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高中数学



柳树中学高一数学学案

§2.1 数列的概念与简单表示法(1)
学习目标
1. 理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系; 2. 了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项; 3. 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P28 ~ P30

,找出疑惑之处) 复习 1:函数 y ? 3x ,当 x 依次取 1,2,3,?时,其函数值有什么特点?

复习 2:函数 y=7x+9,当 x 依次取 1,2,3,?时,其函数值有什么特点?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:数列的概念 ⒈ 数列的定义:

的一列数叫做数列.

⒉ 数列的项:数列中的 都叫做这个数列的项. 反思: ⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们是相同的数列?

⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗?

3. 数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,?, an ,? ,或简记为 ?an ? ,其中 a n 是数列的第 4. 数列的通项公式:如果数列 ?an ? 的第 n 项 a n 与 n 之间的关系可以用 就叫做这个数列的通项公式. 反思: ⑴所有数列都能写出其通项公式?

项. 来表示,那么

⑵一个数列的通项公式是唯一?

⑶数列与函数有关系吗?如果有关,是什么关系?



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5.数列的分类: 1)根据数列项数的多少分

数列和

数列;

2)根据数列中项的大小变化情况分为 数列, 数列, 数列和 数列.

※ 典型例题 例 1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: 1 1 1 ⑴ 1,- , ,- ; 2 4 3 ⑵2, 0, 2, 0.

变式:写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: 1 4 9 16 ⑴ , , , ; 2 5 10 17 ⑵ 1, -1, 1, -1;

小结:要由数列的若干项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中的项的构成规律,将项表示为 项数的函数关系. 7 an2 ? b 例 2 已知数列 2, ,2,?的通项公式为 an ? ,求这个数列的第四项和第五项. 4 cn

变式:已知数列 5 , 11 , 17 , 23 ,

,?,则 5

是它的第

项.



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小结:已知数列的通项公式,只要将数列中的项代入通项公式,就可以求出项数和项.

※ 动手试试 练 1. 写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数:



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⑵ 1,



,2 .

练 2. 写出数列

的第 20 项,第 n+1 项.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式; 2. 会用通项公式写出数列的任意一项. ※ 知识拓展 数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.
思考:设 那么 A. C. =1+ 等于( + ) B. D. +?+ (n )

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列说法正确的是( ). A. 数列中不能重复出现同一个数 B. 1,2,3,4 与 4,3,2,1 是同一数列 C. 1,1,1,1?不是数列 D. 两个数列的每一项相同,则数列相同

2. 下列四个数中,哪个是数列 A. 380 B. 392 C. 321 3. 在横线上填上适当的数: 3,8,15, ,35,48. 4.数列 5. 写出数列 的第 4 项是

中的一项( D. 232

).

. 1 1 1 1 , ,? , 的一个通项公式 ? 1? 2 2 ? 2 2?3 2? 4

.

课后作业


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1. 写出数列{ 2n }的前 5 项.

2. (1)写出数列

22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 52 ? 1 , , , 的一个通项公式为 2 3 4 5

.

(2)已知数列 3 , 7 , 11 , 15 , 19 ,? 那么 3 11 是这个数列的第

项.

§2.1 数列的概念与简单表示法(2)
学习目标


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1. 了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同; 2. 会由递推公式写出数列的前几项,并掌握求简单数列的通项公式的方法.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P31 ~ P34 ,找出疑惑之处) 复习 1:什么是数列?什么是数列的通项公式?

复习 2:数列如何分类?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:数列的表示方法
问题: 观察钢管堆放示意图,寻 找每层的钢管数 a n 与层数 n 之间有何关系?

1. 通项公式法: 试试:上图中每层的钢管数 a n 与层数 n 之间关系的一个通项公式是 2. 图象法: 数列的图形是 数取决于数列的

.

,因为横坐标为 数,所以这些点都在 y 轴的 侧,而点的个 .从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.

3. 递推公式法: 递推公式:如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 a n 与它的前一项 an ?1 (或前 n 项)间的关 系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 试试:上图中相邻两层的钢管数 a n 与 an ?1 之间关系的一个递推公式是 4. 列表法: 试试:上图中每层的钢管数 a n 与层数 n 之间关系的用列表法如何表示? .

反思:所有数列都能有四种表示方法吗?

※ 典型例题
例 1 设数列 ?an ? 满足 ?

a1 ? 1 写出这个数列的前五项. 1 ?an ? 1 ? a (n ? 1). n ?1 ? ? ?

变式:已知 a1 ? 2 , an ?1 ? 2an ,写出前 5 项,并猜想通项公式 a n .



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小结:由递推公式求数列的项,只要让 n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项. 例 2 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ?1 ? an ? 2n , 那么 a2007 ? ( A. 2003×2004 C. 2007×2006 B. 2004×2005 D. 2004 2 ).

变式:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ?1 ? an ? 2n ,求 a n .

小结:由递推公式求数列的通项公式,适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法. ※ 动手试试 2 练 1. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? ,且 an?1 ?an ? an ?an?1 ? 2an?1 ?an?1 ? 0 ( n ? 2 ) ,求 a3 , a4 . 3

练 2.(2005 年湖南)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 ,
an ?1 ? an ? 3 3an ? 1

( n ? N* ) ,则 a20 ? ( C. 3 D.

).
3 2

A.0

B.- 3

练 3. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a17 ? 66 ,通项公式是项数 n 的一次函数. ⑴ 求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵ 88 是否是数列 ?an ? 中的项.



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三、总结提升 ※ 学习小结 1. 数列的表示方法; 2. 数列的递推公式. ※ 知识拓展 n 刀最多能将比萨饼切成几块? 意大利一家比萨饼店的员工乔治喜 欢将比萨饼切成形状各异的小块,以便出售. 他发 现一刀能将饼切成两块,两刀最多能 切成 4 块,而三刀最多能切成 7 块(如图).请你帮 他算算看,四刀最多能将饼切成多少 块?n 刀呢? 解析:将比萨饼抽象成一个圆,每 一刀的切痕看成圆的一条弦. 因为任意两条弦最多 只能有一个交点,所以第 n 刀最多与前 n-1 刀的切痕都各有一个不同的交点,因此第 n 刀的切痕最多被 前 n-1 刀分成 n 段, 而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就是说 n 刀切下去最多能使饼增加 n 块. 记 刀数为 1 时,饼的块数最多为 a1 ,??,刀数为 n 时,饼的块数最多为 a n ,所以 a n = an ?1 ? n .
由此可求得 a n =1+ n( n ? 1) . 2

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知数列 an ?1 ? an ? 3 ? 0 ,则数列 ?an ? 是( ).
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 2. 数列 ?an ? 中, an ? ?2n2 ? 9n ? 3 ,则此数列最大项的值是( A. 3 B. 13 C. 13

).

1 D. 12 8 3. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 2 (n≥1) ,则该数列的通项 an ? (
B. n(n ? 1) n(n ? 1) D. 2 1 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ? (?1)n ?2an?1 (n≥2) ,则 a5 ? 3 1 1 5. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ?1 ? 1 ? (n≥2) , an 2 则 a6 ? . A. n(n ? 1) n(n ? 1) C. 2

).

.

1. 数列 ?an ? 中, a1 =0, an ?1 = a n +(2n-1) (n∈N),写出前五项,并归纳出通项公式.

课后作业



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2. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ?

2an (n ? N ) ,写出前 5 项,并猜想通项公式 a n . an ? 2

§2.2 等差数列(1)
学习目标
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1. 理解等差数列的概念,了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判断一个 数列是等差数列; 2. 探索并掌握等差数列的通项公式; 3. 正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的 项.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P36 ~ P39 ,找出疑惑之处) 复习 1:什么是数列?

复习 2:数列有几种表示方法?分别是哪几种方法?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:等差数列的概念 问题 1:请同学们仔细观察,看看以下四个数列有什么共同特征? ① 0,5,10,15,20,25,? ② 48,53,58,63 ③ 18,15.5,13,10.5,8,5.5 ④ 10072,10144,10216,10288,10366

新知: 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它 一项的 数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的 , 常用字母 2.等差中项:由三个数 a,A, b 组成的等差数列, 这时数 叫做数 和 的等差中项,用等式表示为 A= 探究任务二:等差数列的通项公式 问题 2:数列①、②、③、④的通项公式存在吗?如果存在,分别是什么? 若一等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d,则据其定义可得:
a2 ? a1 ?
a3 ? a2 ? a4 ? a3 ?

等于同一个常数,这个 表示.

,即: a2 ? a1 ? , 即: a3 ? a2 ? d ? a1 ? ,即: a4 ? a3 ? d ? a1 ?

?? 由此归纳等差数列的通项公式可得: an ? ∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项 a1 和公差 d,便可求得其通项 a n .

※ 典型例题

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例 1 ⑴求等差数列 8,5,2?的第 20 项; ⑵ -401 是不是等差数列-5,-9,-13?的项?如果是,是第几项?

变式: (1)求等差数列 3,7,11,??的第 10 项.

(2)100 是不是等差数列 2,9,16,??的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.

小结:要求出数列中的项,关键是求出通项公式;要想判断一数是否为某一数列的其中一项,则关键是 要看是否存在一正整数 n 值,使得 a n 等于这一数. 例 2 已知数列{ a n }的通项公式 an ? pn ? q ,其中 p 、 q 是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若 是,首项与公差分别是多少?

变式:已知数列的通项公式为 an ? 6n ? 1 ,问这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什 么?

小结:要判定 ?an ? 是不是等差数列,只要看 an ? an ?1 (n≥2)是不是一个与 n 无关的常数.

※ 动手试试 练 1. 等差数列 1,-3,-7,-11,?,求它的通项公式和第 20 项.
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练 2.在等差数列 ?an ? 的首项是 a5 ? 10, a12 ? 31 ,

求数列的首项与公差.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等差数列定义: an ? an?1 ? d (n≥2); 2. 等差数列通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (n≥1). ※ 知识拓展 1. 等差数列通项公式为 an ? a1 ? (n ? 1)d 或 an ? am ? (n ? m)d . 分析等差数列的通项公式,可知其为一次 函数,图象上表现为直线 y ? a1 ? ( x ? 1)d 上的一些间隔均匀的孤立点. 2. 若三个数成等差数列,且已知和时,可设这三个数为 a ? d , a, a ? d . 若四个数成等差数列,可设这四 个数为 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 等差数列 1,-1,-3,?,-89 的项数是( ). A. 92 B. 47 C. 46 D. 45 2. 数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ? 5 ,则此数列是( ).
A.公差为 2 的等差数列 B.公差为 5 的等差数列 C.首项为 2 的等差数列 D.公差为 n 的等差数列 3. 等差数列的第 1 项是 7,第 7 项是-1,则它的第 5 项是( ). A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 成等差数列,则∠B= . 5. 等差数列的相邻 4 项是 a+1,a+3,b,a+b,那么 a= ,b=

.

1. 在等差数列 ?an ? 中, ⑴已知 a1 ? 2 ,d=3,n=10,求 a n ;

课后作业

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⑵已知 a1 ? 3 , an ? 21 ,d=2,求 n;

⑶已知 a1 ? 12 , a6 ? 27 ,求 d;

1 ⑷已知 d=- , a7 ? 8 ,求 a1 . 3

2. 一个木制梯形架的上下底边分别为 33cm,75cm,把梯形的两腰各 6 等分,用平行木条连接各分点,构 成梯形架的各级,试计算梯形架中间各级的宽度.

§2.2 等差数列(2)
学习目标
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1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式; 2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P39 ~ P40,找出疑惑之处) 复习 1:什么叫等差数列?

复习 2:等差数列的通项公式是什么?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:等差数列的性质 1. 在等差数列 ?an ? 中, d 为公差, am 与 a n 有何关系?

2. 在等差数列 ?an ? 中, d 为公差,若 m, n, p, q ? N ? 且 m ? n ? p ? q ,则 am , a n , ap , a q 有何关系?

※ 典型例题 例 1 在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 10 , a12 ? 31 ,求首项 a1 与公差 d .

变式:在等差数列 ?an ? 中, 若 a5 ? 6 , a8 ? 15 ,求公差 d 及 a14 . 小结:在等差数列 {an } 中,公差 d 可以由数列中任意两项 am 与 a n 通过公式 例 2 在等差数列 ?an ? 中, a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 36 ,求 a5 ? a8 和 a6 ? a7 .
15

am ? an ? d 求出. m?n

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变式:在等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 34 ,且 a2 ?a5 ? 52 ,求公差 d.

小结:在等差数列中,若 m+n=p+q,则 am ? an ? a p ? aq ,可以使得计算简化.

※ 动手试试 练 1. 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39 ,
a2 ? a5 ? a8 ? 33 ,求 a3 ? a6 ? a9 的值.

练 2. 已知两个等差数列 5,8,11,?和 3,7,11,?都有 100 项,问它们有多少个相同项?

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三、总结提升 ※ 学习小结 1. 在等差数列中,若 m+n=p+q,则 am ? an ? a p ? aq
注意: am ? an ? am ? n ,左右两边项数一定要相同才能用上述性质. a ? an 2. 在等差数列中,公差 d ? m . m?n

※ 知识拓展 判别一个数列是否等差数列的三种方法,即:
(1) an?1 ? an ? d ; (2) an ? pn ? q ( p ? 0) ; (3) Sn ? an2 ? bn .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 一个等差数列中, a15 ? 33 , a25 ? 66 ,则 a35 ? ( ). A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 49 2. 等差数列 ?an ? 中 a7 ? a9 ? 16 , a4 ? 1 ,则 a12 的值为( ). A . 15 B. 30 C. 31 D. 64 2 3. 等差数列 ?an ? 中, a3 , a10 是方程 x ? 3x ? 5 ? 0 ,则 a5 ? a6 =( A. 3 B. 5 C. -3 D. -5 4. 等差数列 ?an ? 中, a2 ? ?5 , a6 ? 11 ,则公差 d= .
5. 若 48,a,b,c,-12 是等差数列中连续五项,则 a= ,b=

).

,c=

.

课后作业
1. 若 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 30 , a6 ? a7 ? ? ? a10 ? 80 , 求 a11 ? a12 ? ? ? a15 .

2. 成等差数列的三个数和为 9,三数的平方和为 35,求这三个数.

§2.3 等差数列的前 n 项和(1)
学习目标
1. 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路; 2. 会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题.

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学习过程
一、课前准备 (预习教材 P42 ~ P44,找出疑惑之处) 复习 1:什么是等差数列?等差数列的通项公式是什么?

复习 2:等差数列有哪些性质?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究:等差数列的前 n 项和公式 问题: 1. 计算 1+2+?+100=?

2. 如何求 1+2+?+n=?

新知: 数列 {an } 的前 n 项的和: 一般地,称 为数列 {an } 的前 n 项的和,用 Sn 表示,即 Sn ?

反思: ① 如何求首项为 a1 ,第 n 项为 a n 的等差数列 {an } 的前 n 项的和?

② 如何求首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 {an } 的前 n 项的和?

试试:根据下列各题中的条件,求相应的等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn . ⑴ a1 ? ?4,a8 ? ?18,n ? 8; ⑵ a1 ? 14.5,d ? 0.7,n ? 15 .

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小结:

n(a1 ? an ) ,必须具备三个条件: 2 n(n ? 1)d 2. 用 Sn ? na1 ? ,必须已知三个条件: 2
1. 用 Sn ?

. .

※ 典型例题 例 1 2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了 实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起用 10 年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算, 2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元. 为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都 比上一年增加 50 万元. 那么从 2001 年起的未来 10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?

小结:解实际问题的注意: ① 从问题中提取有用的信息,构建等差数列模型; ② 写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解. 例 2 已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220. 由这些条件能确定这个等差数列 的前 n 项和的公式吗?

变式:等差数列 {an } 中,已知 a10 ? 30 , a20 ? 50 , Sn ? 242 ,求 n.

小结:等差数列前 n 项和公式就是一个关于 an、a1、n或者a1、n、d 的方程,已知几个量,通过解方 程,得出其余的未知量.

※ 动手试试 练 1.一个凸多边形内角成等差数列,其中最小的内角为 120°,公差为 5°,那么这个多边形的边数 n 为

19

).

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A. 12

B. 16

C. 9

D. 16 或 9

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等差数列前 n 项和公式的两种形式; 2. 两个公式适用条件,并能灵活运用; 3. 等差数列中的“知三求二”问题,即:已知等差数列之 五个量中任意的三个,列方程组可以求出其 余的两个. ※ 知识拓展 1. 若数列 的前 n 项的和 (A ,A、B 是与 n 无关的常数) ,则数列 {an } 是等差数列. 2. 已知数列 ?an ? , 是公差为 d 的等差数列, n 是其前 n 项和, k ? N ? , Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 也成等差数列, S 设 公差为 k 2 ?d .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在等差数列 {an } 中, S10 ? 120 ,那么 a1 ? a10 ? ( ). A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2. 在 50 和 350 之间,所有末位数字是 1 的整数之和是( ). A.5880 B.5684 C.4877 D.4566 3. 已知等差数列的前 4 项和为 21,末 4 项和为 67,前 n 项和为 286,则项数 n 为( A. 24 B. 26 C. 27 D. 28 4. 在等差数列 {an } 中, a1 ? 2 , d ? ?1 ,则 S8 ? . 5. 在等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , a5 ? 33 ,则 S6 ? .



课后作业
1. 数列{ a n }是等差数列,公差为 3, a n =11,前 n 和 Sn =14,求 n 和 a3 .

2. 在小于 100 的正整数中共有多少个数被 3 除余 2? 这些数的和是多少?

§2.3 等差数列的前 n 项和(2)
学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式; 2. 了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题;

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柳树中学高一数学学案

3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最大(小)值.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P45 ~ P46,找出疑惑之处) 复习 1:等差数列{ a n }中, a 4 =-15, 公差 d=3,求 S 5 .

复习 2:等差数列{ a n }中,已知 a3 ? 1 , a5 ? 11 ,求 a n 和 S 8 .

二、新课导学 ※ 学习探究 问题:如果一个数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn ? r ,其中 p、q、r 为常数,且 p ? 0 ,那么这个数 列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少?

※ 典型例题
1 例 1 已知数列 {an } 的前 n 项为 Sn ? n2 ? n ,求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗?如果是, 2 它的首项与公差分别是什么?

1 2 变式:已知数列 {an } 的前 n 项为 Sn ? n2 ? n ? 3 ,求这个数列的通项公式. 4 3

小结:数列通项 a n 和前 n 项和 Sn 关系为
? S1 (n ? 1) an = ? ,由此可由 Sn 求 a n . ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2)

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柳树中学高一数学学案

2 4 例 2 已知等差数列 5, , ,....的前 n 项和为 Sn ,求使得 Sn 最大的序号 n 的值. 4 3 7 7

变式:等差数列{ a n }中, a 4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ a n }的前 n 项和 Sn 的最小值.

小结:等差数列前项和的最大(小)值的求法. (1)利用 a n : 当 a n >0,d<0,前n项和有最大值,可由 a n ≥0,且 an ?1 ≤0,求得n的值;当 a n <0,d>0,前

n项和有最小值,可由 a n ≤0,且 an ?1 ≥0,求得n的值 d d (2)利用 Sn :由 Sn ? n2 ? (a1 ? )n ,利用二次函数配方法求得最大(小)值时n的值. 2 2 ※ 动手试试
王新敞
奎屯 新疆

练 1. 已知 Sn ? 3n2 ? 2n ,求数列的通项 a n .

练 2. 有两个等差数列 2,6,10,?,190 及 2,8,14,?200,由这两个等差数列的公共项按从小到大 的顺序组成一个新数列,求这个新数列的各项之和.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 数列通项 a n 和前 n 项和 Sn 关系; 2. 等差数列前项和最大(小)值的两种求法.

22

柳树中学高一数学学案

※ 知识拓展 等差数列奇数项与偶数项的性质如下: 1°若项数为偶数 2n,则
S偶-S奇=nd ;
S奇 a = n (n ? 2) ; S偶 an ?1

2°若项数为奇数 2n+1,则 S奇-S偶=an ?1 ; S偶 ? nan?1 ; S奇=(n ? 1)an?1 ; .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列数列是等差数列的是( ). A. B.

C.

D. Sn ? 2n2 ? n

2. 等差数列{ }中,已知 ,那么 ( ). A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 3. 等差数列{ }的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( A. 70 B. 130 C. 140 D. 170 4. 在小于 100 的正整数中共有 个数被 7 除余 2,这些数的和为 5. 在等差数列中,公差 d= 则 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a99 ? , . ,

). .

课后作业
1. 在项数为 2n+1 的等差数列中,所有奇数项和为 165,所有偶数项和为 150,求 n 的值.

2. 等差数列{ a n }, a1 ? 0 , S9 ? S12 ,该数列前多少项的和最小?

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柳树中学高一数学学案

§2.4 等比数列(1)
学习目标
1 理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质; 2. 能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力; 3. 体会等比数列与指数函数的关系.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P48 ~ P51,找出疑惑之处) 复习 1:等差数列的定义?

复习 2:等差数列的通项公式 an ? 等差数列的性质有:



二、新课导学 ※ 学习探究 观察:①1,2,4,8,16,? 1 1 1 1 ②1, , , , ,? 2 4 8 16 2 ③1,20, 20 , 203 , 20 4 ,? 思考以上四个数列有什么共同特征?

新知: 1. 等比数列定义:一般地,如果一个数列从第

项起,

一项与它的 ,通常用字母

一项的

那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 (q≠0) 2. 等比数列的通项公式: a2 ? a1 a3 ? a2 q ? (a1q)q ? a1 ;
a4 ? a3q ? (a1q )q ? a1
2

常数, a 表示(q≠0) ,即: n = an ?1

等于





? ?

∴ an ? an?1q ? a1 ?

等式成立的条件

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柳树中学高一数学学案

3. 等比数列中任意两项 a n 与 am 的关系是:

※ 典型例题
4 1 ,公比是- ,求它的第 1 项; 9 3 (2)一个等比数列的第 2 项是 10,第 3 项是 20,求它的第 1 项与第 4 项.
例 1 (1) 一个等比数列的第 9 项是

小结:关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式 an ? a1qn?1 . 例 2 已知数列{ a n }中,lg an ? 3n ? 5 ,试用定义证明数列{ a n }是等比数列.

小结:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数 n,

a n ?1 是一个不为 0 的常数就行了. an

※ 动手试试 练 1. 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的 84%. 这种物质的半 衰期为多长(精确到 1 年)?

练 2. 一个各项均正的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比 q ? (

).

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A.

3 2

B.

3 5 2

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 2

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等比数列定义; 2. 等比数列的通项公式和任意两项 a n 与 am 的关系. ※ 知识拓展 在等比数列 {an } 中, ⑴ 当 a1 ? 0 ,q >1 时,数列 {an } 是递增数列; ⑵ 当 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 ,数列 {an } 是递增数列; ⑶ 当 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 时,数列 {an } 是递减数列;

⑷ 当

,q >1 时,数列

是递减数列;

⑸ 当

时,数列

是摆动数列;

⑹ 当

时,数列

是常数列.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

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( A. 36 B. 48

). C. 60

D. 72

2. 等比数列的首项为 A. 3 3. B. 4 C. 5 D. 6 已 知 数 列

,末项为

,公比为 ,这个数列的项数 n=( ,

). ) ,

a

a



1



a

,?是等比数列,则实数 a 的取值范围是( A. a≠1 B. a≠0 且 a≠1 C. a≠0 D. a≠0 或 a≠1

).

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.

5. 在等比数列

中,

,则公比 q=

.

课后作业
在等比数列 中, ⑴ a4 ? 27 ,q=-3,求 a 7 ;

⑵ a2 ? 18 , a4 ? 8 ,求 a1 和 q;

⑶ a4 ? 4 , a7 ? 6 ,求 a9 ;

⑷ a5 ? a1 ? 15, a4 ? a2 ? 6 ,求 a3 .

§2.4 等比数列(2)
学习目标
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念; 2. 熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P51 ~ P54,找出疑惑之处) 复习 1:等比数列的通项公式 an ? = 公比 q 满足的条件是 复习 2:等差数列有何性质?

.

二、新课导学 ※ 学习探究
30

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问题 1:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,则

G b ? ? G2 ? ab ? G ? a G

新知 1:等比中项定义 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 称为 a 与 b 的等比中项. 即 G= (a,b 同号). 试试:数 4 和 6 的等比中项是 .

问题 2: 1.在等比数列{ a n }中, a52 ? a3 a7 是否成立呢?
2 2. an ? an?1an?1 (n ? 1) 是否成立?你据此能得到什么结论?

2 3. an ? an?k an? k (n ? k ? 0) 是否成立?你又能得到什么结论?

新知 2:等比数列的性质 在等比数列中,若 m+n=p+q,则 am an ? a p ak . 试试:在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5, a9 a10 ? 100 ,那么 a18 ? .

※ 典型例题 例 1 已知 {an }, {bn} 是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论?证明 你的结论. 例 自选 1 自选 2 2 an 3 ? ( )n 3
bn an ? n b {an ? n } 是 b
?5 ? 2 n?1 4 ?10 ? ( )n?1 3

否等比


an }也一定是等比数列吗?证明你的结论. bn

变式:项数相同等比数列{ a n }与{ bn },数列{

小结:两个等比数列的积和商仍然是等比数列. 例 2 在等比数列{ a n }中,已知 a4 ?a7 ? ?512 ,且 a3 ? a8 ? 124 ,公比为整数,求 a10 .

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变式:在等比数列{ a n }中,已知 a7 ?a12 ? 5 ,则 a8 ?a9 ?a10 ?a11 ?

.

※ 动手试试 练 1. 一个直角三角形三边成等比数列,则( A. 三边之比为 3:4:5 B. 三边之比为 1: 3 :3
5 ?1 2 5 ?1 D. 较大锐角的正弦为 2

).

C. 较小锐角的正弦为

练 2. 在 7 和 56 之间插入 a 、 b ,使 7、 a 、 b 、56 成等比数列,若插入 c 、 d ,使 7、 c 、 d 、56 成等 差数列,求 a + b + c + d 的值.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等比中项定义; 2. 等比数列的性质. ※ 知识拓展 公比为 q 的等比数列 {an } 具有如下基本性质:
1. 数列 {| an |} ,{an 2 } ,{can } (c ? 0) ,{anm } (m ? N * ) ,{an k } 等, 也为等比数列, 公比分别为 | q |, q2 , q, qm , qk . a b 若数列 {bn } 为等比数列,则 {an ? n } , { n } 也等比. bn 2. 若 m ? N * ,则 an ? am ? n?m . 当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式. q 3. 若 m ? n ? k ? l , m, n, k , l ? N * ,则 am ?an ? ak ?al . 4. 若 {an } 各项为正,c>0,则 {log c an} 是一个以 logc a1 为首项, log c q 为公差的等差数列. 若 {bn } 是以 d 为公差的等差数列, {cbn } 是以 cb1 为首项,cd 为公比的等比数列. 当一个数列既是等差数列又是等比数 则 列时,这个数列是非零的常数列.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在 ?an ? 为等比数列中, an ? 0 , a2 a4 ? 2a3a5 ? a52 ? 16 ,那么 a3 ? a5 ? ( A. ±4 B. 4 C. 2 D. 8

).

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柳树中学高一数学学案

2. 若-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列,则 b2(a2-a1) =( ). 9 A.8 B.-8 C.±8 D. 8 3. 若正数 a,b,c 依次成公比大于 1 的等比数列,则当 x>1 时, log a x , log b x , log c x ( ) A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列 4. 在两数 1,16 之间插入三个数,使它们成为等比数列,则中间数等于 . 5. 在各项都为正数的等比数列 ?an ? 中, a5 ?a6 ? 9 , 则 log3 a1 + log3 a 2 +?+ log3 a10 ? .

1. 在 ?an ? 为等比数列中, a1 ?a9 ? 64 , a3 ? a7 ? 20 ,求 a11 的值.

课后作业

2. 已知等差数列 ?an ? 的公差 d≠0,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,求

a1 ? a3 ? a9 . a2 ? a4 ? a10

§2.5 等比数列的前 n 项和(1)
学习目标
1. 掌握等比数列的前 n 项和公式; 2. 能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P55 ~ P56,找出疑惑之处) 复习 1:什么是数列前 n 项和?等差数列的数列前 n 项和公式是什么?

复习 2:已知等比数列中, a3 ? 3 , a6 ? 81 ,求 a9 , a10 .

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柳树中学高一数学学案

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务: 等比数列的前 n 项和 故事: “国王对国际象棋的发明者的奖励”

新知:等比数列的前 n 项和公式 设等比数列 a1 , a2 , a3 ,?an ? 它的前 n 项和是 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ?? an ,公比为 q≠0, 公式的推导方法一: 2 n?2 n ?1 ? ?S ? a1 ? a1q ? a1q ? ?a1q ? a1q 则? n ?qSn ? ? ? (1 ? q)Sn ? 当 q ? 1 时, Sn ? 或 Sn ? 当 q=1 时, Sn ? 公式的推导方法二: 由等比数列的定义, 有
a a2 a3 ? ?? ? n ? q , a1 a2 an ?1

① ②

a2 ? a3 ? ? ? an S ? a1 ? n ?q, a1 ? a2 ? ? ? an ?1 Sn ? an



S n ? a1 ?q. S n ? an

∴ (1 ? q)Sn ? a1 ? an q (结论同上) 公式的推导方法三: Sn ? a1 ? a2 ? a3 ?? an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ??an?1 ) = a1 ? qSn ?1 = a1 ? q(Sn ? an ) . ∴
(1 ? q)Sn ? a1 ? an q (结论同上)

试试:求等比数列

1 1 1 , , ,?的前 8 项的和. 2 4 8

※ 典型例题
例 1 已知 a1=27,a9=

1 ,q<0,求这个等比数列前 5 项的和. 243

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柳树中学高一数学学案

变式: a1 ? 3 , a5 ? 48 . 求此等比数列的前 5 项和.

例 2 某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%,那么从今年起 ,大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位)?

※ 动手试试
3 9 练 1. 等比数列中, a3 ? , S3 ? ,求a1及q. 2 2

练 2. 一个球从 100m 高出处自由落下, 每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下, 当它第 10 次着地时, 共经过的路程是多少?(精确到 1m)

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三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等比数列的前 n 项和公式; 2. 等比数列的前 n 项和公式的推导方法; 3. “知三求二”问题,即:已知等比数列之 a1 , an , q, n, Sn 五个量中任意的三个,列方程组可以求出其余 的两个. ※ 知识拓展 1. 若 q ? ?1 , m ? N * ,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , ??? 构成新的等比数列,公比为 qm .
a 2. 若三个数成等比数列,且已知积时,可设这三个数为 , a , aq . 若四个同符号的数成等比数列,可设 q a a 这四个数为 3 , , aq, aq 3 . q q 3. 证明等比数列的方法有: a (1)定义法: n ?1 ? q ; (2)中项法: an ?12 ? an ?an ? 2 . an

?S ? a1 4. 数列的前 n 项和构成一个新的数列,可用递推公式 ? 1 表示. ?Sn ? Sn ?1 ? an (n ? 1)

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 数列 1, a , a 2 , a 3 ,?, a n ?1 ,?的前 n 项和为( ). 1 ? an 1 ? a n ?1 A. B. 1? a 1? a 1 ? an? 2 C. D. 以上都不对 1? a 2. 等比数列中,已知 a1 ? a2 ? 20 , a3 ? a4 ? 40 ,则 a5 ? a6 ? ( ). A. 30 B. 60 C. 80 D. 160 3. 设 {an } 是由正数组成的等比数列,公比为 2,且 a1a2 a3 ??? a30 ? 230 ,那么 a3a6 a9 ??? a30 ? (
A. 2 B. 2 C. 1 D. 2 4. 等比数列的各项都是正数,若 a1 ? 81, a5 ? 16 ,则它的前 5 项和为
10 20 60

).

.

5. 等比数列的前 n 项和 Sn ? 3 ? a ,则 a=
n

.

课后作业
1. 等比数列中,已知 a1 ? ?1, a4 ? 64, 求q及S4.

a 2. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a6 ? 33, a2 ? 5 ? 32 ,求 S6 .

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§2.5 等比数列的前 n 项和(2)
学习目标
1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式; 2. 会用公式解决有关等比数列的 Sn , an , a1 , n, q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P57 ~ P62,找出疑惑之处) 复习 1:等比数列的前 n 项和公式. 当 q ? 1 时, Sn ? = 当 q=1 时, Sn ?

复习 2:等比数列的通项公式. an ? =

.

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二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:等比数列的前 n 项和与通项关系 问题:等比数列的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an , S n ?1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 (n≥2) , ∴ , Sn ? Sn?1 ? 当 n=1 时, S1 ? .

反思: 等比数列前 n 项和 Sn 与通项 a n 的关系是什么?

※ 典型例题 例 1 数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? an ? 1 (a≠0,a≠1) ,试证明数列 {an } 是等比数列.

变式:已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,且 Sn ?1 ? 4an ? 2 , a1 ? 1 ,设 bn ? an ?1 ? 2an ,求证:数列 {bn } 是等 比数列. 例 2 等比数列前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别是 Sn , S2n , S3n ,求证: Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 也 成等比.

变式:在等比数列中,已知 Sn ? 48, S2n ? 60 ,求 S3n .

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※ 动手试试 练 1. 等比数列 {an } 中, S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,求 S20 .

练 2. 求数列 1,1+2,1+2+2 ,1+2+2 +2 ,?的前 n 项和 Sn.

2

2

3

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等比数列的前 n 项和与通项关系; 2. 等比数列前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别是 Sn , S2n , S3n ,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 也成 为等比数列. ※ 知识拓展 1. 等差数列中, Sm? n ? Sm ? Sn ? mnd ;
2. 等比数列中, Sm? n ? Sn ? qn Sm ? Sm ? qm Sn .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 等比数列 {an } 中, S3 ? 3 , S6 ? 9 ,则 S9 ? ( ). A. 21 B. 12 C. 18 D. 24 2. 在等比数列中, a1 ? 4 ,q=2,使 Sn ? 4000 的最小 n 值是( ). A. 11 B. 10 C. 12 D. 9 3. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的, 二进制即 “逢二进一” .如(1101) 2 表示二进制的数, 将
它转换成十进制的形式是 1? 23 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 1? 20 ? 13 ,那么将二进制数(11111111) 2 转换成十进制的 形式是( ). 9 A. 2 ? 2 B. 28 ? 1 C. 28 ? 2 D. 27 ? 1

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4. 在等比数列中,若 2S3 ? a3 ? 2S2 ? a4 ,则公比 q= 5. 在等比数列中, a1 ? 1 , an ? ?512 , Sn ? ?341 , 则 q= ,n= .

.

课后作业
1. 等比数列的前 n 项和 s n ? 2 ? 1 ,求通项 a n .
n

2. 设 a 为常数,求数列 a,2a ,3a ,?,na ,?的前 n 项和;

2

3

n

第二章 数列(复习)
学习目标 1. 系统掌握数列的有关概念和公式;
2. 了解数列的通项公式 a n 与前 n 项和公式 Sn 的关系; 3. 能通过前 n 项和公式 Sn 求出数列的通项公式 a n .

学习过程
一、课前准备 (复习教材 P28 ~P69,找出疑惑之处) (1)数列的概念,通项公式,数列的分类,从函数的观点看数列.

(2)等差、等比数列的定义.

(3)等差、等比数列的通项公式.
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(4)等差中项、等比中项.

(5)等差、等比数列的前 n 项和公式及其推导方法.

二、新课导学 ※ 学习探究 1.数列是特殊的函数,有些题目可结合函数知识去解决,体现了函数思想、数形结合的思想. 2.等差、等比数列中,a 1 、 a n 、n、d(q)、 Sn “知三求二” ,体现了方程(组)的思想、整体思想,有时 用到换元法. 3. 求等比数列的前 n 项和时要考虑公比是否等于 1, 公比是字母时要进行讨论, 体现了分类讨论的思想. 4.数列求和的基本方法有:公式法,倒序相加法,错位相减法,拆项法,裂项法,累加法,等价转化等. 5. 数列求和主要: (1)逆序相加; (2)错位相消; (3)叠加、叠乘; (4)分组求和;
(5)裂项相消,如
1 1 1 ? ? . n(n ? 1) n n ? 1

※ 典型例题
例 1 在数列 ?an ? 中, a1 =1, n ≥2 时, a n 、 Sn 、 Sn - (1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)求数列 ?an ? 的通项公式.

1 成等比数列. 2

例 2 已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列{bn}的第二 项,第三项,第四项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}对任意正整数 n,均有 c c1 c2 c3 ? ? ? ?? ? n ? an ?1 , b1 b2 b3 bn 求 c1+c2+c3+?+c2004 的值.

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※ 动手试试 练 1. 等差数列 ?an ? 的首项为 a, 公差为 d ;等差数列 ?bn ? 的首项为 b , 公差为 e . 如果 cn ? an ? bn (n ? 1) ,
且 c1 ? 4, c2 ? 8. 求数列 ?cn ? 的通项公式.

练 2. 如图,作边长为 a 的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切 圆.如此下去,求前 n 个内切圆的面积和.

练 3. 一个蜂巢里有 1 只蜜蜂,第 1 天,它飞出去回了 5 个伙伴; 第 2 天, 6 只蜜蜂飞出去,各自找回 了 5 个伙伴, ??, 如果这个找伙伴的过程继续下去, 6 天所有的蜜蜂都归巢后, 第 蜂巢中一共有 ( ) 只蜜蜂. A. 55986 B. 46656 C. 216 D. 36

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 数列的有关概念和公式; 2. 熟练掌握有关概念和公式并能灵活运用,培养解决实际问题的能力. ※ 知识拓展 数列前 n 项和重要公式: n(n ? 1)(2n ? 1) ; 12 ? 22 ? 32 ? ?n2 ? 6 1 13 ? 23 ? ?n3 ? [ n(n ? 1)]2 2
王新敞
奎屯 新疆

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 集合 M ? m m ? 2n ? 1, n ? N * , m ? 60 的元素个数是(

?

?

).

A. 59 B. 31 C. 30 D. 29 2. 若在 8 和 5832 之间插入五个数,使其构成一个等比数列,则此等比数列的第五项是( ). A.648 B.832 C.1168 D.1944 3. 设数列 ?an ? 是单调递增的等差数列,前三项的和是 12, 前三项的积是 48,则它的首项是( ).
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柳树中学高一数学学案

C. 4 D. 8 2 4 4. 已知等差数列 5,4 ,3 ,... 的前 n 项和为 Sn ,则使得 Sn 最大的序号 n 的值为 7 7 5. 在小于 100 的正整数中,被 5 除余 1 的数的个数有 个;这些数的和是

A. 1

B. 2

.

课后作业
1. 观察下面的数阵, 容易看出, 数的和是多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 17 18 19 20 21 22 第 n 行最右边的数是 n2 , 那么第 20 行最左边的数是几?第 20 行所有

9 15 16 23 24 25

?

?

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2. 选菜问题:学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A,B 两种菜可供选择.调查资料表明,凡 是在星期一选 A 种菜的, 下星期一会有 20% 改选 B 种菜; 而选 B 种菜的, 下星期一会有 30% 改选 A 种菜. 用 an , bn 分别表示在第 n 个星期选 A 的人数和选 B 的人数,如果 a1 ? 300, 求 a10 .

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