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2.3直线、平面垂直的判定及其性质



新课标高中数学-必修二导学案
§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义:直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,就说直线 l 与平面 α 互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理: 文字语言 图形语言 符号语言 a,b?α 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直,则该直线与此平面垂直 l⊥a

l⊥b

a∩b=O

? ? ? ?l⊥α ? ?

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

a⊥α? ? ??a∥b ? b⊥α?

2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线, 则这 两个平面互相垂直 图形语言 符号语言 l?β? ? ??α⊥β ? l⊥α?

性质定理

两个平面互相垂直, 则一个平面内垂 直于交线的直线垂直于另一个平面

? ? ??l⊥α α∩β=a ? ? l⊥a
α⊥β l?β

考点一 垂直关系的基本问题 例 1(1)如图,O 为正方体 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 的中心, )

则下列直线中与 B1O 垂直的是( A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C1

(2)若 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列命题不 正确的是( . A.若 α∥β,m⊥α,则 m⊥β B.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α C.若 m∥α,m⊥β,则 α⊥β D.若 α∩β=m,且 n 与 α,β 所成的角相等,则 m⊥n 变式:若平面 α⊥平面 β,平面 α∩平面 β=直线 l,则( A.垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B.垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C.垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D.垂直于直线 l 的平面一定与平面 α,β 都垂直
1

)

)

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考点二 线面垂直的判定与性质 π 例 2 如图,四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA=2 3,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD= . 3 (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P BDF 的体积.

变式:如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E 为棱 C1D1 的中点,F 为棱 BC 的中点. (1)求证:直线 AE⊥直线 DA1; (2)在线段 AA1 上求一点 G,使得直线 AE⊥平面 DFG.

考点三 面面垂直的判定与性质 例 3 如图,四棱锥 P ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD, E,F,G,M,N 分别为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点. (1)求证:CE∥平面 PAD;(2)求证:平面 EFG⊥平面 EMN.

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新课标高中数学-必修二导学案
变式:已知侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形,且 AD=AA1,点 F 为棱 BB1 的中点, 点 M 为线段 AC1 的中点. (1)求证:MF∥平面 ABCD; (2)求证:平面 AFC1⊥平面 ACC1A1.

考点四 平行与垂直的综合问题 角度一 平行与垂直关系的证明 例 4 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求证:CF⊥B1E. A1B1C1D1 中,E,F 分别为 DD1,DB 的中点.

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例 5 如图,在四棱锥 S ABCD 中,平面 SAD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,且 P 为 AD 的中点, Q 为 SB 的中点,M 为 BC 的中点. (1)求证:CD⊥平面 SAD; (2)求证:PQ∥平面 SCD; (3)若 SA=SD, 在棱 SC 上是否存在点 N, 使得平面 DMN⊥平面 ABCD? 并证明你的结论.

例 6 如图 1,在等腰梯形 CDEF 中,DE=CD= 2,EF=2+ 2,将它沿着两条高 AD,CB 折叠成如图 2 所 示的四棱锥 E ABCD(E,F 重合). (1)求证:BE⊥DE; (2)设点 M 为线段 AB 的中点,试在线段 CE 上确定一点 N,使得 MN∥平面 DAE.

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