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高考文科数学第一轮复习测试题26



命题要点:?1?导数在生活中的优化问题?′11 年 2 考,′10 年 3 考?; ?2?导数与不等式?′11 年 5 考,′10 年 4 考?;?3?运用导数解决恒成 立及函数取值范围问题?′11 年 4 考,′10 年 2 考?.
A级 (时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20 cm,要使体积最大,则其

高为 ( ). 满分:60 分)

20 3 A. 3 cm

B.100 cm

C.20 cm

20 D. 3 cm

解析 设圆锥的体积为 V cm3,高为 h cm, 1 则 V=3π(400-h2)h 1 = π(400 h-h3), 3 1 ∴V′=3π(400-3h2), 20 3 由 V′=0,得 h= 3 . 20 3 所以当 h= 3 cm 时,V 最大. 答案 A 2.已知对任意实数 x,都有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f′(x)>0, g′(x)>0,则 x<0 时( A.f′(x)>0,g′(x)>0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 ). B.f′(x)>0,g′(x)<0 D.f′(x)<0,g′(x)<0

解析 由题意知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数.当 x>0 时,f(x),g(x)都单调递增, 则当 x<0 时,f(x)单调递增,g(x)单调递减,即 f′(x)>0,g′(x)<0. 答案 B

4 3.设 p:f(x)=x3+2x2+mx+1 在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥3,则 p 是 q 的( ). B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

解析 ∵f(x)=x3+2x2+mx+1,∴f′(x)=3x2+4x+m. 4 由 f(x)为增函数得 f′(x)≥0 在 R 上恒成立, 则 Δ≤0, 即 16-12m≤0, 解得 m≥3. 故为充要条件. 答案 C 4.(2011· 辽宁)函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( A.(-1,1) C.(-∞,-1) ). B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞)

解析 令 g(x)=f(x)-2x-4,则 g′(x)=f′(x)-2>0, ∴g(x)在 R 上递增.又 g(-1)=f(-1)-2(-1)-4=0. ∴g(x)>0?x>-1.故选 B. 答案 B 5.对于 R 上可导的任意函数 f(x),满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( A.f(0)+f(2)<2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) ).

B.f(0)+f(2)≤2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)

?x≥1, ?x≤1, 解析 由(x-1)f′(x)≥0,得? 或? ?f′?x?≥0, ?f′?x?≤0. ①函数 y=f(x)在(-∞,1]上单调递减,f(0)>f(1);在[1,+∞)上单调递增,f(2) >f(1).∴f(0)+f(2)>2f(1). ②函数 y=f(x)可为常数函数,f(0)+f(2)=2f(1). 答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.已有函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上有 f′(x)>0,若 f(-1)=0, 那么关于 x 的不等式 xf(x)<0 的解集是________. 解析 在(0,+∞)上有 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)单调递增.又函数 f(x)是

R 上的偶函数,所以 f(1)=f(-1)=0.当 x>0 时,f(x)<0,∴0<x<1;当 x<0 时,图象关于 y 轴对称,f(x)>0,∴x<-1. 答案 (-∞,-1)∪(0,1) 7.直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图象有相异的三个公共点,则 a 的取值范围 是________. 解析 令 f′(x)=3x2-3=0,得 x=± 1,可得极大值为 f(-1)=2,极小值为 f(1) =-2,如图,观察得-2<a<2 时恰有三个不同的公共点.

答案 (-2,2) 2 ? ? ,x≥2, 8. (2011· 北京)已知函数 f(x)=?x ? ??x-1?3,x<2. 同的实根,则实数 k 的取值范围是________. 解析 当 x<2 时,f′(x)=3(x-1)2>0,说明函数在(-∞,2)上单调递增,函数 的值域是(-∞,1),函数在[2,+∞)上单调递减,函数的值域是 (0,1],因此, 结合图形要使方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则 0<k<1. 答案 (0,1) 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行 1 3 驶速度 x(千米/时)的函数解析式可以表示为:y=128 000x3-80 x+8(0< x≤120).已知甲、乙两地相距 100 千米. (1)当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 100 解 (1)当 x=40(千米/时)时,汽车从甲地到乙地行驶了 40 =2.5(小时).要耗油 3 ? 1 ? ?128 000×403-80×40+8?×2.5=17.5(升).所以当汽车以 40 千米/时的速度匀 ? ? 速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升.

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不

100 (2)当速度为 x 千米/时,汽车从甲地到乙地行驶了 x 小时,设耗油量为 h(x)升, 3 1 800 15 ? 1 ? 100 依题意得 h(x)=?128 000x3-80x+8?· x =1 280x2+ x - 4 (0<x≤120). ? ?
3 3 x 800 x -80 h′(x)=640- x2 = 640x2 (0<x≤120),

令 h′(x)=0, 得 x=80, 当 x∈(0,80)时, h′(x)<0, h(x)是减函数; 当 x∈(80,120] 时,h′(x)>0,h(x)是增函数. ∴当 x=80 时,h(x)取得极小值 h(80)=11.25. 因此 h(x)在(0,120]上只有一个极值,也是它的最小值. 所以,当汽车以 80 千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升. 10.(12 分)(2011· 洛阳模拟)已知 f(x)=ax3+bx2+cx 在区间[0,1]上是增函数,在 ?1? 3 区间(-∞,0]与[1,+∞)上是减函数,且 f′?2?=2. ? ? (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[0,m](m>0)上恒有 f(x)≤x 成立,求 m 的取值范围. 解 (1)由 f(x)=ax3+bx2+cx,得 f′(x)=3ax2+2bx+c.又由 f(x)在区间[0,1]上是 增函数,在区间(-∞,0]与[1,+∞)上是减函数,可知 x=0 和 x=1 是 f′(x) c=0, ? ? ?f′?0?=0, ?c=0, =0 的解,∴? 即? 解得? 3 b=-2a. ?f′?1?=0, ?3a+2b+c=0, ? ? ?1? 3 ?1? 3a 3a 3 ∴f′(x)=3ax2-3ax.又由 f′?2?=2,得 f′?2?= 4 - 2 =2,∴a=-2,即 f(x) ? ? ? ? =-2x3+3x2. 1 (2)由 f(x)≤x, 得-2x3+3x2≤x, 即 x(2x-1)(x-1)≥0, ∴0≤x≤2或 x≥1.又 f(x)≤x 1? 1 ? 在区间[0,m](m>0)上恒成立,∴0<m≤2.故 m 的取值范围是?0,2?. ? ? B级 (时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意正 满分:40 分)

数 a,b,若 a<b,则必有( A.af(b)≤bf(a) C.af(a)≤f(b)

). B.bf(a)≤af(b) D.bf(b)≤f(a)

解析 ∵xf′(x)≤-f(x),f(x)≥0, xf′?x?-f?x? -2f?x? ?f?x?? ∴? x ?′= ≤ x2 ≤0, x2 ? ? f?x? f?a? f?b? 则函数 x 在(0, +∞)上是单调递减的, 由于 0<a<b, 则 a ≥ b .即 af(b)≤bf(a). 答案 A 2. (2011· 合肥二模)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c, 若 f(x)在区间(-1,0)上单调递 减,则 a2+b2 的取值范围是( ?9 ? A.?4,+∞? ? ? 9? ? B.?0,4? ? ? ). 9? ? D.?0,5? ? ?

?9 ? C.?5,+∞? ? ?

解析 由题意得 f′(x)=3x2+2ax+b,f′(x)≤0 在 x∈(-1,0)上恒成立,即 3x2 +2ax+b≤0 在 x∈(-1,0)上恒成立, ?2a-b-3≥0, ∴? ∴a,b 所满足的可行域如图中的阴影部分所示.则点 O 到 ?b≤0, 直线 2a-b-3=0 的距离 d= 3 9 ,∴a2+b2≥d2=5, 5

?9 ? ∴a2+b2 的取值范围为?5,+∞?. ? ?

答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.(★)(2012· 广州模拟)设函数 f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意 x∈[-1,1], 都有 f(x)≥0 成立,则实数 a 的值为________. 解析 (构造法)若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立; 3 1 3 1 当 x>0,即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≥x2-x3.设 g(x)=x2-x3,

则 g′(x)=

3?1-2x? x4 ,

1? ? ?1 ? 所以 g(x)在区间?0,2?上单调递增,在区间?2,1?上单调递减, ? ? ? ? ?1? 因此 g(x)max=g?2?=4,从而 a≥4. ? ? 3 1 当 x<0,即 x∈[-1,0)时,同理 a≤x2-x3. g(x)在区间[-1,0)上单调递增, ∴g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4,综上可知 a=4. 答案 4 【点评】 本题考查了分类讨论思想构造函数,同时利用导数的知识来解决. 4.(2010· 江苏)将边长为 1 m 的正三角形薄铁皮,沿一条平行于某边的直线剪成 ?梯形的周长?2 两块,其中一块是梯形,记 s= ,则 s 的最小值是________. 梯形的面积 解析 如图所示,设 AD=x m(0<x<1),则 DE=AD=x m, ∴梯形的周长为 x+2(1-x)+1=3-x (m), 又 S△ADE= 3 2 2 x (m ), 4

3 3 ∴梯形的面积为 4 - 4 x2(m2),
2 4 3 x -6x+9 ∴s= 3 × (0<x<1), 1-x2

∴s′=

-8 3 ?3x-1??x-3? 1? 1 ? ?0,3?时, × , 令 s ′ = 0 得 x = 或 3( 舍去 ) , 当 x ∈ s′ 2 2 3 3 ? ? ?1-x ?

1 32 3 ?1 ? <0,s 递减;当 x∈?3,1?时,s′>0,s 递增.故当 x=3时,s 的最小值是 3 . ? ? 答案 32 3 3

三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)(2011· 江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片, 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折 起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的 包装盒,E,F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设

AE=FB=x(cm).

(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值. 解 设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm).由已知得 a= 2x,h= 2(30-x),0<x<30. (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800. 所以当 x=15 cm 时,S 取得最大值. (2)V=a2h=2 2(-x3+30x2),V′=6 2x(20-x). 由 V′=0,得 x=0(舍)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也就是最大值, h 1 1 此时a=2,即包装盒的高与底面边长的比值为2. 6.(★)(12 分)(2011· 浙江五校联考)已知函数 f(x)=aln x-ax-3(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; 60-2x = 2

(2)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45° ,对于任意的 t∈ m? ? [1,2],函数 g(x)=x3+x2?f′?x?+ 2 ?在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值 ? ? 范围. 解 (1)根据题意知,f′(x)= a?1-x? x (x>0),

当 a>0 时,f(x)的单调递增区间为(0,1],单调递减区间为(1,+∞); 当 a<0 时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1];当 a=0 时, f(x)不是单调函数.

a (2)∵f′(2)=-2=1,∴a=-2, ∴f(x)=-2ln x+2x-3. ?m ? ∴g(x)=x3+? 2 +2?x2-2x, ? ? ∴g′(x)=3x2+(m+4)x-2. ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g′(0)=-2, ?g′?t?<0, ∴? ?g′?3?>0. 由题意知:对于任意的 t∈[1,2],g′(t)<0 恒成立,

?g′?1?<0, ∴?g′?2?<0, ?g′?3?>0,

37 ∴- 3 <m<-9.

【点评】 利用导数解决函数的单调性、最值、极值等问题时,主要分以下几步: 第一步:确定函数的定义域; 第二步:求函数 f?x?的导数 f′?x?; 第三步:求方程 f′?x?=0 的根; 第四步:利用 f′?x?=0 的根和不可导点的 x 的值从小到大顺序将定义域分成若 干个小开区间,并列出表格; 第五步:由 f′?x?在小开区间内的正、负值判断 f?x?在小开区间内的单调性; 第六步:明确规范表述结论.



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