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平面向量的数量积课件



2.4.1《平面向量数量积 的物理背景及其含义》

1 2 3 sin 30? ? , sin 45? ? , sin 60? ? 2 2 2 3 2 1 cos30? ? , cos 45? ? , cos60? ? 2 2 2 3 tan30? ? , tan 45? ? 1, tan60? ? 3 3

学习目标
? ?

? ? ? ? ? 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.理解投影概念; 3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 4.平面向量的数量积简单应用; 5.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的 理解和平面向量数量积的应用

一 探究?
问题1: 我们研究了向量的哪些运算?这些 运算的结果是什么? 问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的? 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的?

问题3:如图所示,一物体在力F的作用下产 生位移S, (1)力F所做的功W= 。
(2)请同学们分析这个公式的特点: W(功)是 量, F(力)是 量, S(位移)是 量 θ是 。
F

?

S

探究数量积的含义
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积;

结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

二、平面向量的数量积
1、定义
数量积(或内积),记作
0? ? ? ? 180 ?

? ? ? ? ? ? 已知非零向量 a 与 b ,我们把数量 | a || b | cos? 叫作 a 与 b 的 ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? 其中θ 是 a 与 b 的夹角,| b | cos? (| a | cos? ) 叫做向量 b 在 a 方向上( ? 在 ? 方向上)的投影.并且规定,零向量与任一向量 a b
的数量积为零,即 ?

a ?b

,即规定 a ? b ?| a || b | cos ?

? 。 a?0 ? 0 ?
? ?

? ? 0?时 b 在 a 方向上的射影| b | .是?为锐角时,
| OB1 |?| b | ? cos? , b 在 a 方向上的射影是正数
? ? ? ?

?

?

B

? b
θ B1

?为直角时b 在 a 方向上的射影是 0.?为钝角时

O

? a

?

b 在 a 方向上的射影是负数
? ? ?

?

A

? ? 180?时 b 在 a 方向上的射影? | b |

2、数量积的定义 ? ? ? ? (1)定义 :a ? b ? a b cos?
(2)定义的简单说明: 问题5:向量的数量积运算与线性运算的结果有什 么不同?影响数量积大小的因素有哪些?并完成下表:
夹角 ?的范围 0? ? ? ? 90?

? ? a ? b 的正负

? ? 90 ?

90 ? ? ? ? 180 ?

3、研究数量积的几何意义
(1)给出向量投影的概念

(2)问题6:数量积的几何意义是什么?

4、研究数量积的物理意义
问题7:(1)功的数学本质是什么? (2)尝试练习
一物体质量是10千克,分别做以下运动,求重力做功 的大小。 ①、在水平面上位移为10米; ②、竖直下降10米;; ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米;

①、在水平面上位移为10米;
G

S

W ?0

②、竖直下降10米;

S
G S

W?GS

③、竖直向上提升10米;
G

W ? ?G S

④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米;
S

?

G

W ? G S cos( 120?)

探究数量积的运算性质
1、性质的发现
问题8:

(1)将问题①②③的结论推广到一般向量, 你能得到哪些结论?
? ? ? ? (2)比较 a ? b 与a ? b

的大小,你有什

么结论?

2、数量积的性质
设向量 a 与 b 都是非零向量,则 ? ? ? ? a ·b =0 (1) a⊥ b ? ? ? ? ? ? a ·b=|a|| b| (2)当 a 与 b 同向时, ? ? ? ? ? ? a ·b =-|a || 当 a 与 b 反向时, b| ? 2 ? ? ? a 或︱︱ a =︱︱ a = a?a a · 特别地, ? ? ? ? b | (3)︱a ·b︱≤ |a ||
? ?

3、性质的证明

探究数量积的运算律
1、运算律的发现
问题9: 我们学过了实数乘法的那些运算律?
这些 运算律对向量是否也适用? 学生可能的回答:

① a·b= b·a ②(a·b)c= a (b·c) ③(a + b)·c=a·c +b ·c

2、运算律
? ? (1) a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? (2)??a ?? b ? ? a ? b ? a ? ?b ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? b ? c ? a ? c ? b ? c

? ? ? 已知向量 a , b , c 和实数λ,则: ? ?

?

?

?

?

? ?

3、运算律的证明

应用与提高
例1 已知|a|=5, |b|=4,(1) a与b的夹角θ=120o,求a· b. (2)a∥b求a· b. (3)a⊥b求a· b

? ? ? ? 例2、已知 a ? 3, b ? 4,a与b 不共线,k为何值时, ? ? ? ? 向量a ? kb 与a ? kb 互相垂直?
? ? ? ? ? ? ? ? 例3、已知a ? 6, b ? 4,a与b 的夹角为60?,求 a ? 2b ? a ? 3b . ?

?

??

?

在?ABC中, a ? 5, b ? 8, C ? 60?, BC? CA, BC? AC

?

?

?

?

学生练习
1、判断下列各命题是否 正确,并说明理由 ? ? ? ? (1)若a ? 0,则对任一非零向量 b ,有 a ? b ? 0 ? ? ? ? ? ? ? (2)若a ? 0,a ? b ? a ? c , 则b ? c
? ? ? ? 2、已知 ? ABC 中, AB ? a , AC ? b , 当 a ? b ? 0 ? ? 或a ? b ? 0时,试判断 ?ABC的形状。
? ? ? ? ? ? ? ?

3 :已知 | a |? 2, | b |? 1, a 与 b 夹角是60? k为何值时(a ? b ) ? ( a ? k b ) ?
? ? ? ? ? ? ? ?

4 :已知 | a |? 2, | b |? 1, a 与 b 夹角是60?, 求:( a ? b ) ? ( a ? 2 b )

? ? ? ? 4.若a, b是互相垂直的单位向量,且(2a ? 3b) ? ?    ? (ka ? 4b), 求实数k的值. ?2 ?2 ? ? ? ? ? 5.已知a ? 1, b ? 2, (a ? b) ? a ? 0, 求a与b的夹角. ? ? ? ? ? ? ? 6.已知a +b ? c ? 0, | a |? 3,| b |? 5,| c |? 7, ? ?  求a与b的夹角.

? ? ? ? 2.已知a与b的夹角为120?, | a |? 4,| b |? 2, ? ? ? ? 求: | a ? b |;| 3a ? 4b | . ?? ? ? ? ? ? ? ? 3.已知a, b, c满足a +b ? c ? 0, | a |? 3,| b |? 1, ? ? ? ? ? ? ?    | c |? 4, 求: a ? b ? b ? c ? c ? a的值.

1 、 已知 :| a |? 8,| b |? 10,| a ? b |? 16 。 求 a 与 b 的夹角?

?

?

?

?

?

?

? ? ? 1.已知a, b均为单位向量,它们的夹角为60 , ? ? 求|a ? 3b |? ? ? ? ? ? ? 2.已知a, b满足: | a |? 1, | b |? 2,| a ? b |? 2, ? ? 求|a ? b |? ??? ? 3.已知平面上三点A, B, C满足: | AB |? 2, ??? ? ??? ? | BC |? 1,| CA |? 3, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 求 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB ? ? ? ? ? ? 4.已知非零向量a, b满足 : (a ? 2b) ? a, ? ? ? ? ?   (b ? 2a) ? b, 求a, b的夹角 ?

几何问题: 1.求证:菱形的对角线互相垂直.
C D C

A C
O F H D E B

A

B

B

A

2.求证:直径所对的圆周角为直角. 3.求证:三角形的三条高交于一点.

基础练习

1、判断下列命题的真假: (1)平面向量的数量积可以比较大小 ? ? ? ? (2 ) 若a b? ? , ab 0 则 与 的夹角为钝角 . (3)已知b为非零向量因为0×a =0, a · b = 0,所以a = 0 (4 ) 对于任意向量a、 b、 c,都有a · b· c = a· (b · c) 2、已知△ABC中,a =5,b =8,C=600,求
A
B C

??? ? ??? ? BC ? CA

? 3、已知 | a | =8,e是单位向量,当它们之间的夹角为 3 , 则 a在e方向上的投影为

4、

如图, 在平行四边形 ABCD中,已知 AB ? 4, AD ? 3, ?DAB ? 60? , 求 : ?1?. AD ? BC

?2?.AB? CD

?3?.AB? DA

D

C

解: ?1?因为AD 与BC平行且方向相同 ,

? AD与BC的夹角为 0?. ? AD ? BC ? AD ? BC ? cos0? ? 3 ? 3 ?1 ? 9 A

60?
B
120?

?2?.? AB与CD平行, 且方向相反
? AB与CD的夹角是 180?
2

或 AD ? BC ? AD ? 9

2

? AB ? CD ? AB ? CD ? cos180? ? 4 ? 4 ? ?? 1? ? ?16
或 AB ? CD ? ? AB ? ?16

?3?.? AB与AD的夹角是60? ,? AB与DA的夹角是120?
? 1? ? AB ? DA ? AB ? DA ? cos120? ? 4 ? 3 ? ? ? ? ? ?6 ? 2?

进行向量数量积 计算时,既要考 虑向量的模,又 要根据两个向量 方向确定其夹角。

1 \ 已知 a 是非零向量, 且 b ? c , 求证;
?

?

?

?

a ? b ? a ? c ? a ? (b? c )

?

?

?

?

?

?

2 \ 已知: 在直角坐标系中 , 以原点为原心 , 单位长度为半径的圆上 有两点A( cos?,sin ?) , B(cos? , sin ? ), 试用A, B两点坐标表示 ?AOB余弦
B(cos? , sin ? )

?

?

A(cos? , sin ? )

证明: 对任意a、、b、c、
2 2 2 2

? R, 恒有不等式
2

(ac ? bd) ? (a ? b )(c ? d )

课堂小结
1、本节课我们学习的主要内容是什么?

2、学习了向量数量积的哪些应用?
思考:由向量的数量积怎样求向量长度和夹角?

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