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2014高考数学必考点解题方法秘籍 圆锥曲线3 理



2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:圆锥曲线 3
一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二 元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫 做方程的曲线.

点与曲线的关系 若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 ? f(x0,y 0)=0; 点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 ? f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点 若曲线 C1,C2 的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点 P0(x0,y0)是 C1,C2 的交点 ? f2(x0,y0) =0 方程组有 n 个不同的实数解,两条曲线就有 n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没 有 交点. 2.圆 圆的定义 点集: {M||OM|=r} ,其中定点 O 为圆心,定长 r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程 圆心在 c(a,b),半径为 r 的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点,半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r2 (2)一般方程? 当 D2+E2-4F>0 时,一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0

D E 叫 做 圆 的 一 般 方 程 , 圆 心 为 (- 2 ,- 2 , 半 径 是
x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为

D 2 ? E 2 - 4F 2 .配方,将方程

D 2 ? E 2 - 4F D E 4 (x+ 2 )2+(y+ 2 )2=
当 D2+E2-4F=0 时,方程表示一个点

D E (- 2 ,- 2 );
当 D2+E2-4F<0 时,方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x0,y0),则 |MC|<r ? 点 M 在圆 C 内, |MC|=r ? 点 M 在圆 C 上,

-1-

|MC|>r ? 点 M 在圆 C 内, 其中|MC|=

(x 0 - a) 2 ? (y 0 - b) 2

.

(3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交 ? 有两个公共点 直线与圆相切 ? 有一个公共点 直线与圆相离 ? 没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法

Aa ? Bb ? C
(ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= 3.椭圆、双曲线和抛物线 椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表. 曲 性 质 点集: ({M || MF1+ | MF2|=2a,|F 1F2|< 2a= 点集: {M || MF1 | - | MF2|. =±2a,|F2F2|>2a}. 点集{M| |MF|=点 M 到直线 l 的距离}. 线 椭 圆 双曲线 抛物线

A2 ? B 2

与半径 r 的大小关系来判定.

轨迹条件





标准方程

x2 y2 a 2 + b 2 =1(a>b>0)
A1(-a,0),A2(a,0); B1(0,-b),B2(0,b) 对称轴 x=0,y=0 长轴长:2a 短轴长:2b F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在长轴上 |F1F2|=2c,

x2 y2 a 2 - b 2 =1(a > 0,b > y2=2px(p>0)
0)





A1(0,-a),A2(0,a) 对称轴 x=0,y=0 实轴长:2a 虚轴长:2b

O(0,0)



对称轴 y=





F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在实轴上 |F1F2|=2c, c= a2 ? b2

P F( 2 ,0)
焦点对称轴上





c= a2 - b2

-2-

a2 x=± c
准 线 准线垂直于长轴,且在 椭圆外.

a2 x=± c
准线垂直于实轴,且在 两顶点的内侧.

p x=- 2
准 线 与焦 点位 于顶 点 两侧,且到顶点的距离 相等. e=1

离心率

c e= a ,0<e<1

c e= a ,e>1

4.圆锥曲线的统一定义 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点 F(c,0)称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率. 当 0<e<1 时,轨迹为椭圆 当 e=1 时,轨迹为抛物线 当 e>1 时,轨迹为双曲线 5.坐标变换 坐标变换 在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点 的 坐标与曲线的方程. 坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移,简称移轴. 坐标轴的平移公式 设平面内任意一点 M,它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x,y),在新坐标系 x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点 O′在原坐标系 xOy 中的坐标是(h,k), 则 x=x′+h x′=x-h (1) 或(2) y=y′+k y′=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程? 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表. 方 程 焦 点 焦 线 对称轴 x=h y=k x=h y=k x=h y=k

(x - h) 2 (y - k) 2 a 2 + b 2 =1
椭圆

(±c+h,k)

a2 x=± c +h a2 y=± c +k a2 =± c +k

(x - h) 2 (y - k) 2 b2 + a2 =1
双曲线

(h,±c+k)

(x - h) 2 (y - k) 2 a 2 - b 2 =1

(±c+h,k)

-3-

(y - k) 2 (x - h) 2 a 2 - b 2 =1
(y-k)2=2p(x-h)

(h,±c+h)

a2 y=± c +k
p x=- 2 +h

x=h y=k

p ( 2 +h,k)

y=k

(y-k)2=-2p(x-h) 抛物线 (x-h)2=2p(y-k)

p (- 2 +h,k) p (h, 2 +k)
p (h,- 2 +k)

p x= 2 +h p y=- 2 +k
p y= 2 +k

y=k

x=h

(x-h)2=-2p(y-k)

x=h

二、知识点、能力点提示 (一)曲线和方程,由已知条件列出曲线的方程,曲线的交点 说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系,然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出 方程后要考虑化简的过程是否是同解变形,是否满足已知条件,只有这样求 出的曲线方程才 能准确无误.另外,要求会判断 曲线间有无交点,会求曲线的交点坐标. 考纲中对圆锥曲线的要求: 考试内容: . 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程; . 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质; . 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质; 考试要求: . (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程; . (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质; . (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质; . (4)了解圆锥曲线的初步应用。 四.对考试大纲的理解 高考圆锥曲线试题一般有 3 题(1 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 22 分左右, 考查 的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查 以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下,一般较容易得分,解答题常作为数学 高考中的压轴题,综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力, 重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直 线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解,在复习应充分重视。 求圆锥曲线的方程 【复习要点】 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、 分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求熟练掌握好圆锥 曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命
-4-

制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个 坐标轴上时,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0). 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小. 【例题】
x2 y2 ? 2 双曲线 4 b =1(b∈N)的两个焦点 F1、F2,P 为双曲线上一点,

|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则 b2=_________. 解:设 F1(-c,0) 、F2(c,0)、P(x,y),则 |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|, 依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2 17 ∴16+8c2<50+2c2,∴c2< 3 ,

5 17 又∵c2=4+b2< 3 ,∴b2< 3 ,∴b2=1.
答案:1 已知圆 C1 的方程为
x2 a
2

?x ? 2?2 ? ? y ? 1?2 ? 20

3 ,椭圆 C2 的方程为
2 2 ,如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 恰

?

y2 b
2

?1

?a ? b ? 0? ,C2 的离心率为

为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程。
e? 2 c 2 2 ,得 ? , a ? 2c 2 , b 2 ? c 2 . 2 a 2

解:由

x2

设椭圆方程为 2b

2

?

y2 b2

? 1.

设 A( x1 , y1 ).B( x 2 , y 2 ).由圆心为(2,1).
? x1 ? x 2 ? 4, y1 ? y 2 ? 2.
2 x1
y

又 2b

2

?

2 y1

b2

? 1,

2 x2

2b 2

?

2 y2

b2

? 1,

A

2 2 x1 ? x2 2 两式相减,得 2b

?

2 2 y1 ? y2

b2

? 0.
F2 O

C1

F1 B

x

-5-

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 2( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0,
x1 ? x 2 ? 4. y1 ? y 2 ? 2.得 y1 ? y 2 ? ?1. x1 ? x 2



? 直线AB的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 2)..

即 y ? ?x ? 3
y ? ? x ? 3代入 x2 2b 2 ? y2 b2 ? 1, 得



3 x 2 ? 12 x ? 18 ? 2b 2 ? 0.

? 直线AB与椭圆C 2 相交. ? ? ? 24b 2 ? 72 ? 0.
AB ? 2 x1 ? x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 20 . 3


2? 24b 2 ? 72 ? 3 20 . 3



解得

b 2 ? 8.

x2 y2 ? ? 1. 故所有椭圆方程 16 8

2 过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为 2 的椭圆 C 相交于 A、B 两点,

1 直线 y= 2 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称,试求直线 l

与椭圆 C 的方程.
a2 ? b2 1 c 2 ? ? 2 2 ,从而 a2=2b2,c=b. 2 ,得 a 解法一:由 e= a

设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,
y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 . x1 ? x 2 2( y1 ? y 2 )

(x12-x22)+2(y12-y22)=0,

x0 2y 设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=- 0 ,
1 1 又(x0,y0)在直线 y= 2 x 上,y0= 2 x0,
B

y y= 1 2 x

F2

o

F1 A

x

-6-

于是-

x0 2 y0

=-1,kAB=-1,

设 l 的方程为 y=-x+1. 右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),
? y? ?1 ? ?x? ? 1 ? x? ? b 则? 解得? ? y? ? 1 ? b ? y? ? ? x? ? b ? 1 ? 2 ?2

9 2 9 ,a ? 8. 由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= 16
8 x 2 16 2 ? y 9 ∴所求椭圆 C 的方程为 9 =1,l 的方程为 y=-x+1.
c 2 a2 ? b2 1 ? ,得 ? 2 2 ,从而 a2=2b2,c=b. a2 解法二:由 e= a

设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x-1), 将 l 的方程代入 C 的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,
4k 2
2

2k
2

则 x1+x2= 1 ? 2k ,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=- 1 ? 2k .

x1 ? x 2 y1 ? y 2 ?k 1 2k 2 1 ? ? , 2 ),则 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 , 直线 l:y= 2 x 过 AB 的中点( 2
解得 k=0,或 k=-1. 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身,不能在椭圆 C 上, 所以 k=0 舍去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1),即 y=-x+1,以下同解法一.
x2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) (1)

解法 3:设椭圆方程为 a

2

直线 l 不平行于 y 轴,否则 AB 中点在 x 轴上与直线 故可设直线 l的方程为y ? k ( x ? 1) (2)

y?

1 x过AB 2 中点矛盾。

(k 2 a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2k 2 a 2 x ? a 2 k 2 ? a 2 b 2 ? 0 (3) (2)代入(1)消y整理得:
知:x1 ? x 2 ? 2k 2 a 2 k 2a2 ? b2

设A( x1,y1 ) B( x 2,y 2 )



又y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2k代入上式得:

k?

2k 1 ? x1 ? x 2 2

? k ? 2k ?

k 2a2 ? b2 2k 2 a 2

?



1 b2 1 2 ?k ? k ? 2 ? 又e ? 2, 2, ka 2
-7-

?k ? ?

2b 2 a2

??

2(a 2 ? c 2 ) a2

? ?2 ? 2e 2 ? ?1

,? 直线l的方程为y ? 1 ? x ,

2 2 2 2 此时a 2 ? 2b 2 , 方程(3)化为3x ? 4 x ? 2 ? 2b ? 0 , ? ? 16 ? 24(1 ? b ) ? 8(3b ? 1) ? 0

?b ?

3 2 2 2 3 , 椭圆C的方程可写成:x ? 2 y ? 2b (4) , 又c 2 ? a 2 ? b 2 ? b 2 ,

? 右焦点F (b, 0) , 设点F关于直线l的对称点( x 0,y 0 ) ,

? y0 ?x ? b ?1 ? 0 ? x 0 ? 1,y 0 ? 1 ? b ? ? y 0 ? 1 ? x0 ? b ? 2 则? 2 ,
?b ? 3 3 ? 4 3 ,

1 ? 2(1 ? b) ? 2b 2 , 又点(1, 1 ? b)在椭圆上,代入(4)得:
?b 2 ? 9 16 , a2 ? 9 8

x2 y2 ? ?1 9 9 16 所以所求的椭圆方程为: 8

27 如图,已知△P1OP2 的面积为 4 ,P 为线段 P1P2 的一个三等分点,求以直线 OP1、OP2 为渐
13 近线且过点 P 的离心率为 2 的双曲线方程.

解:以 O 为原点,∠P1OP2 的角平分线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系.
x2
2

设双曲线方程为 a
c2

?

y2 b 2 =1(a>0,b>0)

y

P2

b 13 2 b 3 ?1 ? ( )2 ? ( ) ? a 2 由 e2= a ,得 a 2 .
2

P o P1 x

3 3 2 ∴两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= x 和 y=- 2 x 3 3 设点 P1(x1, 2 x1),P2(x2,- 2 x2)(x1>0,x2>0),
P1 P

则由点 P 分 P1 P2 所成的比 λ = PP2 =2,

-8-

x1 ? 2 x 2 x1 ? 2 x 2 , 3 2 得 P 点坐标为( ),
x2 ? 4y2 9a 2 =1 上,

又点 P 在双曲线 a
( x1 ? 2 x 2 ) 2 ?

2

( x1 ? 2 x 2 ) 2 9a 2

所以

9a

2

=1, ①
13 x2 2

即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2
9 2 13 9 x1 ? x1 , | OP |? x 2 2 ? x 2 2 ? 4 2 4 3 2? 2 tan P1Ox 2 ? 12 sin P1OP2 ? ? 2 9 13 1 ? tan P1Ox 1 ? 4 1 1 13 12 ? S ?P1OP2 ? | OP1 | ? | OP2 | ? sin P1OP2 ? ? x1 x 2 ? ? 2 2 4 13 又 | OP1 |? x1 2 ?

27 , 4

9 即 x1x2= 2

② 由①、②得 a2=4,b2=9
x2 y2 ? 9 =1. 故双曲线方程为 4

y2

过椭圆 C: a

2

?

x2 b2

? 1(a ? b ? 0)

上一动点 P 引圆 O:x2 +y2 =b2 的两条切线 PA、PB,A、B 为

切点,直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交于 M、N 两点。(1) 已知 P 点坐标为(x0,y0 )并且 x0y0≠ 0 , 试 求 直 线 AB 方 程 ; (2) 若 椭 圆 的 短 轴 长 为 8 , 并 且
a2 | OM |
2

?

b2 | ON |
2

?

25 16

, 求椭圆 C 的方程; (3) 椭圆 C 上是否存在点 P,

由 P 向圆 O 所引两条切线互相垂直?若存在,请求出存在的条件;若 不存在,请说明理由。 解:(1)设 A(x1,y1),B(x2, y2)
2 2 切线 PA: x1 x ? y1 y ? b ,PB: x 2 x ? y 2 y ? b 2 2 ∵P 点在切线 PA、PB 上,∴ x1 x0 ? y1 y 0 ? b ?x 2 x0 ? y 2 y 0 ? b 2 ∴直线 AB 的方程为 x 0 x ? y 0 y ? b ( x 0 y 0 ? 0)

(2)在直线 AB 方程中,令 y=0,则 M(

b2 x0

,0);令 x=0,则 N(0,

b2 y0

)

-9-

a2
2 ∴ | OM |

?

b2 | ON | 2

?

2 2 a 2 y0 x0 a 2 25 ( ? ) ? ? b 2 a 2 b2 b 2 16



∵2b=8

∴b=4 代入①得 a2 =25, b2 =16

y2 x2 ? ? 1( xy ? 0) ∴椭圆 C 方程: 25 16

(注:不剔除 xy≠0,可不扣分)

(3) 假设存在点 P(x0,y0)满足 PA⊥PB,连接 OA、OB 由|PA|=|PB|知, 四边形 PAOB 为正方形,|OP|= 2 |OA|
2 2 2 ∴ x 0 ? y 0 ? 2b



又∵P 点在椭圆 C 上
2 0?

2 2 2 2 2 2 ∴ a x0 ? b y 0 ? a b



b 2 (a 2 ? 2b 2 ) a2 ? b2

由①②知 x ∵a>b>0

2 , y0 ?

a 2b 2 a2 ? b2

∴a2 -b2>0

(1)当 a2-2b2>0,即 a> 2 b 时,椭圆 C 上存在点,由 P 点向圆所引两切线互相垂直; (2)当 a2-2b2<0,即 b<a< 2 b 时,椭圆 C 上不存在满足条件的 P 点
3 3 3 3 已知椭圆 C 的焦点是 F1(- ,0) 、F2( ,0) ,点 F1 到相应的准线的距离为 ,过 F2

点且倾斜角为锐角的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,使得|F2B|=3|F2A|. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求直线 l 的方程. 解: (1)依题意,椭圆中心为 O(0,0) ,c ? 3
b2 3 ? 3 ,? b 2 ? ? 3 ?1 c 3 点 F1 到相应准线的距离为 ,

a2=b2+c2=1+3=4
x2 ? y2 ? 1 4 ∴所求椭圆方程为
y l P A F1 F2 N M x

(2)设椭圆的右准线 l ? 与 l 交于点 P,作 AM⊥ l ? ,AN⊥ l ? ,垂 足 分别为 M、N. 由椭圆第二定义,
O B

- 10 -

| AF2 | ? e ?| AF2 |? e | AM | 得 | AM |

同理|BF2|=e|BN|
| PA |? 1 2 | AB |? 2 | F 2 A |? 2e | AM |

由 Rt△PAM~Rt△PBN,得
? cos ?PAM ?

?9 分

| AM | 1 ? ? | PA | 2e

1 2? 3 2

?

3 ?l 3

的斜率 k ? tan ?PAM ? 2 .
即 2x ? y ? 6 ? 0

∴直线 l 的方程 y ? 2 ( x ? 3 )

已知点 B(-1,0) ,C(1,0) ,P 是平面上一动点,且满足 | PC | ? | BC |? PB ? CB. (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE,且 AD⊥AE,判断:直 线 DE 是否过定点?试证明你的结论. (3)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD,AE,且 AD,AE 的斜率 k1、 k2 满足 k1·k2=2.求证:直线 DE 过定点,并求出这个定点. 解: (1)设
P( x, y )代入 | PC | ? | BC |? PB ? CB得 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ? x, 化简得y 2 ? 4 x.

(2)将A(m,2)代入y 2 ? 4 x得m ? 1,? 点A的坐标为(1,2). 设直线AD的方程为y ? 2 ? k ( x ? 1)代入y 2 ? 4 x, 得y 2 ? 由y1 ? 2可得y 2 ? 4 8 y ? ? 4 ? 0, k k

4 4 4 ? 2,? D( 2 ? 1, ? 2). k k k 1 同理可设直线AE : y ? 2 ? ? ( x ? 1), 代入y 2 ? 4 x得E (4k 2 ? 1,?4k ? 2). k 4 ? 4k 则直线DE方程为 : y ? 4k ? 2 ? k ( x ? 4k 2 ? 1), 化简得 4 k 2 ? 4k k 2 ( y ? 2) ? k ( x ? 5) ? ( y ? 2) ? 0, 即y ? 2 ? ? k k ?1
2

( x ? 5), 过定点(5,?2).

(3)将A(m,2)代入y 2 ? 4 x得m ? 1, 设直线DE的方程为y ? kx ? b, D( x1, y1 ), E ( x1, y1 ) ? ? y ? kx ? b 由? 2 得k 2 x 2 ? 2(kb ? 2) x ? b 2 ? 0, ? ? y ? 4x y ? 2 y2 ? 2 ? k AD ? k AE ? 2,? 1 ? ? 2( x1, x2 ? 1), x1 ? 1 x2 ? 1

- 11 -

且y1 ? kx1 ? b, y 2 ? kx 2 ? b ? (k 2 ? 2) x1 x 2 ? (kb ? 2k ? 2)( x1 ? x 2 ) ? (b ? 2) 2 ? 2 ? 0, 将x1 ? x 2 ? ? 2(kb ? 2) k
2

, x1 x 2 ?

b2 k
2

代入化简得b 2 ? (k ? 2) 2 ,? b ? ?(k ? 2).

? b ? ?(k ? 2). 将b ? k ? 2代入y ? kx ? b得y ? kx ? k ? 2 ? k ( x ? 1) ? 2, 过定点(?1,?2). 将b ? 2 ? k代入y ? kx ? b得y ? kx ? 2 ? k ? k ( x ? 1) ? 2, 过定点(1,2), 不合, 舍去, ? 定点为(?1,?2)
x2 ? y2 b
2

已知曲线 a

2

? 1(a ? 0, b ? 0)的离心率e ?

2 3 3 ,直线 l 过 A(a,0) 、

3 . B(0,-b)两点,原点 O 到 l 的距离是 2

(Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)过点 B 作直线 m 交双曲线于 M、N 两点,若 OM ? ON ? ?23 ,求直线 m 的方程.
x y ? ? 1, 即bx ? ay ? ab ? 0, a ?b 由原点 O 到 l 的距离
e? c 2 3 ? a 3

解: (Ⅰ)依题意,
3 2 为 ,得

l方程

ab a ?b
2 2

?

ab 3 ? c 2



? b ? 1, a ? 3

x2 ? y2 ? 1 故所求双曲线方程为 3
(Ⅱ)显然直线 m 不与 x 轴垂直,设 m 方程为 y=kx-1,则点 M、N 坐标( x1 , y1 ) 、
? y ? kx ? 1 ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?3

( x 2 , y 2 )是方程组

的解 ①
6k 6

2 2 消去 y,得 (1 ? 3k ) x ? 6kx ? 6 ? 0

2 x1 ? x 2 ? 2 , x1 x 2 ? 2 3k ? 1 3k ? 1 依设, 1 ? 3k ? 0, 由根与系数关系,知

OM ? ON ? ( x1 , y1 ) ? ( x 2 , y 2 ) ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? (kx1 ? 1)(kx 2 ? 1)
6(1 ? k 2 ) 6k 2 ? 2 ?1 2 = (1 ? k ) x1 x 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 1 = 3k ? 1 3k ? 1
2

6

= 3k ? 1
2

?1

6
? OM ? ON ? ?23

∴ 3k ? 1
2

?1

1 =-23,k=± 2

- 12 -

1 当 k=± 2 时,方程①有两个不等的实数根
故直线 l 方程为
y? 1 1 x ? 1, 或y ? ? x ? 1 2 2
cos ?F1 PF2 的最

x2 y2 ? ?1 3 已知动点 P 与双曲线 2 的两个焦点 F 1 、F2 的距离之和为定值, 且
? 1 9.

小值为

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若已知 D(0,3) , M 、 N 在动点 P 的轨迹上且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值范围.
a 2 ? a 2 ? (2c) 2 ?? 1 9

解: (1)由已知可得: c ? 5 ,
2 ∴ a ?9

2a

2

,

b2 ? a2 ? c2 ? 4
x2 y2 ? ?1 9 4 .

∴ 所求的椭圆方程为

(2)方法一: 由题知点 D、M、N 共线,设为直线 m,当直线 m 的斜率存在时,设为 k,则直线 m 的方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 ①
5 k2 ? 2 2 ? ? ( 54 k ) ? 4 ? ( 4 ? 9 k ) ? 45 ? 0 9 由判别式 ,得 .

再设 M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2),则一方面有
DM ? ( x1 , y1 ? 3) ? ? DN ? ? ( x 2 , y 2 ? 3) ? (?x 2 , ? ( y 2 ? 3))

,得

? x1 ? ?x 2 ? ? y1 ? 3 ? ? ( y 2 ? 3)
x1 ? x 2 ? ? 54k 4 ? 9k 2 , x1 x 2 ? 45 4 ? 9k 2

另一方面有



将 x1 ? ?x 2 代入②式并消去 x 2 可得
324? 5(1 ? ? )
2

?

4 k
2

?9

0?

4 k
2

?

,由前面知,
? 81 5

36 5

9?

324? 5(1 ? ? ) 2



,解得

1 ?? ?5 5 .

- 13 -

又当直线 m 的斜率不存在时,不难验证:
1 ?? ?5 所以 5 为所求。

? ? 或? ? 5

1 5

,

方法二:同上得
? x1 ? ?x 2 ? ? y1 ? 3 ? ? ( y 2 ? 3)

设点 M (3cosα ,2sinα ),N (3cosβ ,2sinβ )
?cos ? ? ? cos ? ? ?2 sin ? ? 3 ? ? (2 sin ? ? 3)

则有

由上式消去α 并整理得
sin ? ? 13?2 ? 18? ? 5 12(?2 ? ? )

,

由于 ?1 ? sin ? ? 1
?1

?1 ?

13?2 ? 18? ? 5 12(?2 ? ? )



1 ?? ?5 , 解得 5 为所求.
1 ?? ?5

方法三:设法求出椭圆上的点到点 D 的距离的最大值为 5,最小值为 1. 进而推得 ? 的取值范围为 5 。

【求圆锥曲线的方程练习】 一、选择题 1.已知直线 x+2y-3=0 与圆 x2+y2+x-6y+m=0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 OP⊥OQ, 则 m 等于( ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 2.中心在原点,焦点在坐标为(0,±5 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点的横坐

1 标为 2 ,则椭圆方程为(
A. C. 2x 2 2 y 2 ? ?1 25 75 x2 y2 ? ?1 25 75

)
B. 2x 2 2 y 2 ? ?1 75 25 x2 y2 ? ?1 75 25

D.

二、填空题 3.直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x2-4y2=3 的焦点作椭 圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________. 4.已知圆过点 P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,则该圆的方 程为_________. 三、解答题 5.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点为 F,M 是椭圆上的任意点,

- 14 -

|MF|的最大值和最小值的几何平均数为 2,椭圆上存在着以 y=x 为轴的对称点 M1 和 M2,且
4 10 |M1M2|= 3 ,试求椭圆的方程.

6.某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱高 4 米,在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑,求其中最 长的支柱的长.

20 7.已知圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2= 3 ,椭圆 C2 的方程为
x2 a
2

?

2 b =1(a>b>0), C2 的离心率为 2 , 如果 C1 与 C2 相交于 A、
2

y2

B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程. 参考答案 一、1.解析:将直线方程变为 x=3-2y,代入圆的方程 x2+y2+x-6y+m=0, 得(3-2y)2+y2+(3-2y)+m=0. 整理得 5y2-20y+12+m=0,设 P(x1,y1)、Q(x2,y2) 12 ? m 则 y1y2= 5 ,y1+y2=4. 又∵P、Q 在直线 x=3-2y 上, ∴x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=4y1y2-6(y1+y2)+9 故 y1y2+x1x2=5y1y2-6(y1+y2)+9=m-3=0,故 m=3. 答案:A
y2
2

2.解析:由题意,可设椭圆方程为: a
y2 ? x2 b 2 =1.

?

x2 b 2 =1,且 a2=50+b2,

即方程为 50 ? b

2

将直线 3x-y-2=0 代入,整理成关于 x 的二次方程. 由 x1+x2=1 可求得 b2=25,a2=75. 答案:C 二、3.解析:所求椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|. 欲使 2a 最小,只需在直线 l 上找一点 P.使|PF1|+|PF2|最小,利用对称性可解.?
x2 y2 ? 4 =1 答案: 5

4.解析:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2

- 15 -

?(4 ? a ) 2 ? (?2 ? b) 2 ? r 2 ? ? 2 2 2 ?(?1 ? a ) ? (3 ? b) ? r ? 2 2 2 ?| a | ?(2 3 ) ? r 则有 ?

?a ? 1 ?a ? 5 ? ? ? ?b ? 0 或?b ? 4 ? 2 ? 2 ?r ? 13 ?r ? 27

由此可写所求圆的方程. 答案:x2+y2-2x-12=0 或 x2+y2-10x-8y+4=0 三、5.解:|MF|max=a+c,|MF|min=a-c,则(a+c)(a-c)=a2-c2=b2,
x2 ? y2 ?1 4

∴b2=4,设椭圆方程为 a

2

① ② ③

设过 M1 和 M2 的直线方程为 y=-x+m 将②代入①得:(4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0 设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2 的中点为(x0,y0),
a2m 4m 1 2 2 则 x0= 2 (x1+x2)= 4 ? a ,y0=-x0+m= 4 ? a . a2m
2 代入 y=x,得 4 ? a

?

4m 4 ? a2 , 4a 2

由于 a2>4,∴m=0,∴由③知 x1+x2=0,x1x2=- 4 ? a ,
2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 4 10 3 ,

2

又|M1M2|=

x2 y2 ? 4 =1. 代入 x1+x2,x1x2 可解 a2=5,故所求椭圆方程为: 5

6.解:以拱顶为原点,水平线为 x 轴,建立坐标系, 如图,由题意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B 坐标分别为(-10,-4) 、(10,-4) 设抛物线方程为 x2=-2py,将 A 点坐标代入,得 100=-2p×(-4),解得 p=12.5, 于是抛物线方程为 x2=-25y.

由题意知 E 点坐标为(2,-4),E′点横坐标也为 2,将 2 代入得 y=-0.16,从而|EE′|= (-0.16)-(-4)=3.84.故最长支柱长应为 3.84 米.

- 16 -

y2 x2 2 ? 2 b 2 =1, 7.解:由 e= 2 ,可设椭圆方程为 2b

又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2,
x1 2 ? y1 2 b2 ? 1, x2 2 2b 2 ? y2 2 b 2 =1,两式相减,得
x1 2 ? x 2 2 2b 2 ? y1 2 ? y 2 2 b2

又 2b

2

=0,

即(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.

y1 ? y 2 x ? x2 =-1,故直线 AB 的方程为 y=-x+3, 化简得 1
代入椭圆方程得 3x2-12x+18-2b2=0.
2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 20 3 ,

有 Δ =24b2-72>0,又|AB|=
2?



24b 2 ? 72 20 ? 9 3 ,解得 b2=8.

x2 y2 ? 8 =1. 故所求椭圆方程为 16

直线与圆锥曲线 【复习要点】 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系 的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函 数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高, 起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能. 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程 是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 2.当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用 弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中 点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转 化,往往就能事半功倍. 【例题】 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q,且 OP⊥OQ,
10 |PQ|= 2 ,求椭圆方程.

解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)
? ?y ? x ? 1 ? 2 2 ? ?mx ? ny ? 1



得(m+n)x2+2nx+n-1=0,

Δ =4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0,
- 17 -

由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,
2(n ? 1) 2n ? ∴ m ? n m ? n +1=0,∴m+n=2



4(m ? n ? mn) 10 ?( ) m?n 2 2, 又2

3 将 m+n=2,代入得 m·n= 4



3 1 3 1 2 2 2 由①、②式得 m= ,n= 或 m= ,n= 2
3 1 x2 3 故椭圆方程为 2 + 2 y2=1 或 2 x2+ 2 y2=1.

? 如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为 4 的直线 l 与线段 OA
相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最 大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积. 解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0.
? ?y ? x ? m ? 2 ? ? y ? 4x

由方程组

,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0?????①

∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式 Δ =(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2, ∴|MN|=4

2(1 ? m )

.

5? m
点 A 到直线 l 的距离为 d=

2 .

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2
2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3 =2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2( )3=128.

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 . 已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2)。(1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜率取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两个交点,没有交点。(2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为中点的弦是否存 在.

- 18 -

解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1, 与曲线 C 有一个交点. 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 代入 C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0??????(*) (ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交 点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ =[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) 3 ①当 Δ =0,即 3-2k=0,k= 2 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点.
3 3 2 2 2 2 2 2 ②当 Δ >0,即 k< ,又 k≠± ,故当 k<- 或- <k< 或 <k< 2 时,方程

(*)有两不等实根,l 与 C 有两个交点. 3 ③当 Δ <0,即 k> 2 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点.
3 综上知:当 k=± 2 ,或 k= 2 ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 3 当 2 <k< 2 ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 3 当 k> 2 时,l 与 C 没有交点.

(2)假设以 Q 为中点的弦存在, 设为 AB, 且 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 2x12-y12=2,2x22-y22=2 两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1
y1 ? y 2 x1 ? x 2

即 kAB=

=2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为中点的弦 不存在. 如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一 个交点为 B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:|F2A|、 |F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程; y (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m, 求 m 的取值范围. A B 解: (1)由椭圆定义及条件知, 2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,
C
2 2 又 c=4,所以 b= a ? c =3.

F1

o

F2 B'

x

- 19 -

x2 y2 ? 故椭圆方程为 25 9 =1.

9 4 25 (2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= 5 .因为椭圆右准线方程为 x= 4 ,离心率为 5 ,根
4 25 4 25 5 5 4 据椭圆定义,有|F2A|= ( -x1),|F2C|= ( 4 -x2),

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得 4 25 4 25 9 5 ( 4 -x1)+ 5 ( 4 -x2)=2× 5 ,由此得出:x1+x2=8.
x1 ? x 2 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0= 2 =4.

(3)解法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.
2 2 ? ?9 x1 ? 25 y1 ? 9 ? 25 ? 2 ?9 x ? 25 y 2 2 ? 9 ? 25 得? 2

① ②

①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0,
( x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 ) ? 25( 1 )?( 1 ) 2 2 x1 ? x 2

即 9×

=0(x1≠x2)
1 (k≠0)代入上式,得 9×4+25y0(- k )=0



x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 1 ? x 0 ? 4, 1 ? y0 , 1 ?? 2 2 x1 ? x 2 k

(k≠0)

25 即 k= 36 y0(当 k=0 时也成立).
由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m,

16 25 所以 m=y0-4k=y0- 9 y0=- 9 y0.
由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部, 9 9 16 16 5 5 5 得- <y0< ,所以- <m< 5 . 解法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 1 y-y0=- k (x-4)(k≠0)
x2 y2 ? 将③代入椭圆方程 25 9 =1,得



(9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0
25 所以 x1+x2= 9k ? 25 =8,解得 k= 36 y0.(当 k=0 时也成立)
2

50(k 0 ? 4)

- 20 -

(以下同解法一).

P ? ?4, 0 ? 已知双曲线 G 的中心在原点,它的渐近线与圆 x ? y ? 10 x ? 20 ? 0 相切.过点 作
2 2

1 斜率为 4 的直线 l ,使得 l 和 G 交于 A, B 两点,和 y 轴交于点 C ,并且点 P 在线段 AB 上,
又满足

PA ? PB ? PC

2



(1)求双曲线 G 的渐近线的方程; (2)求双曲线 G 的方程; (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴.如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中点的轨迹 恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程. 解: (1)设双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? kx ,

5k
2 则由渐近线与圆 x ? y ? 10 x ? 20 ? 0 相切可得: k ? 1
2 2

? 5


k??
所以,

1 2.

1 y?? x 2 . 双曲线 G 的渐近线的方程为:
(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为: x ? 4 y ? m .
2 2

把直线 l 的方程

y?

1 ? x ? 4? 2 4 代入双曲线方程,整理得 3 x ? 8 x ? 16 ? 4m ? 0 . 16 ? 4m 3

8 x A ? xB ? , 3 则
∵ ∴

x A xB ? ?
2

(*)

PA ? PB ? PC

, P, A, B, C 共线且 P 在线段 AB 上,
2

? xP ? xA ?? xB ? xP ? ? ? xP ? xC ?



即:

? xB ? 4 ?? ?4 ? xA ? ? 16 ,整理得: 4 ? xA ? xB ? ? xA xB ? 32 ? 0

将(*)代入上式可解得: m ? 28 .

- 21 -

x2 y 2 ? ?1 7 所以,双曲线的方程为 28 . x2 y 2 ? 2 ?1 a ? 2 7 (3)由题可设椭圆 S 的方程为: 28 a .下面我们来求出 S 中垂直于 l 的平
行弦中点的轨迹. 设弦的两个端点分别为

?

?

M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ?

, MN 的中点为

P ? x0 , y0 ?

,则

? x12 y12 ? ?1 ? ? 28 a 2 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? 28 a 2 .

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ?
两式作差得:

28

?

a2

?0

y1 ? y2 ? ?4 x ? x2 ? 2 x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 x ? x 1 2 由于 , 1

x0 4 y0 ? 2 ?0 a 所以, 28 ,
x 4y ? 2 ?0 所以,垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线 28 a 截在椭圆 S 内的部分.

a2 1 ? 2 又由题,这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,所以, 112 2 .所以, a ? 56 , x2 y 2 ? ?1 椭圆 S 的方程为: 28 56 .
点评:解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上(也即化线段的关系为横坐标 (或纵坐标)之间的关系)是常用的简化问题的手段;有关弦中点的问题,常常用到“设而 不求”的方法;判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具) .

设抛物线过定点

A ? ?1, 0 ?

,且以直线 x ? 1 为准线.

(1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程;

(2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 恰被直线 的垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,试求 m 的取值范围.

x??

1 2 平分,设弦 MN

- 22 -

解: (1)设抛物线的顶点为

G ? x, y ?


,则其焦点为

F ? 2 x ? 1, y ?

.由抛物线的定义可知:

AF ? 点A到直线x ? 1的距离=2
所以,

4 x2 ? y 2 ? 2 .
2

y2 x ? ? 1 ? x ? 1? 4 所以,抛物线顶点 G 的轨迹 C 的方程为: . (2)因为 m 是弦 MN 的垂直平分线与 y 轴交点的纵坐标,由 MN 所唯一确定.所以,要求

m 的取值范围,还应该从直线 l 与轨迹 C 相交入手.
l:y?? 1 x?b k ,代入椭圆方程

显然,直线 l 与坐标轴不可能平行,所以,设直线 l 的方程为 得:

? 4k 2 ? 1 ? 2 2bx ? b2 ? 4 ? 0 ? ?x ? 2 k ? k ? ?? ? 4k 2 ? 1 ? 2 4b 2 ? 4 ? ? ?b ? 4? ? 0 2 k2 ? k ? ,即:

由于 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,所以,

4k 2 ? k 2 b 2 ? 1 ? 0

? k ? 0? . (*)
x??

又线段 MN 恰被直线

2bk ? 1? 1 xM ? xN ? 2 ? 2??? ? 4k ? 1 ? 2?. 2 平分,所以,

bk ?
所以,

4k 2 ? 1 ?2 .
? 3 3 ?k? 2 2

代入(*)可解得:

? k ? 0?



下面,只需找到 m 与 k 的关系,即可求出 m 的取值范围.由于 y ? kx ? m 为弦 MN 的垂直平

? 1 ? P ? ? , y0 ? ?. 分线,故可考虑弦 MN 的中点 ? 2
l:y??


1 1 4k 2 ? 1 1 1 y0 ? ?b ? ? ? ?2 k x?b x?? 2k 2k 2k k 2 ,可解得: 中,令 .

? 1 ? 3k P ? ? , ?2k ? m?? ? 代入 y ? kx ? m ,可得: 2 . 将点 ? 2

- 23 -

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 4 4 所以, . 从以上解题过程来看,求 m 的取值范围,主要有两个关键步骤:一是寻求 m 与其它参数之间 ?
的关系,二是构造一个有关参量的不等式.从这两点出发,我们可以得到下面的另一种解法:

? 1 ? P ? ? , y0 ? ? ,则由点 M , N 为椭圆上的点,可知: 解法二.设弦 MN 的中点为 ? 2

?4 xM 2 ? yM 2 ? 4 ? ? 2 2 ? ? 4 xN ? y N ? 4
两式相减得:



4 ? xM ? xN ?? xM ? xN ? ? ? yM ? y N ?? yM ? y N ? ? 0
y M ? y N ? 2 y0 , yM ? y N 1 =? xM ? xN k ,代入上式得:

? 1? xM ? xN ? 2 ? ? ? ? ? ?1, ? 2? 又由于

k??

y0 2 .

B

? 1 ? P ? ? , y0 ? ? 在弦 MN 的垂直平分线上,所以, 又点 ? 2
1 y0 ? ? k ? m 2 . m ? y0 ? 1 3 k ? y0 2 4 .
P M



所以,

B'

? 1 ? P ? ? , y0 ? ? 在 线 段 BB’ 上 ( B’ 、 B 为 直 线 由点 ? 2
x?? 1 y ? y0 ? yB . 2 与椭圆的交点,如图) ,所以, B '

也即:

? 3 ? y0 ? 3 .
?

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 4 4 所以,
点评:解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时,对于消元后的一元二次方程,必须讨论二次 项系数和判别式,有时借助图形的几何性质更为方便. 涉及弦中点问题,利用韦达定理或运用平方差法时(设而不求) ,必须以直线与圆锥曲线相交 为前提,否则不宜用此法. 从构造不等式的角度来说, “将直线 l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于 0”与“弦 MN 的
- 24 -

? 1 ? P ? ? , y0 ? ? 在椭圆内”是等价的. 中点 ? 2
2 设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,经过点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点.又 M 是其准

线上一点.试证:直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 证明 依题意直线 MA、MB、MF 的斜率显然存在,并分别设为 k1 , k 2 ,
? 点 A、B、M 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,M( 2 ,m) p 由“AB 过点 F( 2 ,0) ”得 p

k3

l AB : x ? ty ? 2

p

2 2 2 将上式代入抛物线 y ? 2 px 中得: y ? 2 pty ? p ? 0

可知

y1 y 2 ? ? p 2

?

2 2 又依“ y1 ? 2 px1 及 y 2 ? 2 px 2 ”可知

x1 ?

2 p y1 p 1 ? ? ? ( y1 2 ? p 2 ) 2 2p 2 2p

x2 ?

2 p y2 p p4 p p ? ? ? ? ? ( y1 2 ? p 2 ) 2 2 2 p 2 2 py1 2 2 y1 2

k1 ? k 2 ?

因此

y1 ? m y 2 ? m ? p p x1 ? x2 ? 2 2

?

2 p ( y1 ? m) p( y1 2 ? p 2 )
k3 ?

2

2 y1 2 (? ?

p2 ? m) y1

p( y1 2 ? p 2 )

??

2m p

而 故

0?m m ?? p p p ? (? ) 2 2

k1 ? k 2 ? 2k3

即直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 已知 a =(x,0), b =(1,y) (a ? 3 b)?(a ? 3 b) (1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l :y=kx+m(km≠0)与曲线 C 交于 A、B 两端,D(0,-1),且有|AD|=|BD|,试求 m 的 取值范围。

- 25 -

解: (1) a ? 3 b ? ( x,0) ? 3 (1, y ) ? ( x ? 3 , 3 y )

a ? 3 b ? ( x,0) ? 3 (1, y ) ? ( x ? 3 ,? 3 y )
∵ ( a ? 3 b) ?( a ? 3 b) ∴ (a ? 3 b) ? (a ? 3 b) =0

∴ ( x ? 3 )( x ? 3 ) ? 3 y ? (? 3 y ) ? 0

x2 ? y2 ?1 得 3

x2 ? y2 ?1 3 ∴P 点的轨迹方程为

? y ? kx ? m ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 3 ? (2)考虑方程组
显然 1-3k2≠0

消去 y,得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0(*)

△=(6km)2-4(-3m2-3)=12(m2+1)-3k2>0

设 x1,x2 为方程*的两根,则

x1 ? x 2 ?

6km 1 ? 3k 2 m 1 ? 3k 2

? x0 ?

x1 ? x 2 3km ? 2 1 ? 3k 2

y 0 ? kx 0 ? m ?

3km m 2 2 故 AB 中点 M 的坐标为( 1 ? 3k , 1 ? 3k ) y?
∴线段 AB 的垂直平分线方程为:

m 1 3km ? (? )( x ? ) 2 k 1 ? 3k 1 ? 3k 2

将 D(0,-1)坐标代入,化简得:4m=3k2-1
2 2 ? ?m ? 1 ? 3k ? 0 ? ?4m ? 3k 2 ? 1 故 m、k 满足 ? ,消去 k2 得:m2-4m>0

解得:m<0 或 m>4

又∵4m=3k2-1>-1

1 ∴m>- 4

1 ? (? ,0) ? (4,??) 4 故m .

【直线与圆锥曲线练习】 一、选择题

- 26 -

x2 1.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 4 +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( 4 5 B. 5
4 10 C. 5

)

A.2

8 10 D. 5

2.抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,x2,直线 与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( ) A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 二、填空题 5 5 3.已知两点 M(1, 4 )、N(-4,- 4 ),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0,

x2 x2 ②x2+y2=3,③ 2 +y2=1,④ 2 - y2=1,在曲线上存在点 P 满足 |MP|=|NP|的所有曲线方程是
_________. 4.正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的面积 为_________. 5.在抛物线 y2=16x 内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 三、解答题 6.已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B,且|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围. (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N, y A 求△NAB 面积的最大值.
21 7.已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e= 3 的双

曲线过点 P(6,6). o (1)求双曲线方程. (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、 N,问:是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论. 8.已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点,且都以点 A( 2 ,0)为

N F B x

圆心,1 为半径的圆相切,双曲线的一个顶点 A1 与 A 点关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程. (2)设直线 l 过点 A,斜率为 k,当 0<k<1 时,双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的 距离为 2 ,试求 k 的值及此时 B 点的坐标. 直线与圆锥曲线参考答案
2?

一、1.解析:弦长|AB|=

4 10 4? 5 ? t2 5 ≤ 5 .
- 27 -

答案:C
? ? y ? ax 2 ? ? ? y ? kx ? b

2.解析: 解方程组

k b b ,得 ax2-kx-b=0,可知 x1+x2= a ,x1x2=- a ,x3=- k ,代入验证

即可. 答案:B 二、3.解析:点 P 在线段 MN 的垂直平分线上,判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交 点. 答案:②③④ 4.解析:设 C、D 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长,利用|CD| 的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离,求出 b 的值,再代入求出|CD|的长. 答案:18 或 50 5.解析:设所求直线与 y2=16x 相交于点 A、B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2).
y1 ? y 2 16 ? ? x1 ? x 2 y1 ? y 2



kAB=8.

故所求直线方程为 y=8x-15. 答案:8x-y-15=0 三、 6.解: (1)设直线 l 的方程为: y=x-a,代入抛物线方程得(x-a)2=2px,即 x2-2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|=
2 ? 4(a ? p ) 2 ? 4a 2

≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2

p 又∵p>0,∴a≤- 4 .

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p,
x1 ? x 2 y ? y 2 x1 ? x 2 ? 2a ? a ? p, y ? 1 ? 2 2 2 则有 x= =p.

∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p),从而 N 点坐标为(a+2p,0)?
| a ? 2p ? a | ? 2p

点 N 到 AB 的距离为

2

1 ? 2 ? 4(a ? p ) 2 ? 4a 2 ? 2 p ? 2 p 2ap ? p 2 从而 S△NAB= 2
p 4 当 a 有最大值- 时,S 有最大值为 2 p2.

x2 y2 62 62 a 2 ? b 2 21 2 ? 2 ? ? 1 , e ? ? 2 3 , 解得 b =1. 由已知得 a 2 b 2 a2 7. 解: (1) 如图,设双曲线方程为 a
a2=9,b2=12.

- 28 -

x2 y2 ? 所以所求双曲线方程为 9 12 =1.

(2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0) , ∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2).则有
?12 x1 2 ? 9 y1 2 ? 108 ? y ? y 2 12 4 ?12 x 2 2 ? 9 y 2 2 ? 108 ? 1 ? ? ? x1 ? x 2 9 3 ? x1 ? x 2 ? 4 4 ?y ? y ? 4 2 ? 1 ,∴kl= 3

4 ∴l 的方程为 y= 3 (x-2)+2,
?12 x 2 ? 9 y 2 ? 108 ? ? 4 ? y ? ( x ? 2) 3 由? ,消去 y,整理得 x2-4x+28=0.

∵Δ =16-4×28<0,∴所求直线 l 不存在.
| 2k |
2 8.解:(1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d= k ? 1 =1,解得 k=±1.

即渐近线为 y=±x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0, 2 ). ∴a= 2 =b,所求双曲线 C 的方程为 x2-y2=2. (2)设直线 l:y=k(x- 2 )(0<k<1 ) ,依题意 B 点在平行的直线 l′上,且 l 与 l′间的距离 为 2.
| 2k ? m | ? 2

设直线 l′:y=kx+m,应有

k2 ?1

,化简得 m2+2 2 km=2.



把 l′代入双曲线方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0, 由 Δ =4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0. 可得 m2+2k2=2 ③
?mk 2 10 2 5 ?2 2 2 ②、 ③两式相减得 k= 2 m,代入③得 m2= 5 ,解设 m= 5 ,k= 5 ,此时 x= k ? 1 ,y= 10 .

- 29 -

故 B(2 2 , 10 ). 直线与圆锥曲线 【复习要点】 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系 的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函 数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高, 起到了拉开考生“档次” ,有利于选拔的功能. 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程 是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 2.当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用 弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中 点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转 化,往往就能事半功倍. 【例题】 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q,且 OP⊥OQ,
10 |PQ|= 2 ,求椭圆方程.

解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)
? ?y ? x ? 1 ? 2 2 ? ?mx ? ny ? 1



得(m+n)x2+2nx+n-1=0,

Δ =4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0, 由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,
2(n ? 1) 2n ? m ? n m ? n +1=0,∴m+n=2 ∴



4(m ? n ? mn) 10 ?( ) m ? n 2 2, 又2

3 将 m+n=2,代入得 m·n= 4



3 1 3 1 由①、②式得 m= 2 ,n= 2 或 m= 2 ,n= 2
3 1 x2 3 故椭圆方程为 2 + 2 y2=1 或 2 x2+ 2 y2=1.

? 如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为 4 的直线 l 与线段 OA
相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最

- 30 -

大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积. 解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0.
? ?y ? x ? m ? 2 ? ? y ? 4x

由方程组

,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0?????①

∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ =(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2, ∴|MN|=4

2(1 ? m )

.

5? m
点 A 到直线 l 的距离为 d=

2 .

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2
2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3 =2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2( )3=128.

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 . 已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2)。(1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜率取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两个交点,没有交点。(2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为中点的弦是否存 在. 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1, 与曲线 C 有一个交点. 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 代入 C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0??????(*) (ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交 点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ =[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) 3 ①当Δ =0,即 3-2k=0,k= 2 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点.
3 3 ②当Δ >0,即 k< 2 ,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k< 2 时, 方程(*)

有两不等实根,l 与 C 有两个交点. 3 ③当Δ <0,即 k> 2 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点.

- 31 -

3 综上知:当 k=± 2 ,或 k= 2 ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 3 2 当 <k< 2 ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 3 当 k> 2 时,l 与 C 没有交点.

(2)假设以 Q 为中点的弦存在, 设为 AB, 且 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 2x12-y12=2,2x22-y22=2 两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1
y1 ? y 2 x1 ? x 2

即 kAB=

=2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为中点的弦 不存在. 如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一 个交点为 B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:|F2A|、 |F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程; y (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m, 求 m 的取值范围. A B 解: (1)由椭圆定义及条件知, 2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,
C
2 2 又 c=4,所以 b= a ? c =3.

F1

o

F2 B'

x

y x ? 故椭圆方程为 25 9 =1.

2

2

9 4 25 5 5 4 (2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 ,根
4 25 4 25 据椭圆定义,有|F2A|= 5 ( 4 -x1),|F2C|= 5 ( 4 -x2),

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得 4 25 4 25 9 5 ( 4 -x1)+ 5 ( 4 -x2)=2× 5 ,由此得出:x1+x2=8.
x1 ? x 2 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0= 2 =4.

(3)解法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.
2 2 ? ?9 x1 ? 25 y1 ? 9 ? 25 ? 2 ?9 x ? 25 y 2 2 ? 9 ? 25 得? 2

① ②

①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0,

- 32 -

(

即 9×

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 ) ? 25( 1 )?( 1 ) 2 2 x1 ? x 2

=0(x1≠x2)
1 (k≠0)代入上式,得 9×4+25y0(- k )=0



x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 1 ? x 0 ? 4, 1 ? y0 , 1 ?? 2 2 x1 ? x 2 k

(k≠0)

25 即 k= 36 y0(当 k=0 时也成立).
由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m,

16 25 所以 m=y0-4k=y0- 9 y0=- 9 y0.
由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部, 9 9 16 16 5 5 5 得- <y0< ,所以- <m< 5 . 解法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 1 y-y0=- k (x-4)(k≠0)
x2 y2 ? 将③代入椭圆方程 25 9 =1,得



(9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0
25 所以 x1+x2= 9k ? 25 =8,解得 k= 36 y0.(当 k=0 时也成立)
2

50(k 0 ? 4)

(以下同解法一).

P ? ?4, 0 ? 已知双曲线 G 的中心在原点,它的渐近线与圆 x ? y ? 10 x ? 20 ? 0 相切.过点 作
2 2

1 斜率为 4 的直线 l ,使得 l 和 G 交于 A, B 两点,和 y 轴交于点 C ,并且点 P 在线段 AB 上,
又满足

PA ? PB ? PC

2



(1)求双曲线 G 的渐近线的方程; (2)求双曲线 G 的方程; (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴.如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中点的轨迹 恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程. 解: (1)设双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? kx ,
- 33 -

5k
2 2 2 则由渐近线与圆 x ? y ? 10 x ? 20 ? 0 相切可得: k ? 1

? 5


k??
所以,

1 2.

1 y?? x 2 . 双曲线 G 的渐近线的方程为:
(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为: x ? 4 y ? m .
2 2

把直线 l 的方程

y?

1 ? x ? 4? 2 4 代入双曲线方程,整理得 3 x ? 8 x ? 16 ? 4m ? 0 . 16 ? 4m 3

8 x A ? xB ? , 3 则
∵ ∴

x A xB ? ?
2

(*)

PA ? PB ? PC

, P, A, B, C 共线且 P 在线段 AB 上,
2

? xP ? xA ?? xB ? xP ? ? ? xP ? xC ?



即:

? xB ? 4 ?? ?4 ? xA ? ? 16 ,整理得: 4 ? xA ? xB ? ? xA xB ? 32 ? 0

将(*)代入上式可解得: m ? 28 .

x2 y 2 ? ?1 7 所以,双曲线的方程为 28 . x2 y 2 ? 2 ?1 a ? 2 7 (3)由题可设椭圆 S 的方程为: 28 a .下面我们来求出 S 中垂直于 l 的平
行弦中点的轨迹. 设弦的两个端点分别为

?

?

M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ?

, MN 的中点为

P ? x0 , y0 ?

,则

? x12 y12 ? ?1 ? ? 28 a 2 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? 28 a 2 .

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ?
两式作差得:

28

?

a2

?0

y1 ? y2 ? ?4 x ? x2 ? 2 x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 x ? x 2 由于 1 , 1
- 34 -

x0 4 y0 ? 2 ?0 a 所以, 28 ,
x 4y ? 2 ?0 所以,垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线 28 a 截在椭圆 S 内的部分.

a2 1 ? 2 又由题,这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,所以, 112 2 .所以, a ? 56 , x2 y 2 ? ?1 椭圆 S 的方程为: 28 56 .
点评:解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上(也即化线段的关系为横坐标 (或纵坐标)之间的关系)是常用的简化问题的手段;有关弦中点的问题,常常用到“设而 不求”的方法;判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具) .

设抛物线过定点

A ? ?1, 0 ?

,且以直线 x ? 1 为准线.

(1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程;

(2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 恰被直线 的垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,试求 m 的取值范围. 解: (1)设抛物线的顶点为

x??

1 2 平分,设弦 MN

G ? x, y ?


,则其焦点为

F ? 2 x ? 1, y ?

.由抛物线的定义可知:

AF ? 点A到直线x ? 1的距离=2
所以,

4 x2 ? y 2 ? 2 .

所以,抛物线顶点 G 的轨迹 C 的方程为:

x2 ?

y2 ?1 4

? x ? 1? .

(2)因为 m 是弦 MN 的垂直平分线与 y 轴交点的纵坐标,由 MN 所唯一确定.所以,要求

m 的取值范围,还应该从直线 l 与轨迹 C 相交入手.
l:y?? 1 x?b k ,代入椭圆方程

显然,直线 l 与坐标轴不可能平行,所以,设直线 l 的方程为 得:

? 4k 2 ? 1 ? 2 2bx ? b2 ? 4 ? 0 ? ?x ? 2 k k ? ?
- 35 -

? 4k 2 ? 1 ? 2 4b 2 ? ? 2 ? 4? ? ?b ? 4? ? 0 k k2 ? M , N ? l C 由于 与轨迹 交于不同的两点 ,所以, ,即:

4k 2 ? k 2 b 2 ? 1 ? 0

? k ? 0? . (*)
x??

又线段 MN 恰被直线

2bk ? 1? 1 xM ? xN ? 2 ? 2??? ? 4k ? 1 ? 2?. 2 平分,所以,

bk ?
所以,

4k 2 ? 1 ?2 .
? 3 3 ?k? 2 2

代入(*)可解得:

? k ? 0?



下面,只需找到 m 与 k 的关系,即可求出 m 的取值范围.由于 y ? kx ? m 为弦 MN 的垂直平

? 1 ? P ? ? , y0 ? ?. 分线,故可考虑弦 MN 的中点 ? 2
l:y??


1 1 4k 2 ? 1 1 1 y0 ? ?b ? ? ? ?2 k x?b x?? 2k 2k 2k k 2 ,可解得: 中,令 .

? 1 ? 3k P ? ? , ?2k ? m?? ? 代入 y ? kx ? m ,可得: 2 . 将点 ? 2 3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 4 4 所以, . 从以上解题过程来看,求 m 的取值范围,主要有两个关键步骤:一是寻求 m 与其它参数之间 ?
的关系,二是构造一个有关参量的不等式.从这两点出发,我们可以得到下面的另一种解法:

? 1 ? P ? ? , y0 ? ? ,则由点 M , N 为椭圆上的点,可知: 解法二.设弦 MN 的中点为 ? 2
2 2 ? ?4 xM ? yM ? 4 ? 2 2 ? ? 4 xN ? y N ? 4 .











: B

4 ? xM ? xN ?? xM ? xN ? ? ? yM ? y N ?? yM ? y N ? ? 0
又 由 于



? 1? xM ? xN ? 2 ? ? ? ? ? ?1, ? 2?

y M ? y N ? 2 y0 ,

yM ? y N 1 =? xM ? xN k




- 36 -

B'

k??
,代入上式得:

y0 2 .

? 1 ? 1 P ? ? , y0 ? y0 ? ? k ? m ? 在弦 MN 的垂直平分线上,所以, 2 又点 ? 2 .
m ? y0 ? 1 3 k ? y0 2 4 .

所以,

? 1 ? 1 P ? ? , y0 ? x?? ? 在线段 BB’上( B’、 B 为直线 2 与椭圆的交点,如图) 由点 ? 2 ,所以,

yB ' ? y0 ? yB .
也即:

? 3 ? y0 ? 3 .
?

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 4 4 所以,
点评:解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时,对于消元后的一元二次方程,必须讨论二次 项系数和判别式,有时借助图形的几何性质更为方便. 涉及弦中点问题,利用韦达定理或运用平方差法时(设而不求) ,必须以直线与圆锥曲线相交 为前提,否则不宜用此法. 从构造不等式的角度来说, “将直线 l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于 0”与“弦 MN 的

? 1 ? P ? ? , y0 ? ? 在椭圆内”是等价的. 中点 ? 2
2 设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,经过点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点.又 M 是其准

线上一点.试证:直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 证明 依题意直线 MA、MB、MF 的斜率显然存在,并分别设为 k1 , k 2 ,
? 点 A、B、M 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,M( 2 ,m) p 2 由“AB 过点 F( ,0) ”得 p

k3

l AB : x ? ty ? 2

p

2 2 2 将上式代入抛物线 y ? 2 px 中得: y ? 2 pty ? p ? 0

可知

y1 y 2 ? ? p 2

?

2 2 又依“ y1 ? 2 px1 及 y 2 ? 2 px 2 ”可知

- 37 -

x1 ?

2 p y1 p 1 ? ? ? ( y1 2 ? p 2 ) 2 2p 2 2p

x2 ?

2 p y2 p p4 p p ? ? ? ? ? ( y1 2 ? p 2 ) 2 2 2 p 2 2 py1 2 2 y1 2

k1 ? k 2 ?

因此

y1 ? m y 2 ? m ? p p x1 ? x2 ? 2 2

?

2 p ( y1 ? m) p( y1 2 ? p 2 )
k3 ?

2

2 y1 2 (? ?

p2 ? m) y1

p( y1 2 ? p 2 )

??

2m p

而 故

0?m m ?? p p p ? (? ) 2 2

k1 ? k 2 ? 2k3

即直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 已知 a =(x,0), b =(1,y) (a ? 3 b)?(a ? 3 b) (1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l :y=kx+m(km≠0)与曲线 C 交于 A、B 两端,D(0,-1),且有|AD|=|BD|,试求 m 的 取值范围。 解: (1) a ? 3 b ? ( x,0) ? 3 (1, y ) ? ( x ? 3 , 3 y )

a ? 3 b ? ( x,0) ? 3 (1, y ) ? ( x ? 3 ,? 3 y )
∵ ( a ? 3 b) ?( a ? 3 b) ∴ (a ? 3 b) ? (a ? 3 b) =0

∴ ( x ? 3 )( x ? 3 ) ? 3 y ? (? 3 y ) ? 0

x2 ? y2 ?1 3 得

x2 ? y2 ?1 3 ∴P 点的轨迹方程为

? y ? kx ? m ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 3 ? (2)考虑方程组
显然 1-3k2≠0

消去 y,得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0(*)

△=(6km)2-4(-3m2-3)=12(m2+1)-3k2>0

设 x1,x2 为方程*的两根,则

x1 ? x 2 ?

6km 1 ? 3k 2 m 1 ? 3k 2
- 38 -

? x0 ?

x1 ? x 2 3km ? 2 1 ? 3k 2

y 0 ? kx 0 ? m ?

3km m 2 2 故 AB 中点 M 的坐标为( 1 ? 3k , 1 ? 3k ) y?
∴线段 AB 的垂直平分线方程为:

m 1 3km ? (? )( x ? ) 2 k 1 ? 3k 1 ? 3k 2

将 D(0,-1)坐标代入,化简得:4m=3k2-1
2 2 ? ?m ? 1 ? 3k ? 0 ? 2 ? ?4m ? 3k ? 1

故 m、k 满足

,消去 k2 得:m2-4m>0

解得:m<0 或 m>4

又∵4m=3k2-1>-1

1 ∴m>- 4

1 ? (? ,0) ? (4,??) 4 故m .

【直线与圆锥曲线练习】 一、选择题
x2 1.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 4 +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( 4 5 B. 5
4 10 C. 5

)

A.2

8 10 D. 5

2.抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,x2,直线 与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( ) A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 二、填空题 5 5 3.已知两点 M(1, 4 )、N(-4,- 4 ),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0,

x2 x2 ②x2+y2=3,③ 2 +y2=1,④ 2 -y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲
线方程是_________. y 4.正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的面积为_________. 5.在抛物线 y2=16x 内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直 线的方程是_________. 三、解答题 o F 6.已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线
B

A

N x

- 39 -

l 与该抛物线交于不同的两点 A、B,且|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围. (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N, 求△NAB 面积的最大值.
21 7.已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e= 3 的双曲线过点 P(6,6).

(1)求双曲线方程. (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问:是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论. 8.已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点,且都以点 A( 2 ,0)为圆心,1 为半径的圆相切, 双曲线的一个顶点 A1 与 A 点关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程. (2)设直线 l 过点 A,斜率为 k,当 0<k<1 时,双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的 距离为 2 ,试求 k 的值及此时 B 点的坐标. 直线与圆锥曲线参考答案
2?

一、1.解析:弦长|AB|= 答案:C

4 10 4? 5 ? t2 5 ≤ 5 .

2.解析: 解方程组

? ? y ? ax 2 ? ? ? y ? kx ? b

k b b ,得 ax2-kx-b=0,可知 x1+x2= a ,x1x2=- a ,x3=- k ,代入验证

即可. 答案:B 二、3.解析:点 P 在线段 MN 的垂直平分线上,判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交 点. 答案:②③④ 4.解析:设 C、D 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长,利用|CD| 的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离,求出 b 的值,再代入求出|CD|的长. 答案:18 或 50 5.解析:设所求直线与 y2=16x 相交于点 A、B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2).
y1 ? y 2 16 ? ? x1 ? x 2 y1 ? y 2



kAB=8.

故所求直线方程为 y=8x-15. 答案:8x-y-15=0 三、 6.解: (1)设直线 l 的方程为: y=x-a,代入抛物线方程得(x-a)2=2px,即 x2-2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|=
2 ? 4(a ? p ) 2 ? 4a 2

≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2

- 40 -

p 又∵p>0,∴a≤- 4 .

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p,
x1 ? x 2 y ? y 2 x1 ? x 2 ? 2a ? a ? p, y ? 1 ? 2 2 2 则有 x= =p.

∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p),从而 N 点坐标为(a+2p,0)?
| a ? 2p ? a | ? 2p

点 N 到 AB 的距离为

2

1 ? 2 ? 4(a ? p ) 2 ? 4a 2 ? 2 p ? 2 p 2ap ? p 2 从而 S△NAB= 2
p 当 a 有最大值- 4 时,S 有最大值为 2 p2.

x2 y2 62 62 a 2 ? b 2 21 2 ? ? ? 1 , e ? ? 2 3 , 解得 b 2 =1. 由已知得 a 2 b 2 a2 7. 解: (1) 如图,设双曲线方程为 a
a2=9,b2=12.

x2 y2 ? 所以所求双曲线方程为 9 12 =1.

(2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0) , ∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2).则有
?12 x1 2 ? 9 y1 2 ? 108 ? y ? y 2 12 4 ?12 x 2 2 ? 9 y 2 2 ? 108 ? 1 ? ? ? x1 ? x 2 9 3 ? x1 ? x 2 ? 4 4 ?y ? y ? 4 1 2 ? ,∴kl= 3

4 ∴l 的方程为 y= 3 (x-2)+2,
?12 x 2 ? 9 y 2 ? 108 ? ? 4 ? y ? ( x ? 2) 3 ? 由 ,消去 y,整理得 x2-4x+28=0.

∵Δ =16-4×28<0,∴所求直线 l 不存在.
| 2k |
2 8.解:(1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d= k ? 1 =1,解得 k=±1.

- 41 -

即渐近线为 y=±x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0, 2 ). ∴a= 2 =b,所求双曲线 C 的方程为 x2-y2=2. (2)设直线 l:y=k(x- 2 )(0<k<1 ) ,依题意 B 点在平行的直线 l′上,且 l 与 l′间的距离 为 2.
| 2k ? m | ? 2

设直线 l′:y=kx+m,应有

k2 ?1

,化简得 m2+2 2 km=2.



把 l′代入双曲线方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0, 由Δ =4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0. 可得 m2+2k2=2 ③
?mk 2 10 2 5 ?2 2 2 ②、 ③两式相减得 k= 2 m,代入③得 m2= 5 ,解设 m= 5 ,k= 5 ,此时 x= k ? 1 ,y= 10 .

故 B(2 2 , 10 ). 直线与圆锥曲线 【复习要点】 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系 的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函 数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高, 起到了拉开考生“档次” ,有利于选拔的功能. 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程 是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 2.当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用 弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中 点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转 化,往往就能事半功倍. 【例题】 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q,且 OP⊥OQ,
10 |PQ|= 2 ,求椭圆方程.

解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)
? ?y ? x ? 1 ? 2 ?mx ? ny 2 ? 1 由? 得(m+n)x2+2nx+n-1=0,

Δ =4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0, 由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,

- 42 -

2(n ? 1) 2n ? ∴ m ? n m ? n +1=0,∴m+n=2



4(m ? n ? mn) 10 ?( ) m?n 2 2, 又2

3 将 m+n=2,代入得 m·n= 4



3 1 3 1 2 2 2 由①、②式得 m= ,n= 或 m= ,n= 2
3 1 x2 3 2 2 2 故椭圆方程为 + y2=1 或 x2+ 2 y2=1.

? 如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为 4 的直线 l 与线段 OA
相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最 大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积. 解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0.
? ?y ? x ? m ? 2 ? ? y ? 4x

由方程组

,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0?????①

∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ =(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2, ∴|MN|=4

2(1 ? m )

.

5? m
点 A 到直线 l 的距离为 d=

2 .

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2
2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3 =2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2( )3=128.

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 . 已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2)。(1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜率取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两个交点,没有交点。(2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为中点的弦是否存 在. 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1,

- 43 -

与曲线 C 有一个交点. 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 代入 C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0??????(*) (ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ =[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) 3 ①当Δ =0,即 3-2k=0,k= 2 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点.
3 3 2 2 2 2 2 ②当Δ >0,即 k< 2 ,又 k≠± ,故当 k<- 或- <k< 或 <k< 2 时, 方程(*)

有两不等实根,l 与 C 有两个交点. 3 ③当Δ <0,即 k> 2 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点.
3

综上知:当 k=± 2 ,或 k= 2 ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点;
3 当 2 <k< 2 ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 3 当 k> 2 时,l 与 C 没有交点.

(2)假设以 Q 为中点的弦存在, 设为 AB, 且 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 2x12-y12=2,2x22-y22=2 两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1
y1 ? y 2 x1 ? x 2

即 kAB=

=2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为中点的弦 不存在. 如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一 个交点为 B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:|F2A|、 |F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程; y (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m, 求 m 的取值范围. A B 解: (1)由椭圆定义及条件知, 2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,
C
2 2 又 c=4,所以 b= a ? c =3.

F1

o

F2 B'

x

- 44 -

x2 y2 ? 故椭圆方程为 25 9 =1.

9 4 25 (2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= 5 .因为椭圆右准线方程为 x= 4 ,离心率为 5 ,根
4 25 4 25 5 5 4 据椭圆定义,有|F2A|= ( -x1),|F2C|= ( 4 -x2),

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得 4 25 4 25 9 5 ( 4 -x1)+ 5 ( 4 -x2)=2× 5 ,由此得出:x1+x2=8.
x1 ? x 2 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0= 2 =4.

(3)解法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.
2 2 ? ?9 x1 ? 25 y1 ? 9 ? 25 ? 2 ?9 x ? 25 y 2 2 ? 9 ? 25 得? 2

① ②

①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0,
( x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 ) ? 25( 1 )?( 1 ) 2 2 x1 ? x 2

即 9×

=0(x1≠x2)
1 (k≠0)代入上式,得 9×4+25y0(- k )=0



x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 1 ? x 0 ? 4, 1 ? y0 , 1 ?? 2 2 x1 ? x 2 k

(k≠0)

25 即 k= 36 y0(当 k=0 时也成立).
由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m,

16 25 所以 m=y0-4k=y0- 9 y0=- 9 y0.
由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部, 9 9 16 16 5 5 5 得- <y0< ,所以- <m< 5 . 解法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 1 y-y0=- k (x-4)(k≠0)
x2 y2 ? 将③代入椭圆方程 25 9 =1,得



(9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0
25 所以 x1+x2= 9k ? 25 =8,解得 k= 36 y0.(当 k=0 时也成立)
2

50(k 0 ? 4)

- 45 -

(以下同解法一).

P ? ?4, 0 ? 已知双曲线 G 的中心在原点,它的渐近线与圆 x ? y ? 10 x ? 20 ? 0 相切.过点 作
2 2

1 斜率为 4 的直线 l ,使得 l 和 G 交于 A, B 两点,和 y 轴交于点 C ,并且点 P 在线段 AB 上,
又满足

PA ? PB ? PC

2



(1)求双曲线 G 的渐近线的方程; (2)求双曲线 G 的方程; (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴.如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中点的轨迹 恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程. 解: (1)设双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? kx ,

5k
2 则由渐近线与圆 x ? y ? 10 x ? 20 ? 0 相切可得: k ? 1
2 2

? 5


k??
所以,

1 2.

1 y?? x 2 . 双曲线 G 的渐近线的方程为:
(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为: x ? 4 y ? m .
2 2

把直线 l 的方程

y?

1 ? x ? 4? 2 4 代入双曲线方程,整理得 3 x ? 8 x ? 16 ? 4m ? 0 . 16 ? 4m 3

8 x A ? xB ? , 3 则
∵ ∴

x A xB ? ?
2

(*)

PA ? PB ? PC

, P, A, B, C 共线且 P 在线段 AB 上,
2

? xP ? xA ?? xB ? xP ? ? ? xP ? xC ?



即:

? xB ? 4 ?? ?4 ? xA ? ? 16 ,整理得: 4 ? xA ? xB ? ? xA xB ? 32 ? 0

将(*)代入上式可解得: m ? 28 .

- 46 -

x2 y 2 ? ?1 7 所以,双曲线的方程为 28 . x2 y 2 ? 2 ?1 a ? 2 7 (3)由题可设椭圆 S 的方程为: 28 a .下面我们来求出 S 中垂直于 l 的平
行弦中点的轨迹. 设弦的两个端点分别为

?

?

M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ?

, MN 的中点为

P ? x0 , y0 ?

,则

? x12 y12 ? ?1 ? ? 28 a 2 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? 28 a 2 .

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ?
两式作差得:

28

?

a2

?0

y1 ? y2 ? ?4 x ? x2 ? 2 x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 x ? x 1 2 由于 , 1

x0 4 y0 ? 2 ?0 a 所以, 28 ,
x 4y ? 2 ?0 所以,垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线 28 a 截在椭圆 S 内的部分.

a2 1 ? 2 又由题,这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,所以, 112 2 .所以, a ? 56 , x2 y 2 ? ?1 椭圆 S 的方程为: 28 56 .
点评:解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上(也即化线段的关系为横坐标 (或纵坐标)之间的关系)是常用的简化问题的手段;有关弦中点的问题,常常用到“设而 不求”的方法;判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具) .

设抛物线过定点

A ? ?1, 0 ?

,且以直线 x ? 1 为准线.

(1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程;

(2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 恰被直线 的垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,试求 m 的取值范围.

x??

1 2 平分,设弦 MN

- 47 -

解: (1)设抛物线的顶点为

G ? x, y ?


,则其焦点为

F ? 2 x ? 1, y ?

.由抛物线的定义可知:

AF ? 点A到直线x ? 1的距离=2
所以,

4 x2 ? y 2 ? 2 .
2

y2 x ? ? 1 ? x ? 1? 4 所以,抛物线顶点 G 的轨迹 C 的方程为: . (2)因为 m 是弦 MN 的垂直平分线与 y 轴交点的纵坐标,由 MN 所唯一确定.所以,要求

m 的取值范围,还应该从直线 l 与轨迹 C 相交入手.
l:y?? 1 x?b k ,代入椭圆方程

显然,直线 l 与坐标轴不可能平行,所以,设直线 l 的方程为 得:

? 4k 2 ? 1 ? 2 2bx ? b2 ? 4 ? 0 ? ?x ? 2 k ? k ? ?? ? 4k 2 ? 1 ? 2 4b 2 ? 4 ? ? ?b ? 4? ? 0 2 k2 ? k ? ,即:

由于 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,所以,

4k 2 ? k 2 b 2 ? 1 ? 0

? k ? 0? . (*)
x??

又线段 MN 恰被直线

2bk ? 1? 1 xM ? xN ? 2 ? 2??? ? 4k ? 1 ? 2?. 2 平分,所以,

bk ?
所以,

4k 2 ? 1 ?2 .
? 3 3 ?k? 2 2

代入(*)可解得:

? k ? 0?



下面,只需找到 m 与 k 的关系,即可求出 m 的取值范围.由于 y ? kx ? m 为弦 MN 的垂直平

? 1 ? P ? ? , y0 ? ?. 分线,故可考虑弦 MN 的中点 ? 2
l:y??


1 1 4k 2 ? 1 1 1 y0 ? ?b ? ? ? ?2 k x?b x?? 2k 2k 2k k 2 ,可解得: 中,令 .

? 1 ? 3k P ? ? , ?2k ? m?? ? 代入 y ? kx ? m ,可得: 2 . 将点 ? 2

- 48 -

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 4 4 所以, . 从以上解题过程来看,求 m 的取值范围,主要有两个关键步骤:一是寻求 m 与其它参数之间 ?
的关系,二是构造一个有关参量的不等式.从这两点出发,我们可以得到下面的另一种解法:

? 1 ? P ? ? , y0 ? ? ,则由点 M , N 为椭圆上的点,可知: 解法二.设弦 MN 的中点为 ? 2

?4 xM 2 ? yM 2 ? 4 ? ? 2 2 ? ? 4 xN ? y N ? 4
两式相减得:



4 ? xM ? xN ?? xM ? xN ? ? ? yM ? y N ?? yM ? y N ? ? 0
y M ? y N ? 2 y0 , yM ? y N 1 =? xM ? xN k ,代入上式得:

? 1? xM ? xN ? 2 ? ? ? ? ? ?1, ? 2? 又由于

k??

y0 2 .

B

? 1 ? P ? ? , y0 ? ? 在弦 MN 的垂直平分线上,所以, 又点 ? 2
1 y0 ? ? k ? m 2 . m ? y0 ? 1 3 k ? y0 2 4 .
P M



所以,

B'

? 1 ? P ? ? , y0 ? ? 在 线 段 BB’ 上 ( B’ 、 B 为 直 线 由点 ? 2
x?? 1 y ? y0 ? yB . 2 与椭圆的交点,如图) ,所以, B '

也即:

? 3 ? y0 ? 3 .
?

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 4 4 所以,
点评:解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时,对于消元后的一元二次方程,必须讨论二次 项系数和判别式,有时借助图形的几何性质更为方便. 涉及弦中点问题,利用韦达定理或运用平方差法时(设而不求) ,必须以直线与圆锥曲线相交 为前提,否则不宜用此法. 从构造不等式的角度来说, “将直线 l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于 0”与“弦 MN 的
- 49 -

? 1 ? P ? ? , y0 ? ? 在椭圆内”是等价的. 中点 ? 2
2 设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,经过点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点.又 M 是其准

线上一点.试证:直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 证明 依题意直线 MA、MB、MF 的斜率显然存在,并分别设为 k1 , k 2 ,
? 点 A、B、M 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,M( 2 ,m) p 由“AB 过点 F( 2 ,0) ”得 p

k3

l AB : x ? ty ? 2

p

2 2 2 将上式代入抛物线 y ? 2 px 中得: y ? 2 pty ? p ? 0

可知

y1 y 2 ? ? p 2

?

2 2 又依“ y1 ? 2 px1 及 y 2 ? 2 px 2 ”可知

x1 ?

2 p y1 p 1 ? ? ? ( y1 2 ? p 2 ) 2 2p 2 2p

x2 ?

2 p y2 p p4 p p ? ? ? ? ? ( y1 2 ? p 2 ) 2 2 2 p 2 2 py1 2 2 y1 2

k1 ? k 2 ?

因此

y1 ? m y 2 ? m ? p p x1 ? x2 ? 2 2

?

2 p ( y1 ? m) p( y1 2 ? p 2 )
k3 ?

2

2 y1 2 (? ?

p2 ? m) y1

p( y1 2 ? p 2 )

??

2m p

而 故

0?m m ?? p p p ? (? ) 2 2

k1 ? k 2 ? 2k3

即直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 已知 a =(x,0), b =(1,y) (a ? 3 b)?(a ? 3 b) (1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l :y=kx+m(km≠0)与曲线 C 交于 A、B 两端,D(0,-1),且有|AD|=|BD|,试求 m 的 取值范围。

- 50 -

解: (1) a ? 3 b ? ( x,0) ? 3 (1, y ) ? ( x ? 3 , 3 y )

a ? 3 b ? ( x,0) ? 3 (1, y ) ? ( x ? 3 ,? 3 y )
∵ ( a ? 3 b) ?( a ? 3 b) ∴ (a ? 3 b) ? (a ? 3 b) =0

∴ ( x ? 3 )( x ? 3 ) ? 3 y ? (? 3 y ) ? 0

x2 ? y2 ?1 得 3

x2 ? y2 ?1 3 ∴P 点的轨迹方程为

? y ? kx ? m ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 3 ? (2)考虑方程组
显然 1-3k2≠0

消去 y,得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0(*)

△=(6km)2-4(-3m2-3)=12(m2+1)-3k2>0

设 x1,x2 为方程*的两根,则

x1 ? x 2 ?

6km 1 ? 3k 2 m 1 ? 3k 2

? x0 ?

x1 ? x 2 3km ? 2 1 ? 3k 2

y 0 ? kx 0 ? m ?

3km m 2 2 故 AB 中点 M 的坐标为( 1 ? 3k , 1 ? 3k ) y?
∴线段 AB 的垂直平分线方程为:

m 1 3km ? (? )( x ? ) 2 k 1 ? 3k 1 ? 3k 2

将 D(0,-1)坐标代入,化简得:4m=3k2-1
2 2 ? ?m ? 1 ? 3k ? 0 ? ?4m ? 3k 2 ? 1 故 m、k 满足 ? ,消去 k2 得:m2-4m>0

解得:m<0 或 m>4

又∵4m=3k2-1>-1

1 ∴m>- 4

1 ? (? ,0) ? (4,??) 4 故m .

【直线与圆锥曲线练习】 一、选择题

- 51 -

x2 1.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 4 +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( 4 5 B. 5
4 10 C. 5

)

A.2

8 10 D. 5

2.抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,x2,直线 与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( ) A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 二、填空题 5 5 3.已知两点 M(1, 4 )、N(-4,- 4 ),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0,

x2 x2 ②x2+y2=3,③ 2 +y2=1,④ 2 -y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是
_________. 4.正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的面积 为_________. 5.在抛物线 y2=16x 内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 三、解答题 6.已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B,且|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围. (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N, y A 求△NAB 面积的最大值.
21 7.已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e= 3 的双

曲线过点 P(6,6). o (1)求双曲线方程. (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、 N,问:是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论. 8.已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点,且都以点 A( 2 ,0)为

N F B x

圆心,1 为半径的圆相切,双曲线的一个顶点 A1 与 A 点关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程. (2)设直线 l 过点 A,斜率为 k,当 0<k<1 时,双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的 距离为 2 ,试求 k 的值及此时 B 点的坐标. 直线与圆锥曲线参考答案
2?

一、1.解析:弦长|AB|=

4 10 4? 5 ? t2 5 ≤ 5 .
- 52 -

答案:C
? ? y ? ax 2 ? ? ? y ? kx ? b

2.解析: 解方程组

k b b ,得 ax2-kx-b=0,可知 x1+x2= a ,x1x2=- a ,x3=- k ,代入验证

即可. 答案:B 二、3.解析:点 P 在线段 MN 的垂直平分线上,判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交 点. 答案:②③④ 4.解析:设 C、D 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长,利用|CD| 的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离,求出 b 的值,再代入求出|CD|的长. 答案:18 或 50 5.解析:设所求直线与 y2=16x 相交于点 A、B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2).
y1 ? y 2 16 ? ? x1 ? x 2 y1 ? y 2



kAB=8.

故所求直线方程为 y=8x-15. 答案:8x-y-15=0 三、 6.解: (1)设直线 l 的方程为: y=x-a,代入抛物线方程得(x-a)2=2px,即 x2-2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|=
2 ? 4(a ? p ) 2 ? 4a 2

≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2

p 又∵p>0,∴a≤- 4 .

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p,
x1 ? x 2 y ? y 2 x1 ? x 2 ? 2a ? a ? p, y ? 1 ? 2 2 2 则有 x= =p.

∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p),从而 N 点坐标为(a+2p,0)?
| a ? 2p ? a | ? 2p

点 N 到 AB 的距离为

2

1 ? 2 ? 4(a ? p ) 2 ? 4a 2 ? 2 p ? 2 p 2ap ? p 2 从而 S△NAB= 2 p 4 当 a 有最大值- 时,S 有最大值为 2 p2.

x2 y2 62 62 a 2 ? b 2 21 2 ? 2 ? ? 1 , e ? ? 2 3 , 解得 b =1. 由已知得 a 2 b 2 a2 7. 解: (1) 如图,设双曲线方程为 a
a2=9,b2=12.

- 53 -

x2 y2 ? 所以所求双曲线方程为 9 12 =1.

(2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0) , ∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2).则有
?12 x1 2 ? 9 y1 2 ? 108 ? y ? y 2 12 4 ?12 x 2 2 ? 9 y 2 2 ? 108 ? 1 ? ? ? x1 ? x 2 9 3 ? x1 ? x 2 ? 4 4 ?y ? y ? 4 2 ? 1 ,∴kl= 3

4 ∴l 的方程为 y= 3 (x-2)+2,
?12 x 2 ? 9 y 2 ? 108 ? ? 4 ? y ? ( x ? 2) 3 由? ,消去 y,整理得 x2-4x+28=0.

∵Δ =16-4×28<0,∴所求直线 l 不存在.
| 2k |
2 8.解:(1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d= k ? 1 =1,解得 k=±1.

即渐近线为 y=±x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0, 2 ). ∴a= 2 =b,所求双曲线 C 的方程为 x2-y2=2. (2)设直线 l:y=k(x- 2 )(0<k<1 ) ,依题意 B 点在平行的直线 l′上,且 l 与 l′间的距离 为 2.
| 2k ? m | ? 2

设直线 l′:y=kx+m,应有

k2 ?1

,化简得 m2+2 2 km=2.



把 l′代入双曲线方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0, 由Δ =4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0. 可得 m2+2k2=2 ③
?mk 2 10 2 5 ?2 2 2 ②、 ③两式相减得 k= 2 m,代入③得 m2= 5 ,解设 m= 5 ,k= 5 ,此时 x= k ? 1 ,y= 10 .

- 54 -

故 B(2 2 , 10 ).

- 55 -



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