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2016年高三数学一轮复习第十一讲:三角恒等变换与三角函数综合题



三角恒等变换与三角函数综合题
1.两角和与差的三角函数

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ta

n ? tan ? 。

2.二倍角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;
cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ; 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

3.降幂公式

sin ? cos ? ?

1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 sin 2? ; sin 2 ? ? ; cos ? ? 。 2 2 2

4.(补充)万能公式

? ? ? 1 ? tan2 2 tan 2 , cos? ? 2 , tan? ? 2 sin ? ? ? ? ? 1 ? tan2 1 ? tan2 1 ? tan2 2 2 2 ? ? ? 2 sin cos 2 tan sin ? 2 2 ? 2 证:1? sin ? ? ? ? ? ? 1 sin 2 ? cos2 1 ? tan2 2 2 2 ? ? ? cos2 ? sin 2 1 ? tan2 cos? 2 2 ? 2 2? cos? ? ? ? ? ? 1 sin 2 ? cos2 1 ? tan2 2 2 2 ? ? ? 2 sin cos 2 tan sin ? 2 2 ? 2 3? tan? ? ? ? ? ? cos? cos2 ? sin 2 1 ? tan2 2 2 2 2 tan
a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? ,其中 tan ? ?
b ? , | ? |? 。 a 2

5.辅助角公式 当 a ? 0 时, a sin x ? b cos x ?

【考点 1】两角和与差的三角函数 (? ? ?) 【例 1】已知 sin ? ? sin ? ? 1 的值。 , cos? ? cos ? ? 0 ,求 cos 【例 2】已知 tan ?, tan ? 是方程 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的两个实数根,求

2sin2 ?? ? ? ? ? 3sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos2 ?? ? ? ? 的值.
3 ,则 cos 2? ? _______ 5 【例 4】命题 P : tan( A ? B) ? 0 ,命题 Q : tan A ? tan B ? 0 , P 是 Q 的( )
【例 3】已知 sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ? 【A】充要条件 【B】充分不必要条件 【C】必要不充分条件 【D】既不充分也不必要条件

【例 5】已知 tan(? ? ? ) ? 【A】

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 的值等于( ) 5 4 4 4
3 22
【 C】

13 18

【 B】

13 22

【D】

3 18

【考点 2】二倍角公式

cos2 ? ? sin 2 ? 【例 6】化简: 。 ?? ? ? 2?? 2 cot? ? ? ? cos ? ? ? ? ?4 ? ?4 ? 7 sin 2 x ? 2 cos2 x ?? ? 3 17 【例 7】若 cos? ? x ? ? , ? ? x ? ? , 求 的值 。 4 1 ? tan x ?4 ? 5 12 1 【例 8】下列各式中,值为 的是( ) 2
【A】 sin15 cos15 【B】 cos
2

?
12

? sin 2

?
12

【C】

tan 22.5 1 ? tan 2 22.5

【D】

1 ? cos 30 2

【考点 3】三角恒等变换的方法—巧变角 【例 9】已知 tan(? ? ? ) ?

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是______ 5 4 4 4 ? ? 1 ? 2 【例 10】已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos(? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值。 2 2 9 2 3
【考点 4】三角恒等变换的方法—弦切互化 【例 11】求 sin50 (1 ? 3 tan10 ) 的值。 【例 12】已知

sin ? cos ? 2 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值。 1 ? cos 2? 3

【考点 5】三角恒等变换的方法—公式变形使用 【例 13】求 tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 的值。 【例 14】已知 A, B 都是锐角,且满足 tan A tan B ? tan A tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) ? ______。 【例 15】设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B ,则 ?ABC 是________三角形。 【考点 6】三角恒等变换的方法—三角函数次数的升降 【例 16】化简:

? 1 1 1 1 ? 3? ?? ? ? cos 2? ? ? ?? , 2? ? ? ? ?. 2 2 2 2 ? 2 ?? ?

【考点 7】三角恒等变换的方法—式子结构转化 【例 17】求证:

1 ? sin ? 1 ? 2sin
2

?
2

?

1 ? tan 1 ? tan

?

?

2

【考点 8】三角恒等变换的方法— sin a ? cos a,sin a cos a 的内在联系(知一求二) 【例 18】已知 sin a ? cos a ? t , 则 sin a cos a ? ________ 【例 19】已知 f ( x) ? sin x ? cos x ? 2sin x cos x ,求 f ( x ) 的值域。 【考点 9】三角恒等变换的方法—常数 1 的妙用 【例 20】化简:

2

1 ? tan15 1 ? tan15

【考点 10】三角恒等变换的方法—辅助角公式的应用 【例 21】若方程 sin x ? 3 cos x ? t 有实数解, 求 t 的取值范围。 【例 22】若函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 2cos( x ? ? ) 是奇函数,则 tan ? ? _____. 【考点 11】简单的三角恒等变换—化简求值 2 2 【例 23】求 sin 20 ? cos 50 ? sin 20 cos50 的值。

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 . 【例 24】已知函数 f ( x) ? cos x (Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域;

?

(Ⅱ)设 ? 的第四象限的角,且 tan ? ? ? 【考点 12】三角函数综合题 【例 25】已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? (I)若 a ? b, 求 ? ;

4 ,求 f (? ) 的值。 3

?
2

?? ?

?
2

.

(II)求 a ? b 的最大值。

【例 26】设向量 m ? (cos? ,sin ? ) , n ? (2 2 ? sin ? , 2 2 ? cos? ) , ? ? (? ? ,?? ) ,若 m ? n ? 1 , 求: (1) sin(? ?

?
4

3 2

) 的值;

(2) cos( ? ?

7 ? ) 的值. 12

【例 27】已知向量 a ? (3sin ? ,cos ? ) , b ? (2sin ? ,5sin ? ? 4cos ? ) , ? ? ( (1)求 tan ? 的值; (2)求 cos(

3? , 2? ) ,且 a ? b . 2

?

? ) 的值. 2 3

?

【例 28】已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x),设函数f ( x) ? m ? n. (1)求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间。 (2)在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, △ABC 的面积为

3 ,求 a 的值. 2

【例 29】设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (m,cos 2x) , b ? (1 ? sin 2 x,1) , x ? R ,且 y ? f ( x) 的图象经过点

?π ? 2? . ? , ?4 ?
(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合. 【例 30】已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ,x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. ?8 4 ?

? π 3π ?



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