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高中数学 圆锥曲线定点、定直线、定值问题 新人教A版选修2-1



定点、定直线、定值专题
1、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 ,最小值为1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭 圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

x2 y 2 ? 1. a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b ? 3 ? ? 4 3
2

? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .
8mk 4(m2 ? 3) ? x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ? 3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2
y1 y ? 2 ? ?1 , x1 ? 2 x2 ? 2

? 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD ? kBD ? ?1 ,?
(最好是用向量点乘来) y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得 m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k 2 2 ,且满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾;

2k 2 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7
当m ? ? 2、已知椭圆 C 的离心率 e ?
3 ,长轴的左右端点分别为 A1 ? ?2 , 0? , A2 ? 2 , 0 ? 。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 2

(Ⅱ)设直线 x ? my ? 1 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,直线 A1 P 与 A2 Q 交于点 S。试问:当 m 变化时,点 S 是 否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由。
1

解法一: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 ∵a ? 2 ,e ?

x 2 y2 ? ? 1? a ? b ? 0? 。 a 2 b2

………………… 4分

1分

c 3 ? ,∴ c ? 3 , b2 ? a 2 ? c2 ? 1 。 a 2

………………

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 。 ……………………………………… 5 分 42

? 3 3 3? ? 3? y? x? , (Ⅱ)取 m ? 0, 得 P ?1, ? 2 ? ,Q ?1, ? 2 ? ,直线 A1P 的方程是 ? ? ? 6 3 ? ? ? ?
直线 A2 Q 的方程是 y ?
3 x ? 3, 交点为 S1 4, 3 . …………7 分, 2

?

?

? 3? ? 3? S 4, ? 3 . 若 P ?1, ? ? ,Q ?1, ? ? ? 2 ? ,由对称性可知交点为 2 ? 2 ? ? ? ?

?

?

若点 S 在同一条直线上,则直线只能为 ? : x ? 4 。…………………8 分
? x2 2 ? ? y ?1 以下证明对于任意的 m, 直线 A1P 与直线 A2 Q 的交点 S 均在直线 ? : x ? 4 上。事实上,由 ? 4 得 ? x ? my ? 1 ?

? my ? 1?

2

? 4y2 ? 4, 即 m2 ? 4 y2 ? 2my ? 3 ? 0 ,
9分

?

?

?2m ?3 。………… , y1y2 ? 2 m2 ? 4 m ?4 y y1 6y1 , 得 y0 ? . 设 A1P 与 ? 交于点 S0 (4, y0 ), 由 0 ? 4 ? 2 x1 ? 2 x1 ? 2
记 P ? x1 , y1 ? ,Q ? x 2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 设 A2 Q 与 ? 交于点 S0? (4, y0? ), 由
2y 2 y0? y2 . ……… 10 ? , 得 y 0? ? x2 ? 2 4 ? 2 x2 ? 2

? y 0 ? y 0? ?

6y ? my2 ? 1? ? 2y 2 ? my1 ? 3? 4my1 y2 ? 6 ? y1 ? y2 ? 6y1 2y 2 ? ? 1 ? x1 ? 2 x 2 ? 2 ? x1 ? 2 ?? x 2 ? 2 ? ? x1 ? 2?? x 2 ? 2 ?

?12m ?12m ? m2 ? 4 m2 ? 4 ? 0 ,……12 分 ? ? x1 ? 2?? x 2 ? 2?

∴ y0 ? y0? ,即 S 0 与 S0? 重合,这说明,当 m 变化时,点 S 恒在定直线 ? : x ? 4 上。 13 分

? 3 3 3? ? 3? y? x? , 直线 A2 Q 的方程是 解法二: (Ⅱ)取 m ? 0, 得 P ?1, ? 2 ? ,Q ?1, ? 2 ? ,直线 A1P 的方程是 ? ? ? 6 3 ? ? ? ?
3 x ? 3, 交点为 S1 4, 3 . ………………………………………… 7分 2 1 1 1 ?8 3? 取 m ? 1, 得 P ? , ? , Q ? 0, ?1? ,直线 A1P 的方程是 y ? x ? , 直线 A2 Q 的方程是 y ? x ? 1, 交点为 S2 ? 4,1? . 6 3 2 ?5 5? y?

?

?

∴若交点 S 在同一条直线上,则直线只能为 ? : x ? 4 。 ……………8 分

2

? x2 2 ? ? y ?1 以下证明对于任意的 m, 直线 A1P 与直线 A2 Q 的交点 S 均在直线 ? : x ? 4 上。事实上,由 ? 4 得 ? x ? my ? 1 ?

? my ? 1?

2

? 4y2 ? 4,



?m

2

? 4? y2 ? 2my ? 3 ? 0





P?

1

x ?

1

?

,

?y

2

,,

2

则 Q

x

?2m ?3 , y y ? 2 1 。………………9 分 22 2 m ?4 m ?4 y1 y y y A1P 的方程是 y ? ? x ? 2 ? , A2Q 的方程是 y ? 2 ? x ? 2 ? , 消去 y, 得 1 ? x ? 2 ? ? 2 ? x ? 2 ? … x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 y1 ? y ?
①以下用分析法证明 x ? 4 时,①式恒成立。要证明①式恒成立,只需证明
3y1 ? my2 ? 1 ? y2 ? my ? ? 即证 2my1y2 ? 3? y1 ? y2 ?. ……………… 3 , ? 1
6y1 2y 2 ? , 即证 x1 ? 2 x 2 ? 2





2my1y ? 3? y ? y

??

?6m ?6m 这说明, m 变化时, S 恒在定直线 ? : x ? 4 上。 当 ? 2 ? 20, ∴②式恒成立。 1 点 2 m ?4 m ?4

2

? x2 2 ? ? y ?1 2 解法三: (Ⅱ)由 ? 4 得 ? my ? 1? ? 4y2 ? 4, 即 m2 ? 4 y2 ? 2my ? 3 ? 0 。 ? x ? my ? 1 ?

?

?

记 P ? x1 , y1 ? ,Q ? x 2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ?

?2m ?3 。…………… , y1y2 ? 2 m2 ? 4 m ?4 y1 y A1P 的方程是 y ? ? x ? 2 ? , A2Q 的方程是 y ? 2 ? x ? 2 ? , …… x1 ? 2 x2 ? 2

6分 7分

y1 ? ?y ? x ? 2 ? x ? 2? , y y2 ? 1 由? 得 1 ? x ? 2? ? ? x ? 2? , x2 ? 2 ? y ? y 2 ? x ? 2 ? , x1 ? 2 ? x2 ? 2 ?

…………………

9分

y ? x ? 2 ? ? y1 ? x 2 ? 2 ? y ? my1 ? 3? ? y1 ? my 2 ? 1? 2my1 y 2 ? 3y 2 ? y1 ? 2? ? 2? 2 即 x ? 2? 2 1 3y 2 ? y1 y2 ? x1 ? 2 ? ? y1 ? x 2 ? 2 ? y 2 ? my1 ? 3? ? y1 ? my 2 ? 1?

?3 ? ?2m ? 2m? 2 ? 3? 2 ? y1 ? ? y1 m ?4 m ?4 ? ? ? 2? ? 4. ……………………………… ? ?2m ? 3? 2 ? y1 ? ? y1 ?m ?4 ?

12 分

这说明,当 m 变化时,点 S 恒在定直线 ? : x ? 4 上。………………

13 分

3、已知椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值 2 为 2 ? 1 ,离心率为 e ? ﹒ 2 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; ???? ???? ? (Ⅱ) 过点 ?1 , 0 ? 作直线 ? 交 E 于 P 、Q 两点, 试问: x 轴上是否存在一个定点 M ,MP ? MQ 为定值? 在 若存在,求出这个定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由﹒

3

?a ? c ? 2 ? 1 x 2 y2 ? 解: (I)设椭圆 E 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,由已知得: ? c 。。。2 分 。。 2 a b ? ? 2 ?a 2 ?a ? 2 x ? ? b2 ? a 2 ? c2 ? 1 ? 椭圆 E 的方程为 ? y2 ? 1 。。 。。 3分 ?? 2 c ?1 ? ? (Ⅱ)法一:假设存在符合条件的点 M(m,0) ,又设 P(x1, y1 ),Q(x 2 , y2 ) ,则: ???? ???? ? ???? ???? ? MP ? (x1 ? m, y1 ),MQ ? (x 2 ? m, y2 ),MP ? MQ ? (x1 ? m) ? (x 2 ? m) ? y1y2

。。 ? x1x 2 ? m(x1 ? x 2 ) ? m2 ? y1y2 。。。 5 分 ①当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为: y ? k(x ? 1) ,则
? x2 2 ? ? y ?1 由? 2 得 x 2 ? 2k 2 (x ?1)2 ? 2 ? 0 ? y ? k(x ? 1) ?

4k 2 2k 2 ? 2 7分 , x1 ? x 2 ? 2 2k 2 ? 1 2k ? 1 k2 y1y2 ? k 2 (x1 ?1)(x 2 ?1) ? k 2[x1x 2 ? (x1 ? x 2 ) ? 1] ? ? 2 2k ? 1 2 2 ???? ???? 2k 2 ? 2 ? 4k k (2m2 ? 4m ? 1)k 2 ? (m2 ? 2) 所以 MP ? MQ ? 2 9分 ? m? 2 ? m2 ? 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1 ???? ???? ? 5 对于任意的 k 值, MP ? MQ 为定值,所以 2m2 ? 4m ? 1 ? 2(m2 ? 2) ,得 m ? , 4 ???? ???? ? 5 7 所以 M( ,0),MP ? MQ ? ? ; 11 分 4 16 1 ②当直线 l 的斜率不存在时,直线 l : x ? 1,x1 ? x 2 ? 2,x1x 2 ? 1, y1y2 ? ? 2 ???? ???? ? 5 7 由 m ? 得 MP ? MQ ? ? 4 16 5 综上述①②知,符合条件的点 M 存在,起坐标为 ( ,0) ﹒ 13 分 4 ???? ???? ? 法二:假设存在点 M(m,0) ,又设 P(x1, y1 ),Q(x 2 , y2 ), 则: MP ? (x1 ? m, y1 ),MQ ? (x 2 ? m, y2 ) ???? ???? ? MP ? MQ ? (x1 ? m) ? (x 2 ? m) ? y1y2 = x1x 2 ? m(x1 ? x 2 ) ? m2 ? y1y2 …. 5 分 ①当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1 ,
(2k 2 ? 1)x 2 ? 4k 2x ? (2k 2 ? 2) ? 0 x1 ? x 2 ?
? x2 2 ?2t ?1 ? ? y ?1 由? 2 得 (t 2 ? 2)y2 ? 2ty ? 1 ? 0 ? y1 ? y2 ? 2 7分 , y1 ? y2 ? 2 t ?2 t ?2 ? x ? ty ? 1 ?

x1x 2 ? (ty1 ? 1) ? (ty2 ? 1) ? t 2 y1y2 ? t(y1 ? y2 ) ? 1 ? x1 ? x 2 ? t(y1 ? y2 ) ? 2 ?

?t 2 ? 2t 2 ? t 2 ? 2 ?2t 2 ? 2 ? 2 t2 ? 2 t ?2

?2t 2 ? 2t 2 ? 4 4 ? 2 2 t ?2 t ?2 ???? ???? ?2t 2 ? 2 4m ? 1 (m2 ? 2)t 2 ? 2m2 ? 4m ? 1 9分 ?MP ? MQ ? 2 ? 2 ? m2 ? 2 ? t ?2 t ?2 t ?2 t2 ? 2 ???? ???? ? (m2 ? 2)t 2 ? 2m2 ? 4m ? 1 设 MP ? MQ ? ? 则 ?? t2 ? 2 5 ? 2 2 2 2 ?m ? 4 ?m 2 ? 2 ? ? ? 0 ? (m ? 2)t ? 2m ? 4m ? 1 ? ?(t ? 2) 5 ? ? ?? ?? 2 ? M( ,0) 11 分 2 2 2 7 4 ? (m ? 2 ? ?)t ? 2m ? 4m ? 1 ? 2? ? 0 ?2m ? 4m ? 1 ? 2? ? 0 ?? ? ? ? ? 16 ? 5 ②当直线 l 的斜率为 0 时,直线 l : y ? 0 ,由 M( ,0) 得: 4
4

???? ???? ? 5 5 25 7 MP ? MQ ? ( 2 ? ) ? (? 2 ? ) ? ? 2 ? ? 4 4 16 16

5 综上述①②知,符合条件的点 M 存在,其坐标为 ( ,0) 。。 。。13 分 4
4、已知椭圆的焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 x2 ? 4 y 的焦点,离心率 e ? 焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线 l ,交椭圆于 A 、 B 两点。 (I)求椭圆的标准方程;

2 ,过椭圆的右 5

(Ⅱ)设点 M (m, 0) 是线段 OF 上的一个动点,且 (MA ? MB) ? AB ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)设点 C 是点 A 关于 x 轴的对称点,在 x 轴上是否存在一个定点 N ,使得 C 、 B 、 N 三点共线?若存在,求出定点 N 的坐标,若不存在,请说明理由。

???? ????

??? ?

x2 y 2 解法一: (I)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,由题意知 b ? 1 a b x2 a 2 ? b2 2 2 ? y2 ? 1 故椭圆方程为 ? ? ?a ?5 2 5 a 5 (Ⅱ)由(I)得 F (2, 0) ,所以 0 ? m ? 2 ,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ( k ? 0 ) x2 ? y 2 ? 1,得 (5k 2 ? 1) x2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 5 20k 2 20k 2 ? 5 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 则 ,? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4), y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) 5k 2 ? 1 ??? ????5k ? 1 ? ??? ? ?MA ? MB ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y2 ) ? ( x1 ? x2 ? 2m, y1 ? y2 ), AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) ??? ???? ??? ? ? ??? ???? ??? ? ? ?(MA ? MB) ? AB,?(MA ? MB) ? AB ? 0,?( x1 ? x2 ? 2m)( x2 ? x1) ? ( y2 ? y1)( y1 ? y2 ) ? 0
代入

m 8 20k 2 4k 2 ? 0,? 0 ? m ? , ? 2 ? 2m ? 2 ? 0, ? (8 ? 5m)k 2 ? m ? 0 由 k 2 ? 8 ? 5m 5 5k ? 1 5k ? 1 ???? ???? ??? ? 8 ? 当 0 ? m ? 时,有 (MA ? MB) ? AB 成立。 5 5 (Ⅲ)在 x 轴上存在定点 N ( , 0) ,使得 C 、 B 、 N 三点共线。依题意知 C ( x1 , ? y1 ) ,直线 BC 的方程 2 y2 ? y1 y (x ? x ) y x ? y2 x1 为 y ? y1 ? ( x ? x1 ) , 令 y ? 0 ,则 x ? 1 2 1 ? x1 ? 1 2 x2 ? x1 y2 ? y1 y2 ? y1 ? l 的方程为 y ? k ( x ? 2), A 、 B 在直线 l 上, k ( x1 ? 1) x2 ? k ( x2 ? 1) x1 2kx1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? y1 ? k ( x1 ? 2), y2 ? k ( x2 ? 2) ? x ? ? k ( x1 ? x2 ) ? 4k k ( x1 ? x2 ) ? 4k

20k 2 ? 5 20k 2 ? 2k ? 2 5k 2 ? 1 5k ? 1 ? 5 ? 在 x 轴上存在定点 N ( 5 , 0) ,使得 C B N 三点共线。 ? 2 2 20k 2 k 2 ? 4k 5k ? 1 解法二: (Ⅱ)由(I)得 F (2, 0) ,所以 0 ? m ? 2 。设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0), 2k ?
代入

x2 ? y 2 ? 1,得 (5k 2 ? 1) x2 ? 20k 2 ? 20k 2 ? 5 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 5 4k 20k 2 20k 2 ? 5 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ? ? 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 5k ? 1 5k ? 1 5k ? 1

5

???? ???? ??? ? ? ( MA ? MB) ? AB,?| MA |?| MB |,? ( x1 ? m) 2 ? y1 ? ( x2 ? m) 2 ? y2 , ? ( x1 ? x2 ? 2m)( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0, (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? 2m ? 4k 2 ? 0,? (8 ? 5m)k 2 ? m ? 0
8 8k 2 8 8 ? ? ) ? k ? 0, ? k 2 ? 0 ? 0 ? m ? 2 2 5 5k ? 1 5 5(5k ? 1 ???? ???? ??? ? 8 ? 当 0 ? m ? 时,有 (MA ? MB) ? AB 成立。 5 5 (Ⅲ)在 x 轴上存在定点 N ( , 0) ,使得 C 、 B 、 N 三点共线。 2 ??? ??? ? ? 设存在 N (t ,0), 使得 C 、 B 、 N 三点共线,则 CB // CN , ??? ? ??? ? ?CB ? ( x1 ? x2 , y2 ? y1 ), CN ? (t ? x1, y1 ) , ?( x2 ? x1 ) y1 ? (t ? x1 )( y1 ? y2 ) ? 0 即 ( x2 ? x1 )k ( x1 ? 2) ? (t ? x1 )k ( x1 ? x2 ? 4) ? 0 ? 2 x1 x2 ? (t ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4t ? 0

?m ?

?2

5 5 20k 2 ? 5 20k 2 ? (t ? 2) 2 ? 4t ? 0 ,? t ? ? 存在 N ( , 0) ,使得 C B N 三点共线。 2 2 2 5k ? 1 5k ? 1

6、(福建卷)已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点为 F,O 为坐标原点。 2

(Ⅰ)求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围. 本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考查平面解析几何的基本方法,考查运算能力和综 合解题能力。 解:(I)? a2 ? 2, b2 ? 1?c ? 1, F (?1,0), l : x ? ?2. ? 圆过点 O、F,? M 在直线 x ? ? 设 M (?

1 上。 2

1 3 1 , t ), 则圆半径 r ? (? ) ? (?2) ? . 2 2 2

由 OM ? r, 得 (? ) 2 ? t 2 ?

1 2

3 , 2

解得 t ? ? 2.

1 9 ? 所求圆的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? . 2 4
(II)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0),
y

代入

x2 ? y 2 ? 1, 整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0. 2
F A

B

? 直线 AB 过椭圆的左焦点 F,? 方程有两个不等实根。
记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB 中点 N ( x0 , y0 ), 则 x1 ? x2 ? ?

4k , 2k 2 ? 1

2

l

G

O

x

1 ? AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ). 令 y ? 0, 得 k
6

2k 2 k2 k2 1 1 xG ? x0 ? ky0 ? ? 2 ? 2 ?? 2 ?? ? 2 . 2k ? 1 2 k ? 1 2k ? 1 2 4k ? 2
? k ? 0,?? 1 1 ? xG ? 0, ? 点 G 横坐标的取值范围为 ( ? , 0). 2 2

7



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