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【数学】2第二章平面向量复习(人教A版必修4)



王祝娇

向量:既有大小,又有方向的量。
数量:只有大小,没有方向的量。

向量的两要素:方向、大小

有向线段的三个要素:起点、方向、长度
向量AB的大小,也就是向量AB的长度 (或称模),记作|AB|。 长度为0的向量叫做零向量,记作0。

长度等于1个单位的向量,叫做单位向

量。

a

b

c

方向相同或相反的非零 向量叫做平行向量。
向量a,b平行,记作 a // b

平行向量又叫做共线向量 零向量与任一向量平行,即对于任 意向量a,都有0 // a 。 长度相等且方向相同的两个向量叫做相等 向量,记 a =b

向量的加法

三角形法则
C

平行四边形法则
B C

a+ b
A a


B


a+ b
O

a

A

三角形法则:首尾相接连端点; 平行四边形法则:起点相同连对角.
注意起点相同.共线向量不适用

a

a


a+b


a+b

|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a与b同向时取 等号; |a+b|≥||a|-|b||,当且仅当a与b反向时取 等号.

规定:零向量的相反向量仍是零向量.

2.向量的加法运算性质 a+0=0+a=a a与b 为相反向量 a+b=0

a+b =b+a (a+b )+c=a +(b+c) |a+b|≤|a|+|b|
|a+b|≥||a|-|b||
OA1 + A1A2 + A2A3 + · · · · · + An-1An = OAn

向量减法的三角形法则
?1? 在平面内任取一点O
? 2? 作OA ? a,OB ? b
A

?3? 则向量BA ? a ? b
注意:

O

.

a b

a ?b
B

1、两个向量相减,则表示两个向量起点的字母必须相同 2、差向量的终点指向被减向量的终点

向量的减法
?特殊情况
1.共线同向 2.共线反向 a

a

b
a ?b
B B A

b
C

a ?b
A C

定义: 一般地,实数λ与向量a的积是一个向量, 这种运算叫做向量的数乘运算,记作λa。

它的长度和方向规定如下:

(1) 长度

|λa|=|λ|· |a|

(2) 方向

当λ>0时,λa的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a方向相反;

特别地,当 λ=0 或 a = 0 时, λa = 0
|λ| 倍,改变 几何意义:将 a 的长度扩大(或缩小) a (不改变)a 的方向,就得到了λ

向量的数乘运算满足如下运算律:

?,?是实数,
(1)( ? ? a ) ? ( ?? )a; (2)( ? ? ? )a ? ? a ? ? a; (3)? ( a ? b ) ? ? a ? ? b .
特别地:(? ?) a ? ? ?a

? a ? b ? ? a ? ?b 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算

?

?

? ?

向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一 一个实数λ,使得 b=λa.
一、概念与定理 ① λa 的定义及运算律 ② 向量共线定理 ( a≠0 ) b=λa 向量a与b共线

二、知识应用: 1.证明 向量共线; 2.证明 三点共线: AB=λBC 3.证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB、CD不重合

A,B,C三点共线;
直线AB∥直线CD

平面向量的基本定理: 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,

则对于这一平面内的任意向量a,有且只有
一对实数λ1,λ 2,使a=λ1e1+λ2e2.
在平面向量基本定理中,不共线向量e1,e2叫 做表示这一平面内所有向量的一组基底.

不共线的向量有不同的方向,对于两个非零
OB ? b,如图,称∠AOB= 向量a和b,作 OA ? a,

?

为向量a与b的夹角.

B b A

a

b O

当 ? =0°时,向量a与b同向;当 向量a与b反向 如果向量a与b的夹角是90°,

a

?
b

=180° ,

a

则称向量a与b垂直,记作a⊥b.

在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y 轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底, 对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定 理知,有且只有一对实数x、y,使得 a= xi+yj.我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a=(x,y).其中x叫做a在x轴上 的坐标,y叫做a在y轴 上的坐标, y a y

j
O

x

i

x

相等向量的坐标必然相等,作向 量 OA ? a,则 OA ?(x,y),此时点A是坐 标是什么?
y A

a

A(x,y)
j
O

i

x

平面向量的坐标运算

a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,
a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j,

λa=λx1i+λy1j.

a+b=(x1+x2,y1+y2); 向量的坐标表示 a-b=(x1-x2,y1-y2); λa=(λx1,λy1).
用数学语言描述上述向量的坐标运算?
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 和(差); 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应 坐标.

(x1,y1)

A

y

(x2,y2)
B

o

x

AB = OB-OA

=(x2-x1,y2-y1).

任意一个向量的坐标等于表示该向量 的有向线段的终点坐标减去始点坐标.

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),

a = λb.
向量共线的条件

向量a,b(b≠0)共线 ? x1y2 ? x 2 y1

向量的数量积的三种情况

a ? b ?| a || b | cos? (a ? 0, b ? 0)
B

A
?

b
?
O

a
b B

A
A1

a

?

aA
大于零

B1

O

O

b

B

等于零

小于零

由向量数量积的定义,可以得到

(1)a ? b ? a ? b ? 0

cos 90? ? ?

(2)当a与b同向时, a ? b ?| a || b |;

cos 0? ? ?
cos 0? ? ?

? ? ? ?2 (3)a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a ? a
2

(4)当a与b反向时, a ? b ? ? | a || b |;
a ?b (5) cos ? ? | a || b |
cos180? ? ??

?

(6) | a ? b |?| a || b |

| cos ? |? 1

求向量数量积的步骤:
1.求两个向量的模(长度) 2.求两个向量夹角θ及cosθ 3.向量的数量积(内积)
b

θ

a

规定:0 ? a ? 0

平面向量数量积的坐标表示:

i ? i ?1 j? j ? 1

y
b
j

a

i? j ? 0
设:a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 )

o i

x

则:a ? x1i ? y1 j,

b ? x2 i ? y2 j

? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

向量的模和两点间距离公式:

?1?向量的模(长度公式):设a ? ( x, y),
则 ? a ? ? a ? a ? x ? y , 或 ? a ?? x ? y
2 2 2
2 2 2

? 2? 设A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ? , 则AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ?
? AB ??

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

向量垂直和平行的坐标表示:
a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? (a ? 0, b ? 0)

(1)垂直:

a ? b ? a ?b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
a / /b ? b ? ? a ? x1 y2 ? x2 y1

(2)平行:

向量夹角公式的坐标表示:

设a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ?,

?0 ? ? ? ? ? a与b夹角为?,
x1 x2 ? y1 y2 a ?b ? cos ? ? 2 2 2 2 | a || b | x1 ? y1 . x2 ? y2

用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表 示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关 系,如距离、夹角等问题;

(3)把运算结果“翻译”成几何元素。
简述:形到向量 向量的运算 向量和数到形



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