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【全程复习方略】2016届高考数学(文科人教A版)大一轮复习课件:6.2 一元二次不等式及其解法



第二节 一元二次不等式及其解法

【知识梳理】

1.必会知识

教材回扣

填一填

(1)一元二次不等式的特征: 不等于 一元二次不等式的二次项(最高次项)系数_______0.

(2)一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系: 判别式 Δ

=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的根 有两个相异实 有两个相等实 根x1,x2(x1<x2) 根x1=x2= ? b
2a

Δ >0

Δ =0

Δ <0

没有实数根

判别式 Δ =b2-4ac
ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集

Δ >0 {x|x<x1或x>x2} ______________ {x|x1<x<x2} ___________

Δ =0

Δ <0 R ? __

{x|x≠x1} _________

?

在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中,如果二次项系数a<0,则可根据不等 式的性质,将其转化为正数,再对照上表求解.

(3)用程序框图表示一元
二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的求解过程
Δ ≥0?

R
(-∞,x2)∪(x1,+∞)

2.必备结论 教材提炼

记一记

(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式解法 解集

不等式
a<b a=b {x|x≠a} _________ ? __ a>b {x|x<b或x>a} _____________ {x|b<x<a}

(x-a)(x-b)>0
(x-a)(x-b)<0

{x|x<a或x>b}
{x|a<x<b} __________

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:配方法,因式分解.

(2)数学思想:数形结合思想.
(3)记忆口诀:一元二次不等式解集口诀.

大于取两边,小于取中间

【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 )

(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(

(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+ c=0的两个根是x1和x2.( )

(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集 为R.( ) )

(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ =b2-4ac≤0.(

【解析】(1)正确.由不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2)可知函数对

应的抛物线开口向上,因此必有a>0.
(2)正确.由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是

正确的.
(3)错误.只有当a>0时才成立,当a<0时,若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有

实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为空集.
(4)错误.还要考虑a=0的情况,不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件 是a=0,b=0,c≤0或a<0且Δ=b2-4ac≤0. 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(必修5P80习题3.2A组T1(3)改编)不等式x2-3x-10>0的解集是 ( A.(-2,5) C.(-∞,-2) B.(5,+∞) D.(-∞,-2)∪(5,+∞) )

【解析】选D.x2-3x-10=(x-5)(x+2)>0, 所以x>5或x<-2. 故原不等式的解集为(-∞,-2)∪(5,+∞).

(2)(必修5P81习题3.2B组T2改编)关于x的一元二次方程mx2-(1-m)x
+m=0没有实数根,则m的取值范围是_______.

【解析】若方程mx2-(1-m)x+m=0没有实数根,
?m ? 0, 1 则? 解得 m< - 1 或 m ? . 2 2 3 -m) -4m ? 0, ?? ? (1 1 答案:(-∞,-1)∪ ( , ? ?) 3

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2014·大纲版全国卷)设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},
则M∩N=( )

A.(0,4]

B.[0,4)

C.[-1,0)

D.(-1,0]

【解析】选B.因为M={x|-1<x<4},N={x|0≤x≤5}, 所以M∩N={x|0≤x<4}.

(2)(2013·重庆高考)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为 (x1,x2),且x2-x1=15,则a=(
A. 5 2 B. 7 2 C. 15 4 D. 15 2

)

【解析】选A.由题意知, 不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(-2a,
4a),因为x2-x1=15,所以4a-(-2a)=15,解得 a ? 5 .
2

2 ? ? x ? x, x ? 0, (3)(2014·浙江高考)设函数 f (x) ? ? 2 ? ? ? x , x ? 0,

若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是_______.
?f (a)<0, ?f (a) ? 0, 【解析】由题意 ? 2 或 ? 2 ?f (a) ? f (a) ? 2, ?-f (a) ? 2, a<0, ?a ? 0, 解得f(a)≥-2,所以 ? 或 ? 2 ? 2 a ? a ? - 2 , ? ?-a ? -2,

解得 a ? 2.
答案:a ? 2

考点1

一元二次不等式的解法 )

【典例1】(1)(2015·珠海模拟)不等式-2x2+x+3<0的解集是(
A. ?x | x<? 1? 3 C.{x | - 1? x ? } 2 3 B.{x | x ? } 2 3 D.{x | x ? - 1或x ? } 2

(2)解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0.

【解题提示】(1)把不等式化简变形,确定相应方程的两个根,然后 根据二次函数的性质得到不等式的解集.

(2)先求a=0时不等式的解集,再分a>0和a<0两种情况求解.

【规范解答】(1)选D.不等式-2x2+x+3<0可化为 2x2-x-3>0, 即(2x-3)(x+1)>0,

解得x<-1,或 x> 3 ,
所以不等式的解集是 {x | x<? 1,或x> 3}.
2 2

(2)当a=0时,原不等式可化为-x+1<0,即x>1.
当a<0时,原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0,即 (x- 1 ) ? x-1? ? 0.
a

因为 1 ? 1, 所以x>1或 x ? 1 .
a a

当a>0时,原不等式可化为 (x- 1 ) ? x-1? ? 0,
①若0<a<1,则 1 ? 1, 所以 1 ? x ? 1 .
a a a ②若a=1,则 1 =1, 所以不等式无解. a 1 ③若a>1,则 1 ? 1,所以 ? x ? 1. a a

综上知,当a<0时,不等式的解集为 {x | x ? 1 或x ? 1};
a

当a=0时,不等式的解集为{x|x>1}; 当0<a<1时,不等式的解集为 {x |1 ? x ? 1 };
a

当a=1时,不等式的解集为?;
当a>1时,不等式的解集为 {x | 1 ? x ? 1}.
a

【互动探究】本例(2)的不等式改为x2-(a+1)x+a<0,求其解集. 【解析】原不等式可化为(x-1)(x-a)<0, ①当a>1时,解集为{x|1<x<a}. ②当a=1时,解集为?. ③当a<1时,解集为{x|a<x<1}. 综上可得:当a>1时,解集为{x|1<x<a}; 当a=1时,解集为?, 当a<1时,解集为{x|a<x<1}.

【规律方法】解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将 不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程的根的个数,讨论判别式Δ 与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的

大小关系,从而确定解集形式.

【变式训练】解关于x的不等式. x2-2ax+3≥0(a∈R).

【解析】Δ=4a2-12=4(a2-3).
①当Δ≤0,即 - 3 ? a ? 3 时,方程x2-2ax+3=0无解或有两个

相等的根,从而不等式的解集为R.
②当Δ>0,即 a ? 3或a ? - 3 时,方程x2-2ax+3=0的两根为
x1=a+ a 2 ? 3,x 2=a- a 2 ? 3,且x1>x2.

所以 x ? a+ a 2 ? 3或x ? a- a 2 ? 3.

综上知,当 a ? 3或a ? - 3 时,不等式的解集为{x|x≥ a+ a 2 ? 3 或x≤ a- a 2 ? 3 }; 当- 3 ? a ? 3 时,不等式的解集为R.

1 【加固训练】设二次不等式ax2+bx+1>0的解集为 ( ?1, ), 3

则ab的值为(
A.-6

)
B.-5 C.6 D.5
1 3

【解析】选C.由题意知,方程ax2+bx+1=0的两根为-1, ,
1 ? b ? ? ? 1 ? , ? a 3 则有 ? ? ? 1 ? ?1 ? 1 , ? 3 ?a 解得 ?a ? ?3, 所以ab=6,故选C. ? ? b ? ?2,

考点2

一元二次不等式恒成立问题 知·考情

一元二次不等式的恒成立问题以及三个“二次”间的联系及综合 应用是高考的热点,而且常与函数、导数等知识交汇命题,考查应用分 类讨论、数形结合、转化思想解决问题的能力.

明·角度 命题角度1:形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)求参数的取值范围 【典例2】(2013·重庆高考)设0≤α ≤π ,不等式8x2-(8sinα )x+ cos 2α ≥0对x∈R恒成立,则α 的取值范围为 .

【解题提示】因为不等式恒成立,所以判别式小于等于零,直接求解即 可.

【规范解答】因为不等式8x2-(8sinα)x+cos2α≥0对x∈R恒成立,
所以Δ=64sin2α-32cos2α≤0,即64sin2α-32+64sin2α≤0,
1 (0≤α≤π). 2 ? 5? 因为0≤α≤π,所以 ? ? [0, ] ? [ ,?]. 6 6 ? 5? 答案: [0, ] ? [ ,?] 6 6

解得0≤sin α≤

命题角度2:形如f(x)≥0(参数k∈[a,b])求x的取值范围

【典例3】(2015·兰州模拟)对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+
(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是 .

【解题提示】把二次函数的恒成立问题转化为y=k(x-2)+x2-4x+4>0在
k∈[-1,1]上恒成立,再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即 可求出x的取值范围.

【规范解答】因为任意k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x-2k+4>0 恒成立, 所以f(k)=k(x-2)+x2-4x+4>0为一次函数,
?f (?1) ? 0, ?f (1) ? 0, 2 ? ? 1 ? (x ? 2) ? x ? 4x ? 4 ? 0, ? 所以 ? 2 ? ?(x ? 2) ? x ? 4x ? 4 ? 0,

所以 ?

解得x<1或x>3,

所以x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).

答案:(-∞,1)∪(3,+∞)

【易错警示】解答本题易出现以下两种错误: (1)不会合理分析已知条件,这样无法转化成关于k的一次函数,而导致 题目无法求解. (2)解关于x的二次不等式组,确定解集出现1<x<3等错误.

命题角度3:形如f(x)≥0(x∈[a,b])求参数范围

【典例4】(2015·郑州模拟)对任意x∈[-1,1],函数f(x)=
x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,求k的取值范围.

【解题提示】表示出对称轴,然后根据区间分类讨论求解.

【规范解答】函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的对称轴为 x ? ? k ? 4 ? 4 ? k .

①当 4 ? k <? 1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)
2

2

2

×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k∈?;

②当 ?1 ? 4 ? k ? 1, 即2≤k≤6时,

2 只要 f ( 4 ? k ) ? ( 4 ? k ) 2 ? ? k ? 4 ? ? 4 ? k ? 4 ? 2k>0, 2 2 2

即k2<0,故k∈?.

③当 4 ? k >1,即k<2时,只要f(1)=1+(k-4)+4-2k>0即k<1,
2

故有k<1,
综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1], 函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.

悟·技法 解不等式恒成立问题的技巧 (1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的 图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的 图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值 或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的 范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.

通·一类 1.(2015·武汉模拟)一元二次不等式 2kx 2 ? kx ? 3 <0 对一切实数x都
8

成立,则k的取值范围是( A.(-3,0) C.[-3,0]

)

B.(-3,0] D.(-∞,-3)∪[0,+∞)

【解析】选A.由一元二次不等式 2kx 2 ? kx ? 3 <0 对一切实数x都成
?k ? 0, 立,则 ? 解得-3<k<0. ? 2 3 k -4 ? 2k ? (- ) ? 0, ? 8 ? 综上,满足一元二次不等式 2kx 2 ? kx ? 3 <0 对一切实数x都成立的 8
8

k的取值范围是(-3,0).

2.(2015·济宁模拟)在R上定义运算⊕:x⊕y=x(2-y),若不等式 (x+m)⊕x<1对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是 【解析】由题意得:(x+m)⊕x=(x+m)(2-x)<1, 变形整理得:x2+(m-2)x+(1-2m)>0, 因为对任意的实数x不等式都成立, 所以其对应的一元二次方程:x2+(m-2)x+(1-2m)=0的根的判别式 Δ=(m-2)2-4(1-2m)<0,解得:-4<m<0. 答案:(-4,0) .

3.(2015·洛阳模拟)若已知不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切 实数m的取值都成立,则x的取值范围为 .

【解析】构造变量m的函数求解:2x-1>m(x2-1)即:(x2-1)m-(2x-1)<0
构造关于m的函数f(m)=(x2-1)m-(2x-1),|m|≤2即-2≤m≤2.

(1)当x2-1>0时,则f(2)<0,从而2x2-2x-1<0解得: 1 ? 3 <x<1 ? 3
又x2-1>0,即x<-1或x>1,所以 1<x<1 ? 3 ;
2
2 2

(2)当x2-1<0时,则f(-2)<0可得-2x2-2x+3<0,从而2x2+2x-3>0, 解得 x<?1 ? 7 或x> 7 ? 1 , 又-1<x<1,从而 7 ? 1<x< 1. (3)当x2-1=0时,则f(m)=1-2x<0,从而 x> 1 , 故x=1; 综上有: 7 ? 1<x<1 ? 3
2 2 答案: 7 ? 1<x<1 ? 3 2 2
2

2

2

2

4.(2015·福州模拟)若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(x+2)f(x)=16x且f(0)=2. (1)求函数f(x)的解析式. (2)若存在x∈[1,2],使不等式f(x)>2x+m成立,求实数m的取值范围.

【解析】(1)由f(0)=2,得c=2,
所以f(x)=ax2+bx+2(a≠0),

由f(x+2)-f(x)=[a(x+2)2+b(x+2)+2]-[ax2+bx+2]=4ax+4a+2b
又f(x+2)-f(x)=16x,得4ax+4a+2b=16x,故a=4,b=-8,所以f(x)= 4x2-8x+2. (2)因为存在x∈[1,2],使不等式f(x)>2x+m, 即存在x∈[1,2],使不等式m<4x2-10x+2成立, 令g(x)=4x2-10x+2,x∈[1,2], 故g(x)max=g(2)=-2,所以m<-2.

考点3

一元二次不等式的实际应用

【典例5】(2015·威海模拟)行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用, 要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种 路面上,某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下
2 nv v 列关系:s= + (n为常数,且n∈N),做了两次刹车试验,有关 100 400 6<s1<8, 试验数据如图所示,其中 ? ? 17. ?14<s 2<

(1)求n的值.

(2)要使刹车距离不超过12.6m,则行驶的最大速度是多少?
【解题提示】(1)由图象信息,将v=40,v=70代入求s1,s2,得关于n的不 等式组. (2)解关于v的不等式,求最大值.

【规范解答】(1)由试验数据知,
2 7 49 s1= n+4,s 2= n+ , 5 10 4 ? 2 6< n ? 4<8, ? ? 所以 ? 5 解之得 ?14< 7 n ? 49 < 17, ? 10 4 ?

10, ?5<n< ? ?5 95 < n < . ? 14 ?2

又n∈N,所以取n=6.

3v v 2 (2)由(1)知,s= + ,v ? 0. 50 400 2 3v v 依题意, s= + ? 12.6, 50 400

即v2+24v-5 040≤0,解之得-84≤v≤60. 注意到v≥0,所以0≤v≤60.

故行驶的最大速度为60 km/h.

【规律方法】不等式实际应用的解题思路 不等式的实际应用,常以函数模型为载体,解题时要理解题意,准确找 出其中的不等关系,引进数学符号恰当表示,最后用不等式的解集回答 实际问题.

【变式训练】某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂 价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,计划提 高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加 的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式. (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x 应在什么范围内?

【解析】(1)由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10000× (1+0.6x)(0<x<1),整理得y=-6000x2+2000x+20000(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有
? y ? (12 ? 10) ? 10 000 ? 0, ? ?0 ? x ? 1, ??6 000x 2 ? 2 000x ? 0, 即? ?0 ? x ? 1, 解得 0 ? x ? 1, 3

所以投入成本增加的比例应在 (0, 1 ) 范围内.
3

【加固训练】(2015·淄博模拟)某公司按现有能力,每月收入为70万 元,公司分析部门测算,若不进行改革,因竞争加剧收入将逐月减少.分 析测算得从2014年开始第一个月收入将减少3万元,以后逐月多减少2 万元,如果进行改革,即投入技术改造300万元,且2014年后每月再投

入1万元进行员工培训,则测算得自2014年后第一个月起累计收入Tn与
时间n(以月为单位)的关系为Tn=an+b,且2014年第一个月时收入将为

90万元,第二个月时累计收入为170万元,问2014年后经过几个月,该
公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.

【解析】2014年改革后经过n个月的纯收入为(Tn-300-n)万元,公司若
不进行改革,由题设知2014年后因竞争加剧收入将逐月减少.

分析测算得2014年第一个月收入将减少3万元,以后逐月多减少2万元.
所以不改革,第一个月:70-3-2×(1-1), 第二个月:70-3-2(2-1), 第三个月:70-3-2(3-1),… 第n个月:70-3-2(n-1),

n(n ? 1) 所以不改革时的纯收入为: 70n ? [3n ? ?2] 万元,

90 ? a ? b, 由题设知 ? ?

?170 ? 2a ? b,

所以 ?

?a ? 80, ?b ? 10,

2

由题意建立不等式:80n+10-300-n>70n-3n-(n-1)n, 整理,得n2+11n-290>0,得n>12.4, 因为n∈N,故取n=13. 答:经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入 .

自我纠错13

解一元二次不等式
3

【典例】已知不等式ax2+bx+c≥0的解集为 {x | -1 ? x ? 2},则不等式 cx2+bx+a<0的解集为_______________.

【解题过程】

【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?

提示:忽视了对a,b,c符号的判断,根据给出的解集,除知道 ? 1

3

和2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根外,还应知道a<0,然后通过根与 系数的关系进一步求解.

【规避策略】 1.确定符号 根据不等式的解集确定二次项系数的符号. 2.准确转化

正确利用根与系数的关系得到a,b,c的关系,做好不等式的等价转化,
构造关于系数a,b,c的方程组.

3.写出解集
规范正确地解出不等式,写出解集.

【自我矫正】由于不等式ax2+bx+c≥0的解集为 {x | -1 ? x ? 2},
可知a<0,且 ? 1 , 2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,
3 3

所以 ? 1 ? 2 ? ? b ,(? 1 ) ? 2 ? c ,
所以 b ? ? 5 a,c ? ? 2 a.
3 3 3 a 3 a

所以不等式cx2+bx+a<0可化为 ? ax 2 ? ax ? a<0, 由于a<0, 所以
2 2 5 即2x2+5x-3<0, x ? x ? 1<0, 3 3

2 3

5 3

解得 ?3<x< ,

所以所求解集为 {x | ?3<x<1}.
2 1 答案: {x | ?3<x< } 2

1 2



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