD ?
SA2 ? AD 2 ? SD 2 22 ? 32 ? 22 3 ? ? ,所以 SA 2 SA? AD 2? 2?3 4

3 与 BC 所成角的余弦值是 . 4 (2)因为平面 SAD ? 平面 ABCD, 平面 SAD ? 平面 ABCD ? AD ,在正方形 ABCD 中,AB ? AD ,

所以 AB ? 平面 SAD,又因为 SD ? 平面 SAD,所以 AB ? SD . 30.(本小题 9 分)已知抛物线的顶点是坐标原点 O,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,Q 是抛物线上
3 的点,点 Q 到焦点 F 的距离是 1,且到 y 轴的距离是 . 8

(1)求抛物线的标准方程; (2)若直线 l 经过点 M(3,1),与抛物线相交于 A,B 两点,且 OA ? OB ,求直线 l 的方程.

15SD10 【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质,直线与抛物线的位置关系

第 30 题图

【解】 (1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y 2 ? 2 px ,因为点 Q 到焦点 F 的距离是 1,
3 p 3 5 所以点 Q 到准线的距离是 1,又因为点 Q 到 y 轴的距离是 ,所以 ? 1 ? ,解得 p ? , 8 2 8 4

所以抛物线方程是 y 2 ?

5 x. 2 5 x 联立,可解得交点 A、 2

(2)假设直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x ? 3 ,与 y 2 ? B 的坐标分别为 (3,

??? ? ??? ? 3 30 30 ), (3, ? ) ,易得 OA?OB ? ,可知直线 OA 与直线 OB 不垂直,不 2 2 2 满足题意,故假设不成立,从而,直线 l 的斜率存在.

设直线 l 的斜率为 k, 则方程为 y ? 1 ? k ( x ? 3) ,整理得 y ? kx ? 3k ? 1 ,
? y ? kx ? 3k ? 1? ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 联立直线 l 与抛物线的方程得 ? 2 5 y ? x? ? ? 2

,

5 消去 y,并整理得 k 2 x 2 ? (6k 2 ? 2k ? ) x ? 9k 2 ? 6k ? 1 ? 0 , 2

于是 x1 ? x2 ?

9k 2 ? 6k ? 1 . k2

y ? 3k ? 1 ,代入②式并整理得 2ky 2 ? 5 y ? 15k ? 5 ? 0 , k ??? ? ??? ? ?15k ? 5 于是 y1 ? y2 ? ,又因为 OA ? OB ,所以 OA?OB ? 0 ,即 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 , 2k

由①式变形得 x ?

9k 2 ? 6k ? 1 ?15k ? 5 1 ? ? 0 ,解得 k ? 或 k ? 2 . 2k 3 k2 1 1 当 k ? 时,直线 l 的方程是 y ? x ,不满足 OA ? OB ,舍去. 3 3 当 k ? 2 时, 直线 l 的方程是 y ? 1 ? 2( x ? 3) , 即 2x ? y ? 5 ? 0 , 所以直线 l 的方程是 2 x ? y ? 5 ? 0 .



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