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2.4.2 二次函数的性质课件(北师大版必修一)



对于给定的二次函数y=-2x2+8x+24. 问题1:将该二次函数化成顶点式. 提示:顶点式为y=-2(x-2)2+32. 问题2:该函数的单调区间是什么? 提示:单调增区间为(-∞,2],减区间为[2,+∞). 问题3:当自变量x取何值时,函数的图像达到最高点?

提示:当x=2时,函数的图像达到最高点.

二次函数y=ax2+bx

+c(a≠0)的性质 函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) a>0 图 像 a<0

函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
(1)抛物线开口向 上 , (1)抛物线开口向 下 , 并向上无限延伸 性 质 并向下无限延伸

b - (2)对称轴是 x= 2a
顶点坐标是

b - ,(2)对称轴是 x= 2a ,
顶点坐标是

b 4ac-b (-2a, 4a )

2

b 4ac-b (-2a, 4a )

2

函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
b (-∞,-2a] (3)在区间 b (-∞,-2a] (3)在区间

性 质

上是减函数,在区间 上是增函数,在区间 b b (-2a,+∞] 上是增函数 (- ,+∞] 上是减函数 2a (4)抛物线有最低点,当 x= (4)抛物线有最高点, b - 时,y 有最小值,ymin 2a b 当 x=- 时, 有最大值, y 2a



4ac-b2 4a

4ac-b2 4a ymax=

配方法是研究二次函数最值及对称轴、顶点坐标 等的基本方法,在探究出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的对称轴后,其图像的对称性及单调性就会较直观地 反应在大脑中.

[例 1]

已知函数 y=f(x)=3x2+2x+1.

(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴; 2 (2)已知 f(-3)=1,不计算函数值,求 f(0); 3 15 (3)不直接计算函数值,试比较 f(-4)与 f( 4 )的大小.

[思路点拨]

[精解详析]

12 2 ∵y=f(x)=3x +2x+1=3(x+3) +3.
2

1 2 1 (1)顶点坐标为(-3,3),对称轴是直线 x=-3; 2 1 1 (2)∵f(-3)=1,又|0-(-3)|=3, 2 1 1 |-3-(-3)|=3, 2 所以结合二次函数的对称性可和 f(0)=f(-3)=1;

12 2 (3)由 f(x)=3(x+3) +3知二次函数图像开口向上,且 1 对称轴为 x=-3,所以离对称轴越近,函数值越小. 3 1 15 1 又|-4-(-3)|<| 4 -(-3)|, 3 15 ∴f(-4)<f( 4 ).

[一点通] 1.已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴,一般 先用配方法把二次函数解析式写成顶点式:y=a(x+h)2+k,

进而确定顶点坐标为(-h,k),对称轴为x=-h.
2.比较两点函数值大小,可以先比较两点离对称轴的 距离大小,然后结合二次函数的开口方向,从而得到它们的 大小关系,也可以将要比较的两个点转化到同一单调区间上, 再利用函数的单调性比较它们的大小.

1.下列区间中,使函数 y=-2x2+x 是增函数的是 ( A.R
?1 ? C.?4,+∞? ? ?

)

B.[2,+∞)
? 1? D.?-∞,4? ? ?
2

解析:函数 y=-2x

? 1?2 1 +x=-2?x-4? +8的图像的对称轴 ? ?

1 1 是直线 x=4, 图像的开口向下, 所以函数在对称轴 x=4的 左边是增加的.

答案:D

2.(1)若f(x)=-x2+2ax在(-∞,2)上是增函数,求实数 a的取值范围. (2)已知函数f(x)=-x2+2ax的增区间为(-∞,2),求

实数a的值.
解:∵f(x)=-(x-a)2+a2,其函数图像开口向下,对 称轴为x=a.

(1)∵f(x)的增区间为(-∞,a],
由题意(-∞,a]?(-∞,2), ∴a≥2.即实数a的取值范围是:[2,+∞)

(2)由题意,f(x)的对称轴为x=a=2,即a=2.

1 4 2 3.本例条件不变,试比较 f(-1)与 f(3),f(-3)与 f(3), 5 f(-3)与 f(1)的大小关系,并归纳出一个使上述关系 式成立的式子.(不必证明)
1 1 1 解:∵|-1-(-3)|=|3-(-3)|, 4 1 2 1 |-3-(-3)|=|3-(-3)|,

5 1 1 1 |-3-(-3)|=|1-(-3)|, 结合二次函数关于 x=-3对称 可知 1 4 2 f(-1)=f(3),f(-3)=f(3), 5 f(-3)=f(1). 由上述等式的变量间的关系可归纳出一个恒等式: 1 1 f(-3+x)=f(-3-x),x∈R.

[例2]

已知二次函数f(x)=x2-2x+3,

(1)当x∈[-2,0]时,求f(x)的最值;

(2)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最值;
(3)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t). [思路点拨] (1)、(2)可就f(x)=(x-1)2+2的对称轴与区

间的情况直接求最值,(3)可分析x=1与区间[t,t+1]的关系, 就x=1是否落在区间[t,t+1]内展开讨论.

[精解详析]

∵f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,其对称轴

为x=1,开口向上.
(1)当x∈[-2,0]时,f(x)在[-2,0]上是单调递减的,故当 x=-2时,f(x)有最大值f(-2)=11; 当x=0时,f(x)有最小值f(0)=3; (2)当x∈[-2,3]时,f(x)在[-2,3]上是先减后增的,故当

x=1时,f(x)有最小值f(1)=2,
又|-2-1|>|3-1|, ∴f(x)的最大值为f(-2)=11;

(3)①当t>1时, f(x)在[t,t+1]上单调递增, 所以当x=t时,f(x)取得最小值,

此时g(t)=f(t)=t2-2t+3.
②当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时, f(x)在区间[t,t+1]上先减再增, 故当x=1时,f(x)取得最小值,此时g(t)=f(1)=2.

③当 t+1<1,即 t<0 时,f(t)在[t,t+1]上单调递减, 所以当 x=t+1 时,f(x)取得最小值, 此时 g(t)=f(t+1)=t2+2, ?t2-2t+3, t>1, ? 0≤t≤1, 综上得 g(t)=?2, ?t2+2, t<0. ?

[一点通]

求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值
的步骤: (1)配方,找对称轴; (2)判断对称轴与区间的关系; (3)求最值.若对称轴在区间外,则 f(x)在[m,n]上单 调,利用单调性求最值;若对称轴在区间内,则在对称轴 取得最小值,最大值在[m,n]端点处取得.

4.函数y=-x2-2ax(0≤x≤1)的最大值是a2,则实数a

的取值范围是
A.0≤a≤1 C.-2≤a≤0 B.0≤a≤2

(

)

D.-1≤a≤0

解析:y=-x2-2ax=-(x+a)2+a2. ∵函数在[0,1]上的最大值是a2,

∴0≤-a≤1,即-1≤a≤0.
答案:D

5.函数f(x)=2x2-6x+1在区间[-1,1]上的最小值是
________,最大值是________. ? 3?2 7 解析:∵f(x)=2?x-2? -2在[-1,1]上为减函数, ? ?
∴当 x=1 时,f(x)min=-3;当 x=-1 时,f(x)max=9.

答案:-3 9

6.已知二次函数y=f(x)=x2-2ax+a在区间[0,3]上的 最小值为-2,求a的值.
解:f(x)=(x-a)2+a-a2,对称轴为 x=a,按 a 是否在[0,3] 中分三种情况讨论. (1)当 a<0 时,ymin=f(0)=a=-2,适合; (2)当 0≤a≤3 时, min=f(a)=a-a2=-2, y 解得 a=2 或-1, 但-1?[0,3],∴a=2; (3)当 a>3 时,ymin=f(3)=9-5a=-2, 11 11 解得 a= 5 ,但 5 <3,故舍去. 综上,a=± 2.

[例3]

某企业生产的一种电器

的固定成本(即固定投资)为0.5万元,
每生产一台这种电器还需可变成本 (即另增加投资)25元,市场对这种 电器的年需求量为5百台.已知这种电器的销售收入(R)与 销售量(t)的关系用抛物线表示如图. (注:年产量与销售量的单位:百台,纯收益的单位: 万元,生产成本=固定成本+可变成本,精确到1台和0.01

万元)

(1)写出如图的销售收入(k)与销售量(t)之间的函数关系 R=f(t); (2)认定销售收入减去生产成本为纯收益,写出纯收益 与年生产量的函数关系式,并求年生产量是多少时纯收益

最大?
[思路点拨] 解答本题可先由图求出销售收入与销售量

之间的函数关系式,即R=f(t),然后建立纯收益与销售量之 间的函数关系式进而求出纯收益的最大值.

[精解详析]

25 (1)由图可知:R=a(t-5) + 2 ,
2

1 由 t=0 时,R=0 得 a=-2. 1 25 2 ∴R=-2(t-5) + 2 (0≤t≤5). 12 1 1 2 19 (2)年纯收益 y=-2t +5t-0.5-4t=-2t + 4 t-0.5, 19 当 t= 4 =4.75 时,y 取得最大值 10.78 万元. 故年产量为 475 台,纯收益取得最大值 10.78 万元.

[一点通] 解答实际问题的步骤为:

7.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:
万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为 销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆 车,则能获得的最大利润为 A.45.606万元 B.45.56元 ( )

C.45.6万元

D.45.51万元

解析:设公司获得的利润为y,在甲地销售了x辆,则在乙 地销售了(15-x)辆, 则y=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+ 30(0≤x≤15,x∈N),

此二次函数的对称轴为x=10.2,
∴当x=10时,y有最大值为45.6(万元).

答案:C

8.渔场中鱼群的最大养殖量为m吨,为保证鱼群的生长空
间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当 的空闲量.已知鱼群的年增长量y吨与实际养殖量x吨 实际养殖量 和空闲率(1)的乘积成正比,比例系数为 最大养殖量 k(k>0). (1)写出y关于x的函数关系式,并求出定义域; (2)求鱼群的年增长量的最大值;

(3)当鱼群的年增长量达到最大值时,求k所应满足的条件.

x 解:(1)由题意,知空闲率为(1-m), x ∴y=kx(1-m)(0<x<m); k 2 k m 2 km (2)y=-mx +kx=-m(x- 2 ) + 4 , k ∵-m<0 且 0<x<m, m km ∴当 x= 2 时,ymax= 4 ;

m km (3)∵当 x= 2 时,ymax= 4 , 又实际养殖量不能达到最大养殖量, m km ∴此时,需要 2 + 4 <m,解得 k<2. 又∵k>0,∴0<k<2.

1.已知二次函数在某区间上的单调性,求参数的取 值范围,应借助于函数的对称轴与区间的关系建立关于参 数的不等式,从而求解得出参数的取值范围.

2.二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上 的最值可作如下讨论,

对称轴x=h与[m,n]
最大值 的位置关系 h<m f(n) f(m) 最小值

h>n

f(m)

f(n)

对称轴 x=h 与[m,n] 的位置关系 m+n m≤h< 2 m≤h≤n m+n h= 2 m+n 2 <h≤n

最大值

最小值

f(n) f(m)或 f(n) f(m)

f(h) f(h) f(h)

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