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例谈高考中集合的创新题型



2014年第3期

中学数学研究

?43?

地看,方能化繁为筒,找到合适有效的突破口,使问

多角度看这个问题,就会发现,代数问题完全可以和 几何问题换位思考.我们先把这个函数变形一下得

题迎刃而解.可以说感触颇深.纵观整个高中数学利
用辩证法多角度看问题,从而有效

解决问题的例子 还有很多. 下面再看几例:
例1

到火石)= ̄/(茗+2)2+(,,一1)2+  ̄/(石一5)2+(,,一5)2,从式子结构可以联想到解
析几何中两点间的距离公式,所以令点A(一2,1), B(5,5),P(戈,),),则问题就马上转化为一个几何最 值问题:点P(茹,,,)是直线h一8y一5=0上的动点, 点A(一2,1),B(5,5),求I PA l+I朋I的最小值. 这么一转化我们就可以很轻松地利用对称的方法得 到最小值为10(过程略). 例3

一个半径为2的球放在桌面上,桌面上

的一点A。的正上方有一个光源A,AA。与球相切, AA。=6,球在桌面上的投影是一个椭圆,则这个椭 圆的离心率等于( ).

A.寻

且譬

£譬 A雩

解:本题如果利用圆锥曲线的定义直接计算会 比较复杂,但是如果能够换一种角度看问题,利用几 何体的三视图,问题就可以迎刃而解了,我们可以先 看几何体的正视图.

解方程:菇3—2压2+如一在+1=0.

分析:关于菇的三次方程对于学生来说是难以 解决的,只能是利用因式分解,但是并不是很容易实 现,如果我们换一种角度看这个方程可以发现,方程

事:二邀
设三角形A¨。如与圆切于D,E,F点,则AA。= 6,圆的半径为r=2,EA2=FA2=菇,所以62+(茹+ 2)2=(髫+4)2,则茹=6.所以A1A2=2a=8=寺口= 4.再看几何体的左视图,AR=AAl=6,BlR=b=

左边的数字2是在的平方,把已知数“在”看作未知
数,茹看作巳知数,直线已知与未知的换位思考,则

原方程转化为关--r-A的一元二次方程,问题便得以
解决. 解:将原方程变为关于√乞的一元二次方程:

茗(压)2一(缸2+1)厄+茗3+1=0,[茹厄一(石2一 茗+1)][在一(茗+1)]=o,所以得茗。=在一1,在

Bls,船=23-,心=Bl砰+AR2m(b+23-)2=
b2+62,即b=2 3-,所以e=旦=专
Ⅱ ‘

:每如:广盟学

结束语:当然,换个视角看事物,并非易事.一方

例2

已知x,y满足缸一8,,一5=0,求函数

面,要敢于突破传统的思维定势,从事物联系的多样 性中把握思维的灵活性;另一方面,要自觉进行思维 训练,掌握科学的思维方法,扩展思维视角.特别要 学会在事物对立面的统一中转换思维,培养学生多 角度,多方位地思考数学问题,才能有效提高数学教 学质量.

火石)= ̄/茗2+广+缸一巧+5+ √茹2+严一10x一10y+50的最小值.
解:咋一看这是一道代数中的函数最值题,而且 结构复杂.感觉无从下手,但是如果采用辩证地方法

例谈高考中集合的创新题型
河南省沈丘县第三高级中学
近几年,与集合有关的创新问题已成为商考的 热点.此类题目以考查学生的探究能力和创新能力 为目的,它要求考生在新的情景中使用已知的数学 知识去分析问题、解决问题.本文精选近几年高考中 以集合为背景的四类创新题型,并分类解析,以供参 万方数据 考. 一、新定义题型 集合新定义型信患题是试题改革的一个亮点, 它能有效地考查学生独立获取信息、加工信息及继 续学习的能力.因此,创新试题中最常见的就是以新

(466300)

苏明亮

?44?

中学数学研究
r口=1, xy


2014年第3期

定义的方式给出试题,它是通过重新定义相应的集 合,对集合的知识加以深入的创新,结合原有集合的 相关知识和相应的数学知识,来解决新定义的集合 创新问题. 例1(09年北京)设A是整数集的一个非空子 集,对于七∈A,如果后一1譬A且后+1岳A,那么后 是A的一个“孤立元”,给定Is={1,2,3,4,5,6,7,

s”,则当{62=1,时,b+c+d等-T-(
Lc2:6
B.一l

).

A.1

C.0

儿‘

解析:由b2=1,得b=l或b=一1.由已知口= 1及集合中元素的互异性知b=一1,可得c=i.集合

S={口,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必有形
∈S”,所以ac=i∈S,be=一i∈S,故d=一i,则 b+c+d=一1+i+(一i)=一1. 点评:本题主要考查了集合中元素的互异性及 复数等基础知识以及分析问题的能力,重点考查了 对元素互异性的理解. 三、新运算题型 集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求 给出新的集合运算规则,并按照新的规则结合相关

8},由S的3个元素构成的所有集合中,不合“孤立
元”的集合共有 个. 解析:依题意可知,“孤立元”必须是没有与蠡 相邻的元素,因而无“孤立元”是指在集合中有与座 相邻的元素.因此,符合题意的集合是{1,2,3},{2, 3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共6
个.

点评:本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及 学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的 能力.解题的关键是通过本题给出的信息正确理解 “孤立元素”的含义. 例2(2011年广东)设Is是整数集z的非空子 集,如果V口,6∈S,有ab∈S,则称S关于数的乘法 是封闭的.若r,y是z的两个不相交的非空子集,F


的知识进行计算和逻辑推理判断等.
例4(2007年广东)s是至少含有两个元素的 集合,在s上定义了一个二元运算“木”[即对任意 的口,b∈S,对于有序元素对(口,6),在S中有唯一确 定的元素口木b与之对应].若对任意的口,6∈S,有 口宰(6宰口)=6,则对任意的口,6 恒成立的是( ) A.(o?6)宰口=a A[口木(6奉口)]宰(口}6)=口 6奉(6掌6)=6 D.(口掌6)木[6木(口掌6)]=b



S,下列等式中不

U=z,且V口,b,c∈r,有abc∈r;V茄,Y,z∈V,


有xyz

V,则下列结论恒成立的是(

).

A.r,V中至少有一个关于乘法是封闭的 且r,y中至多有一个关于乘法是封闭的 C r,y中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.r,y中每一个关于乘法都是封闭的 解析:取T={菇l茹∈(一∞,0),且茁∈z},V ={石I菇∈[0,+∞),且戈∈z},可得r关于乘法 不封闭,y关于乘法封闭,排除D;又取r={奇数}, V={偶数},可得r、y关于乘法均封闭,故排除曰、 C,答案为A. 点评:“封闭”是大学教材中的内容,本题着重 考查学生接受和处理信息的能力,作为新定义型问 题,如能准确理解定义,难度并不大,但容易考虑不

解析:对任意的a,b∈Is,有口宰(b}口)=6,所 以[口'I(6木口)]宰(口木6)=b木(口枣6)=口,可见B 成立;在C选项中,将a木(6木口)=b中的口换成b, 即得b木(b木b)=b成立,故c正确;在D选项中,令 口木6=c,则c木(b木c)=b成立,故D正确;只有A 选项不能恒成立. 点评:本题在给出新的运算法则的前提下,主要 考查学生接受新知识、分析问题及运算求解能力. 四、综合创新题型 综合创新问题往往是集合和其它知识的交汇问 题,特别是函数、数列、复数、向量、不等式等内容,以 集合为背景,通过知识的综合创新来达到考查与应 用的目的. 例5(2013年湖南)对于E={口,,口2,…,口。∞} 的子集x={口il’%,…,口虹},定义x的“特征数列” 为茗1,戈2,…,互10D,其中茹自2茗吐2…=茗吐2 1.其余 项均为0.例如,子集{n:,口,}的“特征数列”为0,1,
1,0。0。…,0.

会因此,在充分理解题目的含义之后,需进行全面
深入的分析,方能准确地得出结果. 二、新性质题型 处理集合新性质问题的方法是利用题中给出新 的性质结合相应的数学知识来解决.解决这类试题 的关键是透彻理解新性质,抓住新性质的本质. 例3(20lo年福建)对于复数口,b,c,d,若集 合S={口,6,c,d}具有性质“对任意石,Y∈S,必有

万方数据

2014年第3期

中学数学研究

?45?

等于——.

(1)子集{口1,a3,%}的“特征数列”的前3项和 (2)若E的子集P的“特征数列”P,,P2,…,P,∞

0,0,…,0,1.即Q={口l,口4.a7,口10,…,口1∞},集合q 中有34个元素,其下标为奇数的有17个.因此,P n 口={口1,a7,口13,口19,…,口卯},共有17个元素. 点评:本题是集合与数列的综合创新问题.在知 识层面重点考查集合的子集、交集定义的理解以及 数列中项与项数概念的理解及应用;在能力层面着 重考查学生的逻辑推理能力,本题的关键是对“特 征数列”性质的正确理解. 对已有的知识进行创新,已成为高考的一大亮 点,这就要求学生面对陌生环境,能迅速提取有用信 息,对信息进行加工,并合理迁移运用已学的知识加 以解决.其中对信患的提取和转化及化归是解题的 关键,也是解题的难点.这类问题能较好地考查学生 的知识迁移能力和转化能力,从而检测出学生理性 思维的广度和深度,以及进一步学习的潜能.

满足P1=1,Pi+Pm=1(1≤i≤99);E的子集q 的“特征数列”ql,q2,…,ql∞满足ql=1,毋+毋+1+ gm=1(1≤J≤98),则P n q的元素个数为 解析:根据定义,明确“特征数列”的性质,即子 集中元素的个数为“特征数列”中项1的个数,并且 1所在的项即为“特征数列”中的第i项. (1)子集的“特征数列”中共有3个1,其余均为 0,即数列为1,0,l,0,l,0,0,…,0.故该数列前3项 的和为2. (2)依题意,E的子集P的“特征数列”为1,0, {口l,口3.口5,口7,…, 口势};E的子集Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,
1,0,1,0,1,0,…,1,0.

即P=

例析“隐形"的二次函数
江西省吉安市白鹭洲中学
二次函数是高中阶段最重要的基本初等函数 之一,它和其他各章节知识之间的联系非常紧密,是 高中数学的重点与难点.有这样一类函数,表面上看 起来不是二次函数,但实际上可以通过换元得到一 个二次函数,由此可以利用二次函数的性质来解决

(334000)

董永芳刘忠浪

≥O)为“隐形”二次函数.

(2)令2。=t,则原函数为Y=16t2一々+2(t
>O),为“隐形”二次函数. (3)令l092x=t,则原函数为Y=t2+t+1,为 “隐形”二次函数. (4)令si似=t,则原函数为Y=一2t2+2t+ 1(一1≤t≤1),为“隐形”二次函数.

这类问题.如函数Y=茗一石,令压=t,通过换元就
得到二次函数Y=t2一t(t≥0),像这类函数称之为 “隐形”二次函数. 下面通过一些例子来认识“隐形”二次函数及 其应用. 例1 下列函数是“隐形”二次函数吗?

(5)原函数可化为Y:f菇+上12+f菇+上1一


互,



石,

1,令石+÷=t,贝4 Y=t2+t一1(‘≥2,或t≤一2),
为“隐形”二次函数.
例2

(1)Y=茹+ ̄/,2茹一1(菇≥÷);
(2)y=4~一2州+2; (3)Y=(1092x)2+l092(2x); (4),,=cos2茗+2si砒; (5)),2

求函数Y=石+4√1一茹(菇≤1)的值域. 析解:先将函数配凑成Y=一(1一石)+
Y=一t2+

4/l一石+1,再令√1一菇=t,t≥0,贝9

X2+髫+1+吉+砉(菇≠o)?

4t+1,易得原函数的值域为(一∞,5]. 例3 关于菇的方程95+(4+a)3。+4=0有 两个实数解,求实数口的取值范围. 析解:将3。换元成t,问题转化成一元二次方程 产+(4+a)t+4=0在(o,+∞)上有两个实根. 令八t)=t2+(4+a)t+4,贝0有

析解:(1)将函数拼凑成Y=÷(厶一1)+

彳丽+虿1,令川丽=t,则),=争+t+丢(t
万方数据



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