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函数的表示法


温故知新
f ( x) ? x2 ? x ,则 1.已知函数

4a ? 6 2 a ?a f (2) ? ___; f ( a) ? _____; f (2 a ?1) ? _____.a ? 2
2
2

1? x 2.函数 f ( x) ? 的定义域为 x ?1 {x | x ? 1且x ? ?1} (或(-?,-1)? (?1,1]) ______________.

函数的表示法
1、解 析 法 ,就是用数学表达式 表示两个变量间的对应关系( 1.2.1 的实例1)。
2、图 像 法,就是用图像表示两个 变量的对应关系( 1.2.1的实例2)。 3、列 表 法,就是列出表格来表 示两个变量间的对应关系( 1.2.1 的实例3)。

例1、某种笔记本的单价是5元,买

x( x ?{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元。
试用函数的三种表示法表示函数y=f(x) . 解:这个函数的定义域是数集 {1,2,3,4,5}. 用解析法可将函数y=f(x)表示为

y ? 5x, x ?{1,2,3,4,5}

用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记 本数x 钱数y

1 5

2 10

3 15

4 20

5 25

用图象法可将y=f(x)表示为下图: y 25 20 15 10 5
0

1

2

3

4

5

x

比较函数的三种表示方法,它们各自 的优点是什么?所有的函数都能用解析法 表示吗?

解析法有两个优点:1、简明;2、给自变量 可求函数值。

图象法的优点:直观形象,反映变化趋势。

列表法的优点:不需要计算就可以直接看出 与自变量的值所对应的函数值。 并不是所有的函数都能用解析法表示。

例2、下表是某校高一(1)班三名同学在高一 学年六次数学测试的成绩及班级平均分表。
成绩 姓名 测试 序号

第1次

第2次

第3次 第4次 第5次 第6次

王伟 张成 赵磊
班级平均分

98 90 68 88.2

87 76 65 78.3

91 88 73 85.4

92 75 72 80.3

88 86 75

95 80 82

75.7 82.6

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情 况做一个分析。

y
100 90 80 70 60
班 的 平 均 分

王伟 张城

赵磊 1 2 3 4 5 6

x

例3、画出函数y ? x的图像。
?x , x ? 0 解: y ? x ? ? ?? x ,x ? 0 y

1

0

1

x

例4: 某市“招手即停”公共汽车的票价按 下列规则制定:(1)在5公里以内(含5公里),票 价2元; (2) 5公里以上,每增加5公里,票价增加1元 (不足5公里的按5公里计算). 如果某线路的总里程为20公里,请根据题 意写出票价与里程之间的函数解析式,并画 出函数的图象.

解: 设票价为y元,里程为x,由题意可得x∈(0,20]
由已知可得函数解析式为:

? 2, ? 3, ? y?? ? 4, ? 5, ?

0 < x ? 5, 5 < x ? 10, 10 < x ? 15, 15 < x ? 20,

? 2, ? 3, ? y?? ? 4, ? 5, ?

0 < x ? 5, y 5 5 < x ? 10, 4 10 < x ? 15, 3 15 < x ? 20, 2
1
0 5 10 15 20 X

图公交车票价.gsp

我们把上述两例中的函数叫做分段函数: 即分区间定义的函数. 分段函数的图象要分段作出!

注意
这种在定义域的不同部分,有不同的对应法则 的函数称为分段函数。

1. 分段函数是一个函数,不要把 它误认为是“几个函数”; 2. 分段函数的定义域是各个部分 定义域的并集,值域也是各个部分 值域的并集。

问题探究

1.国内跨省市之间邮寄信函,每封
信函的质量和对应的邮资如下表:
信函质量(m)/g 0 ? m ? 20 20 ? m ? 40 40 ? m ? 60 60 ? m ? 80 80 ? m ? 100 邮资(M)/元

0.80

1.60

2.40

3.20

4.00

请画出图像,并写出函数的解析式.

解:函数解析式为 0.8, 0<m ≤ 20

1.60,
M= 2.40, 3.20, 4.00,

20<m ≤ 40
40<m ≤ 60 60<m ≤ 80 80<m ≤ 100

这种在定义域的不同部分,有不同的对应法则 的函数称为分段函数。

邮资是信函质量的函数, 其图像
如下:
M/元
4.0

3.2
2.4 1.6 0.8

。 。

。 。
O 20


40 60 80 100

m/g

问题探究

2x+3, x<-1, x2, -1≤x<1, 2. 已知函数f (x)= x-1, x≥1 .

(1)求f(-2) (2)求f[f(-2)] ;

(3) 当f (x)=-7时,求x ;

思考交流
1. 以下叙述正确的有( C ) (1)分段函数的定义域是各段定义域的并集。值域是各段值域的并 集。

(2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应法则,但它是一个 函数。
(3)若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应法则的值域,则 D1∩ D2 ≠φ也能成立。 A 1个 B 2个 C 3个 D 0个

思考交流
2. 设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图 中, 能表示f:A→B的函数是( D ).
y
2

y

A
2

2

B
y
2

0

x

y 2
0

0
2

x

C
2

D
2

x

0

x

思考交流

x+2, (x≤-1) 2x, ( x≥2 )

x2, (-1<x<2) 3. 已知函数f (x)=

若f(x)=3, 则x的值是( D ) 3 A. 1 B. 1或 2 3 D. 3 C. 1, ? 3 ,
2

映射的定义:
设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定 的对应关系,使对于集合A中的每一个元素x, 在集合B中都有唯一确定的数y与之对应,那么 称对应f:A ? B为从集合A到集合B一个 映射 . A中的元素称为原象 B中的元素称为象

映射可以看作是函数概念的推广!

以下给出的对应是不是从集合A 到集合B的映射
(1)A={P|P数轴上的点},B=R,对应关系f:数 轴上的点与它所代表的实数对应
(2)A={P|P是平面直角坐标系中的 点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f:平面 直角坐标系中的点与它的坐标对应 (3)A={x|x是育才中学的班级},B={x|x是育才中 学的学生},对应关系f:每一个班级对应班里的 学生}

小结
作业

学完了本节课,你有什么收获?

Homework:

教材P24 P25

A-7, B-3

A-8

同步P21-23基础训练



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