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2013届高考数学一轮复习课件(理)人教A版-第23讲 正(余)弦定理



1 .掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简 单的三角度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法 解决一些与几何计算有关的实际问题.

1.正弦定理及变式 c ? ? 2 R; ?1? ? ① sinC ,c ? 2 R sin C; ? 2 ? a ? 2 R sin A,b ? ② a b sin sin ? 3? sin A ? ,

B ? , C ? ③ 2R 2R ? 4 ? sin A:sin B:sin C: ? a:b:c. ;

? 5? 在下列条件下,应用正弦定理求解:
ⅰ已知两角和一边,求其他边和角; () (ⅱ已知两边和其中一边的对角,求另一 ) 边的对角及其他边和角.

  余弦定理及变式 2. 1? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A;b 2 ? ④ ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C. cos cos . ? 2 ? cos A ? ; B ? ; C ? ⑤  ? 3? 在下列条件下,应运用余弦定理求解: ⅰ已知三边,求三个角; () (ⅱ已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角; ) (ⅲ)已知两边和其中一边的对角,求第三边和 其他两个角. (此类问题需要讨论) ;

3.三角形的面积公式 1 1 S ? ab sin C ? ⑥ ? bc sin A. 2 2 4.应用解三角形知识解决实际问题的步骤

?1? 根据题意画出示意图; ? 2 ? 确定实际问题所涉及的三角形,并搞清
该三角形的已知条件和未知条件;  

? 3? 选用正、余弦定理进行求解,并注意运
算的正确性;

? 4 ? 给出答案.

【要点指南】 b ①; ② 2 R sin B; sinB c ③ ;④a 2 ? c 2 ? 2ac cos B; 2R a 2 ? b2 ? c2 1 ⑤ ;⑥ ac sin B 2ab 2

1.△ABC 中,BC=3,A=30° ,B=60° ,则 AC 等于( A.3 3 3 C. 2 B. 3 D.2 3

)

3 3× BC AC BCsinB 2 【解析】 由正弦定理得 = , AC= = = 1 sinA sinB sinA 2 3 3,故选 A.

1 2.在△ABC 中,如果 BC=6,AB=4,cosB= ,那么 3 AC 等于( A.6 C.3 6 ) B.2 6 D.4 6

【解析】AC= AB2+BC2-2AB· BCcosB = =6. 1 6 +4 -2×6×4× 3
2 2

3.在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对 边,2b=a+c,且 sinA,sinB,sinC 成等比数列,则△ ABC 形状为( ) B.直角三角形 D.等腰直角三角形

A.等腰三角形 C.正三角形

【解析】由题意,2sinB=sinA+sinC,① sin2B=sinA· sinC,② ?sinA+sinC?2 所以 =sinAsinC, 4 所以(sinA-sinC)2=0,所以 sinA=sinC, 代入①,得 sinB=sinA=sinC,所以 A=B=C.

4.在锐角△ABC 中,设 x=sinA· sinB,y=cosA· cosB, 则 x,y 的大小关系为( A.x≤y C.x>y ) B.x<y D.x≥y

【解析】 y-x=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=- cosC<0,所以 y<x.

5. 在 △ ABC 中 , A = 120° b = 1 , 面 积 为 3 , 则 , a+b+c = sinA+sinB+sinC 2 7 .

1 1 3 【解析】由 S= bcsinA,即 3= ×1×c× ,所以 c=4. 2 2 2 所以 a= b2+c2-2bccos120° 1 = 16+1+2×4×1× 2 = 21. a 21 所以 2R= = =2 7. sinA 3 2 a+b+c 2R?sinA+sinB+sinC? 所以 = = 2R = sinA+sinB+sinC sinA+sinB+sinC 2 7.



正弦定理的应用

【例 1】在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,已知 a=2,b= 2,B=30° ,求 A、C 和 c.

a b 2 2 【解析】由 = ,得 = , sinA sinB sinA sin30° 2 所以 sinA= ,所以 A=45° 135° 或 . 2 当 A=45° 时,C=180° -30° -45° =105° . 2 c 又由 = ,得 c= 3+1. sin30° sin105° 当 A=135° 时,C=180° -30° -135° =15° . 同理 c= 3-1.

【点评】本题已知两边及一边的对角解三角形,可用正弦定理 求解,但要判定△ABC 是否有解,有几个解;也可用余弦定理 求解.

素材1

已知方程 x2-bcosAx+acosB=0 的两根之积等 于两根之和,且 a 和 b 是△ABC 的两边,A 和 B 是其 对角,试判断△ABC 的形状.

【解析】设方程两根为 x1,x2,由根与系数的关系得 x1 +x2=bcosA,x1x2=acosB. 由题意,bcosA=acosB, 由正弦定理,2RsinBcosA=2RsinAcosB, 所以 sin(A-B)=0, 又-π<A-B<π, 所以 A-B=0,即 A=B, 所以△ABC 为等腰三角形.

【点评】判断三角形形状主要思路是“化异为同”——化成纯 粹的边与边、角与角的关系,通过运算求出边与角的大小,从 而作出判断.



余弦定理和面积公式的应用

【例 2】满足条件 AB=2,AC= 2BC 的△ABC 的面积的最大 值为____________.

【解析】设 BC=x,则 AC= 2x. AB2+BC2-AC2 4-x2 由余弦定理,得 cosB= = , 2AB· BC 4x 1 所以 S△ABC= AB· sinB BC· 2 1 = ×2x× 2 4-x2 2 1-? ? 4x

1 = -x4+24x2-16 4 1 = 128-?x2-12?2 . 4

? 2x+x>2 ? 由三边关系,得?x+2> 2x ? ? 2x+2>x



解得 2 2-2<x<2 2+2. 故当 x=2 3时,S△ABC 取最大值为 2 2.

【点评】此类题属于已知三角形三边关系求面积最值问 题,一般思路是首先由余弦定理求出某个角的余弦值,然后 再利用三角形的面积公式和函数性质求解.

素材2

cosB 在△ABC 中,a,b,c 分别是 A、B、C 的对边,且 cosC b =- . 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积.

cosB b 【解析】(1)因为 =- , cosC 2a+c a2+c2-b2 2ac b 所以 2 2 2=- ,所以 a2+c2-b2+ca=0, a +b -c 2a+c 2ab a2+c2-b2 1 所以 cosB= =- ,所以 B=120° . 2 2ac

(2)由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB, 1 得 13=a +c -2ac· ), (- 2
2 2

所以 13=(a+c)2-ac,又 a+c=4,所以 ac=3. 1 1 3 3 3 所以 S△ABC= ac· sinB= ×3× = . 2 2 2 4



正弦定理和余弦定理的综合运用

【例 3】已知圆 O 的半径是 R,它的内接△ABC 中,有 2R(sin2A-sin2C)=( 2a-b)sinB,求角 C 和△ABC 面积 S△ABC 的最大值.

a b c 【解析】由正弦定理得 sinA= ,sinB= ,sinC= , 2R 2R 2R a2 c2 b 则 2R( 2- 2)=( 2a-b)× , 4R 4R 2R 即 a2-c2=( 2a-b)b, a2+b2-c2 2 π 3π 所以 cosC= = ,于是 C= ,A+B= . 2 4 4 2ab 1 所以 S△ABC= ab· sinC 2

1 2 2 = ×4R sinAsinB× 2 2 3π = 2R sinAsin( -A) 4
2

1 2 π = R [ 2sin(2A- )+1]. 2 4 3π π π 5π 因为 0<A< ,所以- <2A- < , 4 4 4 4 π π 3π 所以当 2A- = ,即 A= 时,S△ABC 取最大值. 4 2 8 2+1 2 (S△ABC)max= R. 2

【点评】本题利用两个定理联立求解,结合化归与转化思想, 化异为同,最后水到渠成,本题在三角函数与解三角形交汇 处命题,灵活利用角的联系,减少角的个数,借助三角函数 的性质,求最值.

素材3

在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b2 +c2-a2+bc=0. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 3,求 bc 的最大值; π asin? -C? 6 (3)求 的值. b-c

b2+c2-a2 -bc 1 【解析】(1)因为 cosA= = =- . 2 2bc 2bc 2π 又因为 A∈(0,π),所以 A= . 3 (2)由 a= 3,得 b2+c2=3-bc, 因为 b2+c2≥2bc,所以 3-bc≥2bc,所以 bc≤1. 当且仅当 b=c=1 时,bc 取最大值为 1.

π π π asin? -C? 2RsinAsin? -C? sinAsin? -C? 6 6 6 (3) = = b-c 2RsinB-2RsinC sinB-sinC 31 3 ? cosC- sinC? 2 2 2 = π sin? -C?-sinC 3 3 3 cosC- sinC 4 4 1 = = . 2 3 3 cosC- sinC 2 2

【点评】正、余弦定理能实现边角转化,在解题时一定 要重视.

备选例题

如图,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角 形,∠ACB=90° ,BD 交 AC 于 E,AB=2. (1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE.

【解析】(1)因为∠BCD=90° +60° =150° , 又 DC=AC=BC, 180° -150° 所以∠CBE= =15° , 2 所以 cos∠CBE=cos15° =cos(45° -30° ) =cos45°cos30° · +sin45°sin30° · 6+ 2 = . 4

(2)在△ABE 中,AB=2. AE 2 由正弦定理得 = , sin?45° -15° sin?90° ? +15° ? 1 2× 2sin30° 2 所以 AE= = = 6- 2. cos15° 6+ 2 4

正、余弦定理体现了三角形中角与边存在一种 内在联系,其主要作用是将已知边、角互化或 统一.一般的,利用公式a ? 2 R sin A等( R为外 接圆半径),可将边转化角的三角函数关系,然 后利用三角函数知识进行化简,其中往往用到 b2 ? c2 ? a 2 三角形内角和定理;利用公式 cos A ? 2bc 等,可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系, 然后充分利用代数知识求边.



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