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对一道有趣不等式的深入探究-论文



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专 论荟萃 ?  

数 学 通 讯 —— 2 0 1 4年 第 5 、 6 期( 上半月)  

6 5  

对 一道 有 趣 不 等 式 的 深入 探 究 
范 花妹   秦庆雄  
( 云南省大理州漾濞一中 , 6 7 2 5 0 0 )  

这 样 一 道 吸 引 大 家 眼 球 的 有 趣 不 等 式 
试题 :  

由上 述 证 明过 程 可 知 , 其 实 我 们证 明 了此 问  题 的如下 加强 :  

问题 1   设 正实 数 口 , b , c 满足a b c: 1 , 求证 :  

问题 2   对 任意 正实 数 n , b , c , 均 有 

 ̄ /   可

+ ̄ /  

+  

干T≤  ( 口 +b +c )  
① 

 ̄ /  

+ ̄ /  . 二 f  +  ̄ /   可

≤  ( n +b +  
② 

c ) 一   [ (   +√   +  一3 ]  
显然 , 式 ② 还 可 以进 行如下 的推广 :  

本刊文[ - 1 - ] 通过构造函数 厂 (   ) 一 ̄ / z 。 +1 一  
一  

l n x( x> o ) , 借 助二 二 阶导数 和三元 均 值不 
厶 

问题 3   对 任 意正 实数 a 。 , n 。 , …, 口   , 均有 

 ̄ /   可 + ̄ /  

+…+ ̄ /  。 干了≤√   ( n 。 +  
③ 

等式 给 出一个 证 明.   是 否有更 简单 、 更初 等 ( 即不 用 导 数 )的证 明  呢? 笔者 经过 思考 发现 , 借 助平 方 差公 式 和 二元 均 

n : +…+  ) 一  [ ( 、 / /  +、 / /  +…+V Z) - 一   ]  
特别 地 , 在式 ③ 中取 
≥  , 可得 :  

值不 等式 , 最 终可 以获得 一 个简 单 、 自然 的初 等 解  法, 并顺 势 获 得 它 的 加 强 、 推 广 和 几 个 有 趣 的推  论, 现记 录如 下 , 供 同学们 学习 时参考 .  
简证  由平方 差公式 和二 元均 值不 等式 , 得   ̄ / 口 。 + 1一  ̄ / ( 口+ 1 )  — 2 Ⅱ  


+ 

+ … + 

推论 1   对 正实数 n 。 , 口 。 , …, 口  满 足  。+ 

 ̄ / 口 。 +… +  ̄ / n  ≥  , 均有 

+ ̄ /  

+… +  
④ 

√( 口 +1 一 ̄ /  ) ( 口 +1 + ̄ /  )  
) ( 口+ 1+  )  

≤√ 2 ( n l +Ⅱ 2 + … +口   )  

:=

 

在式 ③ 中取 口   n   …  = 1 , 并利用 n 元均值不等  式:   +  + … +  ≥  ?   , 可得 :   推论2   对 正实数 n 1 , 口 2 , …, 口   满足n l 口 2 …n  
= 1 , 均 有 
+  + … + 

√(   +1 ) ( n +l 一 ̄ /  ) (   一1 ) ( 口 +1 +  
≤  [ (   +1 ) ( 口 +1 一  
厶 

)  

) +(   一1 ) ( n + 

≤√ 2 ( 0   +n 2 +… 十口   )  
探究 :  

⑤ 

1 + 
一   一

) ]  

文末 , 笔者 提 出如 下 问题 , 供有 兴趣 的同学 去  猜想  对任 意正 实数 n 。 , 口   , …, n   , 若 
、  

V 2 ( W 一1 ) ,   ≤  一   ( √  一 1 ) ,同 理 可 得  一1 ) , 、 而 ≤  一  

即  而 、  


≤  一  



+、   - = j   +… + 、  

1 )。  

≤ ̄ /   干T ( 口   +口 : +…+n   ) 一 ̄ /   干T[ (  ̄ /  
+ ̄ /   +… +  ̄ /  ) 一n ] ,  
求  的取值.   参考 文献 :  

将 上述 三式 两边 分别 相加 , 可得 


厂 Q  

厂 b  

≤  ( n+ b +c ) 一  l _ (   +  +  ) 一3 ] ,  
由三元 均值 不 等式 和 a b c一 1 , 得 
十  +  ≥ 3 ( a b c ) 丢 一 3,  

D- i   张俊. 一道 不等式 试题 的思 考过 程E J q . 数 学 
通讯 ( 上半 月) , 2 0 1 1 ( 4 ) .  

故 有 

干T+ 

T+  可

≤  ( n + 
( 收 稿 日期 : 2 0 1 4—0 2 —1 5 )  

b - 4 - c ) , 当且仅 当 口: b — c: 1 时等 号成 立. 证毕.  



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